Bài tập Toán 12 Phương trình đường thẳng Mức độ Vận Dụng - Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ gọi $d$ đi qua điểm $A(1; - 1;2)$ , song song với $(P):2x - y - z + 3 = 0$ , đồng thời tạo với đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là.
- A.
  $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{7}.$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{7}.$
- C.
  $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z + 2}{7}.$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{- 7}.$
Hướng dẫn:
$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = (1; - 2;2)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)$

Vì $d//(P)$ nên $\overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow 2a - b - c = 0 \Leftrightarrow c = 2a - b$

$\cos(\Delta,d) = \frac{|5a - 4b|}{3\sqrt{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5a - 4b)^{2}}{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}}$

Đặt $t = \frac{a}{b}$ , ta có: $\cos(\Delta,d) = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}$ , ta suy ra được: $\max f(t) = f\left( - \frac{1}{5} ight) = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Do đó: $\max\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = \sqrt{\frac{5\sqrt{3}}{27}} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{5}$

Chọn $a = 1 \Rightarrow b = - 5,c = 7$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{7}$
Câu 2: Vận dụng
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ và $\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình đường thẳng song song với $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} \right.$ và cắt hai đường thẳng $\Delta_{1};\Delta_{2}$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 3 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 3 - t \\ z = - 3 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 3 + t \\ z = - 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = \Delta \cap \Delta_{1},B = \Delta \cap \Delta_{2}$

$A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a)$

$B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1 + b;2b; - 1 + 3b)$

$\overrightarrow{AB} = ( - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (0;1;1)$

$\Delta//d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}}$ cùng phương

$\Leftrightarrow$ có một số $k$ thỏa $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{a_{d}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b + 2 = 0 \\ - a + 2b - 2 = k \\ - 2a + 3b - 2 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b = - 2 \\ - a + 2b - k = 2 \\ - 2a + 3b - k = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có $A(2;3;3);B(2;2;2)$

$\Delta$ đi qua điểm $A(2;3;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1)$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 3: Vận dụng
Viết phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$ , $d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 3 = 0$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $(P)$ và cắt $d_{1},\ d_{2}$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB = \sqrt{29}$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là
- A.
  $\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\Delta$ : $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a; - 1 + a;a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b;2 + 2b;b)$

$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (b - 2a;3 + 2b - a;b - a)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1;1; - 2)$

Vì $\Delta//(P)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a - 3$ .Khi đó $\overrightarrow{AB} = ( - a - 3;a - 3; - 3)$

Theo đề bài: $AB = \sqrt{29} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 1 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A(3;0;1),\overrightarrow{AB} = ( - 4; - 2; - 3) \\ A( - 1; - 2; - 1),\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 4; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 4: Vận dụng cao
Xác định phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $(P):x + y + z - 7 = 0$ và cắt $d_{1},\ d_{2}$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng $\Delta$ là.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 12 - t \\ y = 5 \\ z = - 9 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - 2t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Ta có:

$A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)$

$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)$

Vì $\Delta//(P)$ nên $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1$ .Khi đó $\overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)$

$AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}$

$= \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}$

$= \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight)$ và vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ là.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 3 \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A(2 + a;1 - a;2 - a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B(b;3; - 2 + b)$

$\overrightarrow{AB} = ( - a + b - 2;a + 2;a + b - 4)$

$d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{1}} = (1; - 1; - 1)$

$d_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}} = (1;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix} d\bot d_{1} \\ d\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1;2);B(3;3;1)$

$d$ đi qua điểm $A(2;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1)$

Vậy phương trình của $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 6: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ . Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương $\Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 2t \\ y = 0 \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 0 \\ z = 1 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: $M_{0}(5;0;5)$ .

Trên $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ chọn M bất kỳ không trùng với $M_{0}(5;0;5)$ ; ví dụ: $M(1; - 2;3)$ .

Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương $\Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ .

+/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với $\Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ .

+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)

+/ Ta tìm được $A(3;0;1)$

Hình chiếu song song của $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ lên mặt phẳng (Oxz) theo phương $\Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ là đường thẳng đi qua $M_{0}(5;0;5)$ và $A(3;0;1)$ .

Vậy phương trình là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 7: Vận dụng
Xác định phương trình thích hợp nhất
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3).$ Trong các đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ , đường thẳng mà khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
- A.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}.$
- B.
  $\frac{x - 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{- 2}.$
- C.
  $\frac{x - 2}{26} = \frac{y + 1}{11} = \frac{z - 3}{- 2}.$
- D.
  $\frac{x + 2}{26} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 3}{- 2}.$
Hướng dẫn:
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm

Gọi mặt phẳng $(Q)$ qua $A( - 3;0;1)$ và song song với $(P)$ . Khi đó: $(Q):x - 2y + 2z + 1 = 0$

Gọi $K,H$ lần lượt là hình chiếu của $B$ lên $\Delta,(Q)$ . Ta có $d(B,\Delta) = BK \geq BH$ . Do đó $AH$ là đường thẳng cần tìm.

