500 bài Toán nâng cao lớp 5 có lời giải

839 144.107
500 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 5 và lời giải
1
500 bài tập toán chọn lọc lớp 5 bản nâng cao. Tài liệu dành cho các em
học sinh ôn luyện kỹ năng giải Toán, dành cho giáo viên tham khảo trong quá trình
bồi dưỡng học sinh
500 BÀI TOÁN LỚP 5 CHỌN LỌC
i 1: Số có 1995 chữ số 7 khi chia cho 15 thì phần thập phân của thương là bao
nhiêu?
Giải: Gọi số có 1995 chữ số 7 là A. Ta có:
0,2
3
A
5
A
3
A
15
A
==
Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Tổng các chữ
số của A 1995 x 7. 1995 chia hết cho 3 nên 1995 x 7 chia hết cho 3. Do đó A =
777...77777 chia hết cho 3.
1995 chữ số 7
Một số hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 cho số dư là 1 hoặc 2.
Chữ số tận cùng của A 7 không chia hết cho 3, nhưng A chia hết cho 3 nên
trong phép chia của A cho 3 thì số cuối cùng chia cho 3 phải 27. Vậy chữ số tận
cùng của thương trong phép chia A cho 3 là 9, mà 9 x 2 = 18, do đó số A/3 x 0,2 là số
có phần thập phân là 8.
Vì vậy khi chia A = 777...77777 cho 15 s được thương có phần thập phân là 8.
1995 chữ số 7
Nhận xét : Điều mấu chốt trong lời giải bài toán trên là việc biến đổi A/15 = A/3
x 0,2 Sau đó chứng minh A chia hết cho 3 tìm chữ số tn cùng của thương trong
phép chia A cho 3. Ta có thể mở rộng bài toán trên tới bài toán sau :
Bài 2 (1* ): Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số A cho 15
biết rằng số A gồm n chữ số a và A chia hết cho 3 ?
Nếu kí hiệu A = aaa...aaaa và giả thiết A chia hết cho 3 (tức là n x a chia hết cho
3), thì khi
n chữ số a
đó tương tự như cách giải bài toán 1 ta tìm được phần thập phân của thương khi chia A
cho 15 như sau :
- Với a = 1 thì phần thập phân là 4 (A = 111...1111 , với n chia hết cho 3)
500 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 5 và lời giải
2
n chữ số 1
- Với a = 2 thì phần thập phân là 8 (A = 222...2222 , với n chia hết cho 3).
n chữ số 2
- Với a = 3 thì phần thập phân là 2 (A = 333...3333 , với n tùy ý).
n chữ số 3
- Với a = 4 thì phần thập phân là 6 (A = 444...4444 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 4
- Với a = 5 thì phần thập phân là 0 (A = 555...5555 , với n chia hết cho 3).
n chữ số 5
- Với a = 6 thì phần thập phân là 4 (A = 666...6666 , với n tùy ý)
n chữ số 6
- Với a = 7 thì phần thập phân là 8 (A = 777...7777 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 7
- Với a = 8 thì phần thập phân là 2 (A = 888...8888 , với n chia hết cho 3)
n chữ số 8
- Với a = 9 thì phần thập phân là 6 (A = 999...9999 , với n tùy ý).
n chữ số 9
Trong các bài toán 1 2 (1*) trên thì số chia đều 15. Bây giờ ta xét tiếp một
ví dụ mà số chia không phải là 15.
Bài 3. Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số 111...1111 cho 36?
2007 chữ số 1
Giải. Đặt A = 111...1111
2007 chữ số 1
Ta có:
25,0
94
1
936
==
AAA
0,25 hai chữ số phần thập phân nên ta stìm hai chữ số tn cùng của
thương trong phép chia A cho 9.
Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Tổng các ch
số của A là 2007 x 1 = 2007. Vì 2007 chia hết cho 9 nên A = 111....1111 chia hết cho
9.
500 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 5 và lời giải
3
2007 chữ số 1
Một số hoặc chia hết cho 9 hoặc chia cho 9 cho số dư là một trong các số 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8. Chữ số tận cùng của A 1 không chia hết cho 9, nhưng A chia hết cho 9
nên trong phép chia của A cho 9, thì ở bước cuối (ta gọi là bước k) : số chia cho 9 phải
81. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 9. Cũng trong phép
chia của A cho 9, ở trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho 9 cho số dư là 8 sẽ là 71
và khi đó ở thương ta được số giáp số cuối cùng là 7.
Vậy hai chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 là 79.
Do đó số
0,25
9
A
= ......79 X 0,25 = ......,75 là số có phần thập phân là 75.
Nhận xét:
a) Vì số 0,25 có phần thập phân là số có hai chữ số, nên nếu ta chỉ tìm một chữ số
tận cùng của thương trong phép chia A cho 9 và sau đó nhân chữ số cuối này với 0,25
thì kết quả sẽ không đúng.
b) Cũng có thể biến đổi 36 = 12 x 3 hoặc 36 = 6 x 6, ... tuy nhiên việc tính toán sẽ
phức tạp và trong nhiều trường hợp là không thực hiện được.
Vận dụng: Tìm phần thập phân trong thương của phép chia :
a) S 111....1111 cho 12 ?
2001 ch÷ sè 1
b) S 888...8888 cho 45 ?
2007 ch÷ sè 1
c) S 333...3333 cho 24 ?
1000000 ch÷ sè 3
Bài 4: Cho mảnh bìa hình vuông ABCD. Hãy cắt từ mảnh bìa đó một hình
vuông sao cho diện tích còn lại bằng diện tích của mảnh bìa đã cho.

