Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 19 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 19 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Xác định phương trình thích hợp nhất

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi mặt phẳng (Q) qua A( - 3;0;1) và song song với (P). Khi đó: (Q):x - 2y + 2z + 1 = 0

    Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của B lên \Delta,(Q). Ta có d(B,\Delta) = BK \geq BH. Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

    (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH qua B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)

    BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A( - 3;0;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} ight) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)

    H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)

    H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Vậy phương trình của \Delta là \Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}

  • Câu 2: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} và mặt phẳng (P):x + 2y - 3z + 4 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng \Delta là:

    Hướng dẫn:

    Gọi M = \Delta \cap (P)

    M \in \Delta \Rightarrow M( - 2 + t;2 + t; - t)

    M \in (P) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 3;1;1)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;2; - 3)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;1; - 1)

    Có \left. \ \begin{matrix} d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{\Delta}} ightbrack = (1; - 2; - 1)

    d đi qua điểm M( - 3;1;1) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{d}}

    Vậy phương trình tham số của d là \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm phương trình đường thẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 3 \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2a;1 - a; - 2 + a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B( - 1 + 2b;1 + b;3)

    \overrightarrow{AB} = ( - 2a + 2b - 1;a + b; - a + 5)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (7;1; - 4)

    d\bot(P) \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{p}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{n_{p}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 1 = 7k \\ a + b = k \\ - a + 5 = - 4k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2a + 2b - 7k = 1 \\ a + b - k = 0 \\ - a + 4k = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 2 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    d đi qua điểm A(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{n_{P}} = (7;1 - 4)

    Vậy phương trình của d là \frac{x - 2}{7} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 4}

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho ba đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} \right. d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{- 3} và d_{2}:\frac{x + 1}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{1}. Gọi \Delta là đường thẳng cắt d_{1},d_{2},d_{3} lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho AB = BC. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Gọi A \in d_{1},B \in d_{2},C \in d_{3}

    Ta có: A(a;4 - a; - 1 + 2a),B(b;2 - 3b; - 3b),C( - 1 + 5c;1 + 2c; - 1 + c)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow A,B,C thẳng hàng và AB = BC

    \Leftrightarrow B là trung điểm AC \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 1 + 5c = 2b \\ 4 - a + 1 + 2c = 2(2 - 3b) \\ - 1 + 2a - a + c = 2( - 3b) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra A(1;3;1),B(0;2;0),,C( - 1;1; - 1)

    \Delta đi qua điểm B(0;2;0và có vecto chỉ phương là \overrightarrow{CB} = (1;1;1)

    Vậy phương trình đường thẳng \Delta là \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Xác định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P):x + y + z - 7 = 0 và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a;a; - 2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b; - 2 + 3b;2 - 2b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3b - a - 2; - 2b + a + 4)

    (P)có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 1.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 1;2a - 5;6 - a)

    AB = \sqrt{( - a - 1)^{2} + (2a - 5)^{2} + (6 - a)^{2}}

    = \sqrt{6a^{2} - 30a + 62}

    = \sqrt{6\left( a - \frac{5}{2} ight)^{2} + \frac{49}{2}} \geq \frac{7\sqrt{2}}{2};\forall a\mathbb{\in R}

    Dấu " = " xảy ra khi a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight),\ \ \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{7}{2};0;\frac{7}{2} ight)

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm A\left( 6;\frac{5}{2}; - \frac{9}{2} ight) và vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1)

    Vậy phương trình của \Deltalà \left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = - \frac{9}{2} + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng \Deltađi qua điểm B(1;1;2) cắt đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1} tại C sao cho tam giác OBCcó diện tích bằng \frac{\sqrt{83}}{2}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    C \in d \Rightarrow C(2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OC} = (2 + t;3 - 2t; - 1 + t)

    \overrightarrow{OB} = (1;1;2)

    \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack = (5t - 7;t + 5;1 - 3t)