$(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)$

$BH$ qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)$

$BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta$ đi qua điểm $A( - 3;0;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} ight) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)$

$H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)$

$H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$
Câu 8: Vận dụng cao
Chọn phương án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $\Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1}$ và $\Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ . Đường thẳng $d$ song song với $(P):x + y - 2z + 5 = 0$ và cắt hai đường thẳng $\Delta_{1};\Delta_{2}$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là
- A.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 2}{1}.$
- B.
  $x + 1 = y + 2 = z + 2.$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 2}{1}.$
- D.
  $x - 1 = y - 2 = z - 2.$
Hướng dẫn:
Gọi $A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}$

$\begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)$

$\overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)$

$d$ đi qua điểm $A(1;2;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)$

Vậy phương trình của $d$ là $x - 1 = y - 2 = z - 2$
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 9 = 0$ . Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $(P)$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ , đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 1 + t \\ z = - 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $A = d \cap (P)$

$\begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(1 - t; - 3 + 2t;3 + t) \\ A \in (P) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A(0; - 1;4) \\ \end{matrix}$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 2)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = ( - 1;2;1)$

Gọi vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{a_{\Delta}}$

Ta có :

$\left. \ \begin{matrix} \Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{d}} ightbrack = (5;0;5)$

$\Delta$ đi qua điểm $A(0; - 1;4)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{\Delta}} = (5;0;5)$

Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 10: Vận dụng
Viết phương trình đường thẳng d
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ gọi $d$ đi qua $A( - 1;0; - 1)$ , cắt $\Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ , sao cho góc giữa $d$ và $\Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2}$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}.$
- B.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}.$
- C.
  $\frac{x + 1}{4} = \frac{y}{- 5} = \frac{z + 1}{- 2}.$
- D.
  $\frac{x + 1}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{- 2}.$
Hướng dẫn:
Gọi $M = d \cap \Delta_{1} \Rightarrow M(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AM} = (2t + 2;t + 2; - 1 - t)$

$\Delta_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}} = ( - 1;2;2)$

$\cos\left( d;\Delta_{2} ight) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}$ , ta suy ra được $\min f(t) = f(0) = 0 \Leftrightarrow t = 0$

Do đó $\min\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2;2 - 1)$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$
Câu 11: Vận dụng
Xác định phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{- 3}$ và $d_{2}:\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng cắt $d_{1},d_{2},d_{3}$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $AB = BC$ . Phương trình đường thẳng $\Delta$ là
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{- 1}.$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}.$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}.$
- D.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}.$
Hướng dẫn:
Gọi $A \in d_{1},B \in d_{2},C \in d_{3}$

Ta có: $A(a;4 - a; - 1 + 2a),B(b;2 - 3b; - 3b),C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c)$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow A,B,C$ thẳng hàng và $AB = BC$

$\Leftrightarrow B$ là trung điểm $AC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 + 5c = 2b \\ 4 - a + 1 + 2c = 2(2 - 3b) \\ - 1 + 2a - a + c = 2( - 3b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $A(1;3;1),B(0;2;0),,C( - 1;1; - 1)$

$\Delta$ đi qua điểm $B(0;2;0$ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{CB} = (1;1;1)$

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 12: Vận dụng
Định phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1},$ mặt phẳng $(P):2x - y - z + 5 = 0$ và $M(1; - 1;0)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M$ , cắt $d$ và tạo với $(P)$ một góc $30^{0}$ . Phương trình đường thẳng $\Delta$ là.
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 2}$ và $\frac{x + 4}{5} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 5}{5}.$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 2}$ và $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 5}{5}.$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 2}$ và $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 5}{5}.$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2}$ và $\frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}.$
Hướng dẫn:
Gọi $N = \Delta \cap d$

$N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)$

$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)$

$\sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta$ đi qua điểm $M(1; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2}$ và $\frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}$
Câu 13: Vận dụng
Chọn phương án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $I(1;1;2)$ , hai đường thẳng $\Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right.$ và $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $I$ và cắt hai đường thẳng $\Delta_{1},\Delta_{2}$ là.
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{- 1}.$
- C.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $\left( \alpha_{1} ight)$ là mặt phẳng qua $I$ và $\Delta_{1}$

$\Delta_{1}$ đi qua $M_{1}(3; - 1;4)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)$

$\overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)$

$\left( \alpha_{1} ight)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)$

Gọi $\left( \alpha_{2} ight)$ là mặt phẳng qua $I$ và $\Delta_{2}$

$\Delta_{2}$ đi qua $M_{2}( - 2;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)$

$\overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)$

$\left( \alpha_{2} ight)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)$

$d$ đi qua điểm $I(1;1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 14: Vận dụng
Viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1},$ mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 29$ và $A(1; - 2;1)$ . Đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(S)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ . Phương trình đường thẳng $\Delta$ là
- A.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1}$ và $\frac{x + 1}{7} = \frac{y - 2}{11} = \frac{z + 1}{- 10}.$
- B.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}.$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1}$ và $\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}.$
- D.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $\frac{x + 1}{7} = \frac{y - 2}{11} = \frac{z + 1}{- 10}.$
Hướng dẫn:
$M \in d \Rightarrow M(2 + t;1 + 2t;1 - t)$

$A$ là trung điểm $MN \Rightarrow N( - t; - 5 - 2t;1 + t)$

$N \in (S) \Rightarrow 6t^{2} + 14t - 20 = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 4; - 10;2) = - 2(2;5; - 1) \\ t = - \frac{10}{3} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{14}{3};\frac{22}{3}; - \frac{20}{3} ight) = \frac{2}{3}(7;11; - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta$ đi qua điểm $A(1; - 2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{MN}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1}$ và $\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}$
Câu 15: Vận dụng
Tìm phương trình đường thẳng thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.$ . Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x + y - 4z = 0$ và cắt hai đường thẳng $d_{1},\ d_{2}$ là:
- A.
  $\frac{x - 7}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 4}{1}.$
- B.
  $\frac{x + 2}{- 7} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{4}.$
- C.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{4}.$
- D.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}.$
Hướng dẫn:
Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm

Gọi $A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)$

$\overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)$

$d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}}$ cùng phương

$\Leftrightarrow$ có một số $k$ thỏa $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$d$ đi qua điểm $A(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)$

Vậy phương trình của $d$ là $\frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}$
Câu 16: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ gọi $d$ đi qua $A(3; - 1;1)$ , nằm trong mặt phẳng $(P):x - y + z - 5 = 0$ , đồng thời tạo với $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2}$ một góc $45^{0}$ . Phương trình đường thẳng $d$ là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = - 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;2;2)$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 1;1)$

$d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a + c;\ (1)$

$(\Delta,d) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos(\Delta,d) = cos45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|a + 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2(a + 2b + 2c)^{2} = 9\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight);\ (2)$

Từ 1 và 2, ta có: $14c^{2} + 30ac = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0 \\ 15a + 7c = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Với $c = 0$ , chọn $a = b = 1$ , phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Với $15a + 7c = 0$ , chọn $a = 7 \Rightarrow c = - 15;b = - 8$ , phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 17: Vận dụng
Định phương trình đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):x + 2y - 3z + 4 = 0$ . Phương trình tham số của đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$ , cắt và vuông góc đường thẳng $\Delta$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 3t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 - 3t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hướng dẫn:
Gọi $M = \Delta \cap (P)$

$M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)$

$M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)$

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)$

$\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)$

Có $\left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)$

$d$ đi qua điểm $M( - 3;1;1)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_{d}}$

Vậy phương trình tham số của $d$ là $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 18: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ , mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0$ . Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$ . Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ vuông góc với $d$ và cách $M$ một khoảng bằng $\sqrt{42}$ . Phương trình đường thẳng $(P)$ là.
- A.
  $\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z + 5}{1}$ và $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 5}{1}.$
- B.
  $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 5}{1}.$
- C.
  $\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z + 5}{1}.$
- D.
  $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 5}{1}$ và $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{z - 5}{1}.$
Hướng dẫn:
Gọi $M = d \cap (P)$

$\mathbf{M \in d \Rightarrow M}\left( \mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+ t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{- t} ight)$

$\mathbf{M \in}\left( \mathbf{P} ight)\mathbf{\Rightarrow t = -}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow M}\left( \mathbf{1;}\mathbf{-}\mathbf{3;0} ight)$

$\left( \mathbf{P} ight)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{1;1;1} ight)$

$\mathbf{d}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2;1;}\mathbf{-}\mathbf{1} ight)$

$\mathbf{\Delta}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{\Delta}}}\mathbf{=}\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{2;}\mathbf{-}\mathbf{3;1} ight)$

Gọi $N(x;y;z)$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta$ , khi đó $\overrightarrow{MN} = (x - 1;y + 3;z)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ N \in (P) \\ MN = \sqrt{42} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 3y + z - 11 = 0 \\ x + y + z + 2 = 0 \\ (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 42 \\ \end{matrix} ight.$

Giải hệ ta tìm được hai điểm $N(5; - 2; - 5)$ và $N( - 3; - 4;5)$

Với $N(5; - 2; - 5)$ , ta có $\Delta:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z + 5}{1}$

Với $N( - 3; - 4;5)$ , ta có $\Delta:\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 5}{1}$
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(1;1;2)$ cắt đường thẳng $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ tại $C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng $\frac{\sqrt{83}}{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.$
- B.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và $\frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.$
- C.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 6}{4} = \frac{z}{- 1}.$
- D.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1}.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)$

$\overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)$

$\overrightarrow{OB} = (1;1;2)$

$\left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)$

$S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Delta$ đi qua điểm $B$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và $\frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!