Bài Toán nâng cao lớp 5 có đáp án

500 bài Toán nâng cao lớp 5 bao gồm các bài Toán cơ bản và nâng cao có kèm theo lời giải hay rất chi tiết. Đây là tài liệu để học tốt Toán 5 dành cho các em học sinh ôn luyện kỹ năng giải Toán, đồng thời giúp giáo viên tham khảo trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Sau đây mời các em cùng các thầy cô tham khảo và tải về bản chi tiết đầy đủ. 

500 BÀI TOÁN LỚP 5 NÂNG CAO CHỌN LỌC

Bài 1: Số có 1995 chữ số 7 khi chia cho 15 thì phần thập phân của thương là bao nhiêu?

Giải: Gọi số có 1995 chữ số 7 là A. Ta có:

\frac{A}{15}=\frac{A}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{A}{3}\times0,2

Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Tổng các chữ số của A là 1995 x 7. Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995 x 7 chia hết cho 3.

Do đó A = \underbrace{777...77777} chia hết cho 3.

         1995 chữ số 7

Một số hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 cho số dư là 1 hoặc 2.

Chữ số tận cùng của A là 7 không chia hết cho 3, nhưng A chia hết cho 3 nên trong phép chia của A cho 3 thì số cuối cùng chia cho 3 phải là 27. Vậy chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 3 là 9, mà 9 x 2 = 18, do đó số A/3 x 0,2 là số có phần thập phân là 8.

Vì vậy khi chia A = 777...77777 cho 15 sẽ được thương có phần thập phân là 8.

              1995 chữ số 7

Nhận xét: Điều mấu chốt trong lời giải bài toán trên là việc biến đổi A/15 = A/3 x 0,2. Sau đó là chứng minh A chia hết cho 3 và tìm chữ số tận cùng của thương trong phép chia A cho 3. Ta có thể mở rộng bài toán trên tới bài toán sau:

Bài 2 (1*): Tìm phần thập phân của thương trong phép chia số A cho 15 biết rằng số A gồm n chữ số a và A chia hết cho 3?

Nếu kí hiệu A = aaa...aaaa và giả thiết A chia hết cho 3 (tức là n x a chia hết cho 3), thì khi đó tương tự như cách giải bài toán 
            n chữ số a

 1 ta tìm được phần thập phân của thương khi chia A cho 15 như sau:

- Với a = 1 thì phần thập phân là 4 (A = 111...1111, với n chia hết cho 3)
                             n chữ số 1

- Với a = 2 thì phần thập phân là 8 (A = 222...2222, với n chia hết cho 3).
                             n chữ số 2

- Với a = 3 thì phần thập phân là 2 (A = 333...3333 , với n tùy ý).
                             n chữ số 3

- Với a = 4 thì phần thập phân là 6 (A = 444...4444 , với n chia hết cho 3)
                            n chữ số 4

- Với a = 5 thì phần thập phân là 0 (A = 555...5555, với n chia hết cho 3).
                            n chữ số 5

- Với a = 6 thì phần thập phân là 4 (A = 666...6666, với n tùy ý)
                            n chữ số 6

- Với a = 7 thì phần thập phân là 8 (A = 777...7777, với n chia hết cho 3)
                             n chữ số 7

- Với a = 8 thì phần thập phân là 2 (A = 888...8888, với n chia hết cho 3)
                            n chữ số 8

- Với a = 9 thì phần thập phân là 6 (A = 999...9999, với n tùy ý).
                            n chữ số 9

Trong các bài toán 1 và 2 (1*) ở trên thì số chia đều là 15. Bây giờ ta xét tiếp một ví dụ mà số chia không phải là 15.

Bài 4: Cho mảnh bìa hình vuông ABCD. Hãy cắt từ mảnh bìa đó một hình vuông sao cho diện tích còn lại bằng diện tích của mảnh bìa đã cho.

Bài Toán nâng cao lớp 5

Bài giải:

Theo đầu bài thì hình vuông ABCD được ghép bởi 2 hình vuông nhỏ và 4 tam giác (trong đó có 2 tam giác to, 2 tam giác con). Ta thấy có thể ghép 4 tam giác con để được tam giác to đồng thời cũng ghép 4 tam giác con để được 1 hình vuông nhỏ. Vậy diện tích của hình vuông ABCD chính là diện tích của 2 + 2 x 4 + 2 x 4 = 18 (tam giác con).