    S_{\Delta OBC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} ightbrack ight|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{BC} = (3; - 2; - 1) \\ t = \frac{- 4}{35} \Rightarrow \overrightarrow{BC} = \left( \frac{31}{35};\frac{78}{35}; - \frac{109}{35} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{BC}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{- 1} và \frac{x - 1}{31} = \frac{y - 1}{78} = \frac{z - 2}{- 109}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} và d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 3 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} \right.. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d_{1},\ d_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = d \cap d_{1},B = d \cap d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A(2 + a;1 - a;2 - a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(b;3; - 2 + b)

    \overrightarrow{AB} = ( - a + b - 2;a + 2;a + b - 4)

    d_{1} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1; - 1; - 1)

    d_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;0;1)

    \left\{ \begin{matrix} d\bot d_{1} \\ d\bot d_{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{1}} \\ \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{a_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(2;1;2);B(3;3;1)

    d đi qua điểm A(2;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1)

    Vậy phương trình của d là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ .

  • Câu 8: Vận dụng
    Viết phương trình tham số của đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} , d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1} và mặt phẳng (P):x + y - 2z + 3 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng song song với (P) và cắt d_{1},\ d_{2} lần lượt tại hai điểm A,B sao cho AB = \sqrt{29}. Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    A \in d_{1} \Rightarrow A(1 + 2a; - 1 + a;a)

    B \in d_{2} \Rightarrow B(1 + b;2 + 2b;b)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (b - 2a;3 + 2b - a;b - a)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1;1; - 2)

    Vì \Delta//(P) nên \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a - 3.Khi đó \overrightarrow{AB} = ( - a - 3;a - 3; - 3)

    Theo đề bài: AB = \sqrt{29} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 1 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A(3;0;1),\overrightarrow{AB} = ( - 4; - 2; - 3) \\ A( - 1; - 2; - 1),\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 4; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy phương trình đường thẳng  \Delta  là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight. và \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 9: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 29 và A(1; - 2;1). Đường thẳng \Delta cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng \Delta là

    Hướng dẫn:

    M \in d \Rightarrow M(2 + t;1 + 2t;1 - t)

    A là trung điểm MN \Rightarrow N( - t; - 5 - 2t;1 + t)

    N \in (S) \Rightarrow 6t^{2} + 14t - 20 = 0

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = ( - 4; - 10;2) = - 2(2;5; - 1) \\ t = - \frac{10}{3} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{14}{3};\frac{22}{3}; - \frac{20}{3} ight) = \frac{2}{3}(7;11; - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm A(1; - 2;1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 1}{- 1} và \frac{x - 1}{7} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{- 10}

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.. Hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxz) là: M_{0}(5;0;5).

    Trên d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. chọn M bất kỳ không trùng với M_{0}(5;0;5); ví dụ: M(1; - 2;3).

    Gọi A là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Lập phương trình d’ đi qua M và song song hoặc trùng với \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} .

    +/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và (Oxz)

    +/ Ta tìm được A(3;0;1)

    Hình chiếu song song của d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 2 + 4t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. lên mặt phẳng (Oxz) theo phương \Delta:\frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 6}{- 1} = \frac{z - 2}{1} là đường thẳng đi qua M_{0}(5;0;5) và A(3;0;1).

    Vậy phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}, mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Gọi \Delta là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng \sqrt{42}. Phương trình đường thẳng (P) là.

    Hướng dẫn:

    Gọi M = d \cap (P)

    \mathbf{M \in d \Rightarrow M}\left( \mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+ t}\mathbf{;}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{- t} ight)

    \mathbf{M \in}\left( \mathbf{P} ight)\mathbf{\Rightarrow t = -}\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow M}\left( \mathbf{1;}\mathbf{-}\mathbf{3;0} ight)

    \left( \mathbf{P} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{1;1;1} ight)

    \mathbf{d} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{=}\left( \mathbf{2;1;}\mathbf{-}\mathbf{1} ight)

    \mathbf{\Delta}có vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{\Delta}}}\mathbf{=}\left\lbrack \overrightarrow{\mathbf{a}_{\mathbf{d}}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{n}_{\mathbf{P}}} ightbrack\mathbf{=}\left( \mathbf{2;}\mathbf{-}\mathbf{3;1} ight)

    Gọi N(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của M trên \Delta, khi đó \overrightarrow{MN} = (x - 1;y + 3;z).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ N \in (P) \\ MN = \sqrt{42} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 3y + z - 11 = 0 \\ x + y + z + 2 = 0 \\ (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 42 \\ \end{matrix} ight.

    Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N( - 3; - 4;5)

    Với N(5; - 2; - 5), ta có \Delta:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z + 5}{1}

    Với N( - 3; - 4;5), ta có \Delta:\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z - 5}{1}

  • Câu 12: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  gọi d đi qua A( - 1;0; - 1), cắt \Delta_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, sao cho góc giữa d và \Delta_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 3}{2} là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi M = d \cap \Delta_{1} \Rightarrow M(1 + 2t;2 + t; - 2 - t)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{AM} = (2t + 2;t + 2; - 1 - t)

    \Delta_{2} có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = ( - 1;2;2)

    \cos\left( d;\Delta_{2} ight) = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{t^{2}}{6t^{2} + 14t + 9}, ta suy ra được \min f(t) = f(0) = 0 \Leftrightarrow t = 0

    Do đó \min\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2;2 - 1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz  cho điểm I(1;1;2), hai đường thẳng \Delta_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 4 \\ \end{matrix} \right. và \Delta_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng \Delta_{1},\Delta_{2} là.

    Hướng dẫn:

    Gọi \left( \alpha_{1} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{1}

    \Delta_{1} đi qua M_{1}(3; - 1;4) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{1}} = (1;2;0)

    \overrightarrow{IM_{1}} = (2; - 2;2)

    \left( \alpha_{1} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{1}},\overrightarrow{IM_{1}} ightbrack = (4; - 2; - 6)

    Gọi \left( \alpha_{2} ight) là mặt phẳng qua I và \Delta_{2}

     

    \Delta_{2} đi qua M_{2}( - 2;0;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{2}} = (1;1;2)

    \overrightarrow{IM_{2}} = ( - 3; - 1;0)

    \left( \alpha_{2} ight) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{2}},\overrightarrow{IM_{2}} ightbrack = (2; - 6;2)

    d đi qua điểm I(1;1;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = ( - 40; - 20; - 20)

    Vậy phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2} và \Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{3}. Phương trình đường thẳng song song với d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 1 + t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} \right. và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} là:

    Hướng dẫn:

    Gọi \Delta là đường thẳng cần tìm

    Gọi A = \Delta \cap \Delta_{1},B = \Delta \cap \Delta_{2}

    A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + 3a;2 + a;1 + 2a)

    B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(1 + b;2b; - 1 + 3b)

    \overrightarrow{AB} = ( - 3a + b + 2; - a + 2b - 2; - 2a + 3b - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (0;1;1)

    \Delta//d \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{a_{d}} cùng phương

    \Leftrightarrow có một số k thỏa \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{a_{d}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b + 2 = 0 \\ - a + 2b - 2 = k \\ - 2a + 3b - 2 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3a + b = - 2 \\ - a + 2b - k = 2 \\ - 2a + 3b - k = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ k = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có A(2;3;3);B(2;2;2)

    \Delta đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{AB} = (0; - 1; - 1)

    Vậy phương trình của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{1} và mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 9 = 0. Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là:

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap (P)

    \begin{matrix} A \in d \Rightarrow A(1 - t; - 3 + 2t;3 + t) \\ A \in (P) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow A(0; - 1;4) \\ \end{matrix}

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = ( - 1;2;1)

    Gọi vecto chỉ phương của \Delta là \overrightarrow{a_{\Delta}}

    Ta có :

    \left. \ \begin{matrix} \Delta \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \\ d\bot\Delta \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}} \\ \end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{a_{d}} ightbrack = (5;0;5)

    \Delta đi qua điểm A(0; - 1;4) và có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{a_{\Delta}} = (5;0;5)

    Vậy phương trình tham số của \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 16: Vận dụng
    Định phương trình đường thẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}, mặt phẳng (P):2x - y - z + 5 = 0 và M(1; - 1;0). Đường thẳng \Delta đi qua điểm M, cắt d và tạo với (P) một góc 30^{0}. Phương trình đường thẳng \Delta là.

