Giải bài tập Toán 11 bài 3: Cấp số cộng

Giải Toán 11

1 2.153

Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Cấp số cộng

- Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11)

VnDoc mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 3: Cấp số cộng, nội dung bộ tài liệu gồm 5 bài tập kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn môn Toán.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Giải bài tập Toán 11 Cấp số cộng

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11)

Trong các dãy số ( $u_n$ ) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Hướng dẫn giải

Xác định số hạng $u_{n+1}$ của dãy số, thực hiện phép tính: $u_{n+1}-u_n$

Nếu kết quả nhận được là hằng số d thì dãy số là cấp số cộng với d là sông sai.

Nếu kết quả nhận được khác hằng số thì dãy số đó không phải là cấp số cộng.

Lời giải:

a.Vì u_n = 5 – 2n nên u₁ = 5 – 2 = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = 5 – 2(n + 1) – 5 + 2n = -2

=> u_n+1 = un – 2

Vậy (u_n) là cấp số cộng với công sai d = - 2

b. Vì ${{u}_{n}}=\frac{n}{2}-1$ nên ${{u}_{1}}=\frac{1}{2}-1=\frac{-1}{2}$

Giả sử $n\ge 1$ , xét hiệu sau:

$\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-1-\frac{n}{2}+1=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}-\frac{n}{2}=\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\frac{1}{2} \\ \end{align}$

Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=\frac{1}{2}$

c. u_n = 3n => u₁ = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

u_n+1 – un = 3ⁿ⁺¹ – 3n = 3ⁿ . 3 – 3ⁿ = 2.3ⁿ => u_n+1 = u_n.2 ≠ u_n + d

Vậy (u_n) không phải là cấp số cộng vì không xác định được công sai.

d. ${{u}_{n}}=\frac{7-3n}{2}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{7-3}{2}=2$

Giả sử $n\ge 1$ , xét hiệu sau:

$\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{7-3\left( n+1 \right)}{2}-\frac{7-3n}{2} \\ & =\frac{7-3n-3-7+3n}{2}=\frac{-3}{2} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-\frac{3}{2} \\ \end{align}$

Vậy là cấp số cộng với công sai

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11)

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

$a.\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{6}}=17 \\ \end{matrix} \right.$

$b.\left\{ \begin{matrix} {{u}_{7}}-{{u}_{3}}=8 \\ {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{matrix} \right.$

Lời giải:

a. Ta có:

$\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left[ {{u}_{1}}+\left( 3-1 \right)d+{{u}_{1}}+\left( 5-1 \right)d \right]=10 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}+\left( 6-1 \right)d=17 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ 2{{u}_{1}}+5d=17 \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=16 \\ d=-3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$

Vậy số hạng đầu bằng 16 và công sai bằng – 3

b. Ta có:

$\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{7}}-{{u}_{3}}=8 \\ {{u}_{2}}.{{u}_{7}}=75 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+\left( 7-1 \right)d-\left[ {{u}_{1}}+\left( 3-1 \right)d \right]=8 \\ \left[ {{u}_{1}}+\left( 2-1 \right)d \right].\left[ {{u}_{1}}+\left( 7-1 \right)d \right]=75 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 4d=8 \\ \left( {{u}_{1}}-d \right)\left( {{u}_{1}}-6d \right)=75 \\ \end{matrix}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} d=2,{{u}_{1}}=3 \\ d=2,{{u}_{1}}=17 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ \end{align}$

Vậy cấp số cộng có số hạng đầu là -17, công sai d = 2, hoặc số hạng đầu là 3, công sai là d = 2.

Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11)

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u₁, d, n, u_n, S_n.

a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b. Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:

$u_1$	d	$u_n$	n	$S_n$
-2		55	20
	-4		15	120
3	$\frac{4}{27}$	7
		17	12	72
2	-5			-205

Hướng dẫn giải

Xuất phát từ công thức

Lời giải:

a. Có thể sử dụng các công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2

$\Rightarrow n=\frac{{{u}_{n}}-{{u}_{1}}}{d}+1,d=\frac{{{u}_{n}}-{{u}_{1}}}{n-1}$

${{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}\Leftrightarrow {{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\frac{n\left( n-1 \right)d}{2}$

Vậy cần phải biết ít nhất ba đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

b. Điền vào bảng như sau:

$u_1$	d	$u_n$	n	$S_n$
-2	3	55	20	530
36	-4	-20	15	120
3	$\frac{4}{27}$	7	28	140
-5	2	17	12	72
2	-5	-43	10	-205

Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11)

Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.

a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.

b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.

Lời giải:

a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.

=> n bậc thang cao 0,18.n (m)

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là:

h_n = (0, 5 + 0, 18n) (m)

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:

h₂₁ = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)

Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11)

Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?

Hướng dẫn giải

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu là $u_1$ , công sai d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

_{Ngoài ra ta có thể tính bằng cách khác:}

Lời giải:

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông.

....

Lúc 12 giờ đồng hồ đánh 12 tiếng chuông

Do đó số tiếng chuông của đồng hồ theo giờ từ 0 đến 12 giờ là một cấp số cộng hữu hạn u₁, u₂,…, u₁₂ trong đó với n = 1, 2, …, 12 với số hạng đầu tiên u₁ = 1, công sai d = 1.

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

(tiếng)