Do đó diện tích của hình vuông ABCD là:

18\times\frac{10\times10}{2}=900\left(cm^2\right)

Bài 5: Tuổi ông hơn tuổi cháu là 66 năm. Biết rằng tuổi ông bao nhiêu năm thì tuổi cháu bấy nhiêu tháng. Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu (tương tự bài Tính tuổi - cuộc thi Giải toán qua thư TTT số 1).

Giải

Giả sử cháu 1 tuổi (tức là 12 tháng) thì ông 12 tuổi.

Lúc đó ông hơn cháu: 12 - 1 = 11 (tuổi)

Nhưng thực ra ông hơn cháu 66 tuổi, tức là gấp 6 lần 11 tuổi (66 : 11 = 6).

Do đó thực ra tuổi ông là: 12 x 6 = 72 (tuổi)

Còn tuổi cháu là: 1 x 6 = 6 (tuổi)

Thử lại 6 tuổi = 72 tháng; 72 - 6 = 66 (tuổi)

Đáp số: Ông: 72 tuổi

Cháu: 6 tuổi

Bài 6: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo: "Thưa thầy, trong lớp có bao nhiêu học sinh?" Thầy cười và trả lời: "Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đó, rồi lại thêm 1/4 số đó, rồi cả thêm con của quý vị (một lần nữa) thì sẽ vừa tròn 100". Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh?

Giải:

Theo đầu bài thì tổng của tất cả số HS và tất cả số HS và 1/2 số HS và 1/4 số HS của lớp sẽ bằng: 100 - 1 = 99 (em)

Để tìm được số HS của lớp ta có thể tìm trước 1/4 số HS cả lớp.

Giả sử 1/4 số HS của lớp là 1 em thì cả lớp có 4 HS

Vậy: 1/2 số HS của lớp là: 4 : 2 = 2 (em).

Suy ra tổng nói trên bằng: 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (em)

Nhưng thực tế thì tổng ấy phải bằng 99 em, gấp 9 lần 11 em (99 : 11 = 9)

Suy ra số HS của lớp là: 4 x 9 = 36 (em)

Thử lại: 36 + 36 + 36/2 + 36/4 + 1 = 100

Đáp số: 36 học sinh.

Bài 7: Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất cả 222 cầu thủ thi đấu hai môn: Bóng đá và bóng chuyền. Mỗi đội bóng đá có 11 người. Mỗi đội bóng chuyền có 6 người. Biết rằng có cả thảy 27 đội bóng, hãy tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền.

Giải

Giả sử có 7 đội bóng đá, thế thì số đội bóng chuyền là:

27 - 7 = 20 (đội bóng chuyền)

Lúc đó tổng số cầu thủ là: 7 x 11 + 20 x 6 = 197 (người)

Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số đội vẫn không đổi.

Ta thấy nếu thay một đội bóng chuyền bằng một đội bóng đá thì tổng số đội vẫn không thay đổi nhưng tổng số người sẽ tăng thêm: 11 - 6 = 5 (người)

Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 thì số dội bống chuyền phải thay bằng đội bóng đá là:

25 : 5 = 5 (đội)

Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - 5 = 15 (đội)

Còn số đội bóng đá là: 7 + 5 = 12 (đội)

Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền.

Bài 8: Số gà nhiều hơn số thỏ là 28 con. Số chân gà nhiều hơn số chân thỏ là 40 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con thỏ?

Giải

Giả sử có 10 con thỏ, thế thì có: 10 + 28 = 38 (con)

Số chân gà là: 38 x 2 = 76 (chân)

Số chân thỏ là: 10 x 4 = 40 (chân)

Hiệu số chân gà và thỏ là: 76 - 40 = 36 (chân)

Vì thực tế thì số chân gà hơn số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên: 40 - 36 = 4 (chân)

Ta thấy nếu cùng bớt một con thỏ và một con gà thì hiệu số gà và thỏ vẫn không thay đổi song hiệu số chân gà và thỏ sẽ tăng thêm: 4 - 2 = 2 (chân)

Để hiệu số chân tăng thêm 4 thì số thỏ và gà phải bớt đi là : 4 : 2 = 2 (con)

Vậy số thỏ là: 10 - 2 = 8 (con thỏ)

Số gà là: 38 - 2 = 36 (con gà)

Đáp số là : 36 con gà và 8 con thỏ

Bài 9: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Sau đó đi từ B về A với vận tốc 45 km/giờ. Tính quãng đường AB biết thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút.

Giải:

Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quãng đường AB là: 30 : 45 = 2/3.

Vì quãng đường như nhau nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó tỉ số thời gian đi và thời gian về là 3/2.

Để học tốt Toán 5, mời các bạn tham khảo các chuyên mục:

Đánh giá bài viết
839 144.107
Toán lớp 5 Xem thêm