    Hướng dẫn:

    Gọi N = \Delta \cap d

    N \in d \Rightarrow N(2 + 2t;t; - 2 + t)

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{MN} = (1 + 2t;1 + t; - 2 + t)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    \sin\left\lbrack d,(P) ightbrack = \frac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} ight|}{\left| \overrightarrow{MN} ight|.\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (1;1 - 2) \\ t = \frac{9}{5} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \left( \frac{23}{5};\frac{14}{5}; - \frac{1}{5} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Delta đi qua điểm M(1; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = \overrightarrow{MN}

    Vậy phương trình của \Delta là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2} và \frac{x - 1}{23} = \frac{y + 1}{14} = \frac{z}{- 1}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Chọn phương án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \Delta_{1}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{1} và \Delta_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{1}. Đường thẳng d song song với (P):x + y - 2z + 5 = 0 và cắt hai đường thẳng \Delta_{1};\Delta_{2} lần lượt tại A,B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Gọi A = d \cap \Delta_{1},B = d\cap\Delta_{2}

    \begin{matrix} A \in \Delta_{1} \Rightarrow A( - 1 + a; - 2 + 2a;a) \\ B \in \Delta_{2} \Rightarrow B(2 + 2b;1 + b;1 + b) \\ \overrightarrow{AB} = ( - a + 2b + 3; - 2a + b + 3; - a + b + 1) \\ d//(P) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow b = a - 4 \\ \overrightarrow{AB} = (a - 5; - a - 1; - 3) \\ AB = \sqrt{2(a - 2)^{2} + 27} \geq 3\sqrt{3};\forall a\mathbb{\in R} \\ \end{matrix}

    Dấu " = " xảy ra khi a = 2 \Rightarrow A(1;2;2),B( - 2; - 1; - 1)

    \overrightarrow{AB} = (- 3; - 3; -3)

    d đi qua điểm A(1;2;2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (1;1;1)

    Vậy phương trình của d là x - 1 = y - 2 = z - 2

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A(3; - 1;1), nằm trong mặt phẳng (P):x - y + z - 5 = 0, đồng thời tạo với \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{2} một góc 45^{0}. Phương trình đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1;2;2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (1; - 1;1)

    d \subset (P) \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow b = a + c;\ (1)

    (\Delta,d) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos(\Delta,d) = cos45^{0}

    \Leftrightarrow \frac{|a + 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow 2(a + 2b + 2c)^{2} = 9\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight);\ (2)

    Từ 1 và 2, ta có:14c^{2} + 30ac = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0 \\ 15a + 7c = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Với c = 0, chọn a = b = 1, phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight. 

    Với 15a + 7c = 0, chọn a = 7 \Rightarrow c = - 15;b = - 8, phương trình đường thẳng d là \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 7t \\ y = - 1 - 8t \\ z = 1 - 15t \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; - 1;2), song song với (P):2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2} một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là.

    Hướng dẫn:

    \Delta có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{\Delta}} = (1; - 2;2)

    d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a_{d}} = (a;b;c)

    (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1; - 1)

    Vì d//(P) nên \overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{n_{P}} \Leftrightarrow \overrightarrow{a_{d}}.\overrightarrow{n_{P}} = 0 \Leftrightarrow 2a - b - c = 0 \Leftrightarrow c = 2a - b

    \cos(\Delta,d) = \frac{|5a - 4b|}{3\sqrt{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5a - 4b)^{2}}{5a^{2} - 4ab + 2b^{2}}}

    Đặt t = \frac{a}{b}, ta có: \cos(\Delta,d) = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}}

    Xét hàm số f(t) = \frac{(5t - 4)^{2}}{5t^{2} - 4t + 2}, ta suy ra được: \max f(t) = f\left( - \frac{1}{5} ight) = \frac{5\sqrt{3}}{3}

    Do đó: \max\left\lbrack \cos(\Delta,d) ightbrack = \sqrt{\frac{5\sqrt{3}}{27}} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{a}{b} = - \frac{1}{5}

    Chọn a = 1 \Rightarrow b = - 5,c = 7

    Vậy phương trình đường thẳng d là \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{7}

0/19
19 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (89%):
    2/3
  • Thông hiểu (11%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại