Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao

Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao được VnDoc biên soạn bao gồm đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các em học sinh luyện tập các dạng bài tập liên quan đến đơn thức với đa thức và phép nhân đa thức với đa thức. Qua đó giúp các em học sinh ôn tập, củng cố và rèn luyện thêm kiến thức đã học trong chương trình Toán 8, Mời các em học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo chi tiết.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 8. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Với A và B là hai biểu thức bất kì, ta có:

1. Bình phương của một tổng {\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}
2. Bình phương của một hiệu {\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}
3. Hiệu hai bình phương {A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)
4. Lập phương của một tổng {\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}
5. Lập phương của một hiệu {\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}
6. Tổng hai lập phương {A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^3}} \right)
7. Hiệu hai lập phương {A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)

2. Các dạng toán thường gặp

+ Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

+ Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

+ Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+ Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

+ Dạng 5: Chứng minh đẳng thức bằng nhau

+ Dạng 6: Tìm x

B. Bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a, \left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)

b, \left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)

c, {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}

d, {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}

Bài 2: Chứng minh rằng: {\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn: {x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0

Bài 4: Tìm x, biết: \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = {x^2} + 5x + 196

b, B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2}

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = 5x - {x^2}

b, B = - {x^2} + 2x + 9

C. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1:

a,

\begin{array}{l} \left( {2a - 3b + 4c} \right)\left( {2a - 3b - 4c} \right)\\ = {\left( {2a - 3b} \right)^2} - {\left( {4c} \right)^2}\\ = 4{a^2} - 12ab + 9{b^2} - 16{c^2} \end{array}

b,

\begin{array}{l} \left( {3x + 4y - 5z} \right)\left( {3x - 4y + 5z} \right)\\ = {\left( {3x} \right)^2} - {\left( {4y - 5z} \right)^2}\\ = 9{x^2} - \left( {16{y^2} - 40yz + 25{z^2}} \right)\\ = 9{x^2} - 16{y^2} + 40yz - 25{z^2} \end{array}

c,

\begin{array}{l} {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2\left( {9{a^2} - 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + 2.\left( {3a - 1} \right)\left( {3a + 1} \right) + {\left( {3a + 1} \right)^2}\\ = {\left[ {\left( {3a - 1} \right) + \left( {3a + 1} \right)} \right]^2}\\ = {\left( {6a} \right)^2} = 36{a^2} \end{array}

d,

\begin{array}{l} {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {4 - x} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4} \right)^2} - 2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + {\left( {x - 4} \right)^2}\\ = {\left( {3x - 4 - x + 4} \right)^2}\\ = {\left( {2x} \right)^2} = 4{x^2} \end{array}

Bài 2:

a, {\left( {x + y + z} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)

Xét vế trái có:

\begin{array}{l} {\left( {x + y + z} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right)z + 3x{z^2} + 3y{z^2} + {z^3}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 6xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + 3{x^2}z + 3{y^2}z + 3xyz + 3xyz + 3x{z^2} + 3y{z^2}\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xy\left( {x + z} \right) + 3xy\left( {y + z} \right) + 3xz\left( {x + z} \right) + 3yz\left( {y + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + \left( {x + z} \right)\left( {3xy + 3xz} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {3xy + 3yz} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3x\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) + 3y\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = VP \end{array}

Bài 3:

\begin{array}{l} {x^2} + 5x + {y^2} - 2y + 11 + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {3z - 6} \right)^2} = 0 \end{array}

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 5 = 0\\ y - 1 = 0\\ 3x - 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5\\ y = 1\\ x = 2 \end{array} \right.

Bài 4:

\begin{array}{l} \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right) + x\left( {x + 5} \right)\left( {5 - x} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - {4^3} + x\left( {{5^2} - {x^2}} \right) = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} - 64 + 25x - {x^3} = 12\\ \Leftrightarrow 25x = 76 \end{array}

\Leftrightarrow x = \frac{{76}}{{25}}

Vậy S = \left\{ {\frac{{76}}{{25}}} \right\}

Bài 5:

a, A = {x^2} + 5x + 196 = \left( {{x^2} + 5x + 10} \right) + 186 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 186

{\left( {x + 5} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} + 186 \ge 186

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = - 5

Vậy minA = 186 khi x = -5

b,

\begin{array}{l} B = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {3x - 4} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1 + 9{x^2} - 24x + 16\\ = 10{x^2} - 22x + 17 = 10\left( {{x^2} - 2.\frac{{11}}{{10}}.x + \frac{{121}}{{100}}} \right) + \frac{{49}}{{10}}\\ = 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \end{array}

{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow 10{\left( {x - \frac{{11}}{{10}}} \right)^2} + \frac{{49}}{{10}} \ge \frac{{49}}{{10}}

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}

Vậy \min B = \frac{{49}}{{10}} \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{{10}}

Bài 6:

a, A = 5x - {x^2} = - \left( {{x^2} - 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4}} \right) + \frac{{25}}{4} = - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}

- {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

Vậy \max A = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

b, B = - {x^2} + 2x + 9 = - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 10 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10

- {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\forall x \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 10 \le 10

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = 1

Vậy max B = 10 khi và chỉ khi x = 1

----------

Trên đây là tài liệu về bài tập nâng cao Toán 8: Những hằng đẳng thức đáng nhớ, ngoài ra các em học sinh hoặc quý phụ huynh còn có thể tham khảo thêm đề thi học kì 1 lớp 8đề thi học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh,.... Những đề thi này được VnDoc.com sưu tầm và chọn lọc từ các trường tiểu học trên cả nước nhằm mang lại cho học sinh lớp 8 những đề ôn thi học kì chất lượng nhất. Mời các em cùng quý phụ huynh tải miễn phí đề thi về và ôn luyện.

Đánh giá bài viết
1 32
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Bài tập Toán 8 Xem thêm