Bài tập Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn - Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 32 câu
Điểm số bài kiểm tra: 32 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Gọi $M,\ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 1$ trên đoạn $\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} \right\rbrack$ . Tính $P = M - m$ .
- A.
  $P = 5$ .
- B.
  $P = - 5$ .
- C.
  $P = 4$ .
- D.
  $P = 1$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 6x^{2} + 6x$
$\Rightarrow \ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 otin \left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} ightbrack \\ x = - 1 \in \left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} ightbrack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 5 \\ f( - 1) = 0 \\ f\left( - \frac{1}{2} ight) = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \min_{\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} ightbrack}f(x) = - 5 \\ M = \max_{\left\lbrack - 2; - \frac{1}{2} ightbrack}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Rightarrow P = M - m = 5$
Câu 2: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \left| - x^{2} - 4x + 5 \right|$ trên đoạn $\lbrack - 6;6\rbrack$ .
- A.
  $M = 0.$
- B.
  $M = 55.$
- C.
  $M = 110.$
- D.
  $M = 9.$
Hướng dẫn:
Xét hàm số $g(x) = - x^2- 4x + 5$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;6brack$ .
Đạo hàm $g'(x) = - 2x - 4$
$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \in \lbrack - 6;6brack$
Lại có $g(x) = 0$ $\Leftrightarrow - x^2 - 4x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in \lbrack - 6;6brack \\ x = - 5 \in \lbrack - 6;6brack \\ \end{matrix} ight.$ .
Ta có $\left\{ \begin{matrix} g( - 6) = - 7 \\ g( - 2) = 9 \\ g(6) = - 55 \\ g(1) = \ g( - 5) = 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \max_{\lbrack - 6;6brack}f(x) = \max_{\lbrack - 6;6brack}\left\{ \left| g( - 6) ight|;\left| g( - 2) ight|;\left| g(6) ight|;\left| g(1) ight|;\left| g( - 5) ight| ight\} = 55.$
Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.
Câu 3: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3$ .
- A.
  $M=4.$
- B.
  $M = \frac{112}{27}.$
- C.
  $M=5.$
- D.
  $M = 0.$
Hướng dẫn:
Ta có $f(x) = sin^{3}x + cos2x + \sin x + 3 = sin^{3}x - 2sin^{2}x + \sin x + 4$ .
Đặt $t = \sin x\ ;( - 1 \leq t \leq1).$
Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = t^{3} - 2t^{2} + t + 4$ trên đoạn $\lbrack - 1;1brack''$ .
Đạo hàm $g'(t) = 3t^{2} - 4t + 1$
$\Rightarrow g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \in \lbrack - 1;1brack \\ t = \frac{1}{3} \in \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} g( - 1) = 0 \\ g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \dfrac{112}{27} \\ g(1) = 4 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \max_{\lbrack - 1;1brack}g(t) = g\left( \dfrac{1}{3} ight) = \frac{112}{27}$
$\Rightarrow \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = \frac{112}{27}$
Câu 4: Nhận biết
Tìm min max của hàm số f(x)
Cho hàm số $f(x) = - 2x^{4} + 4x^{2} +10$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $[0;2]$
- A.
  $M = 10;\ m = - 8.$
- B.
  $M = 10;\ m = - 6.$
- C.
  $M = 12;m = - 8.$
- D.
  $M = 12;\ m = - 6.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = - 8x^{3} +8x$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \in \lbrack 0;2brack \\x = 1 \in \lbrack 0;2brack \\x = - 1 otin \lbrack 0;2brack \\\end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}f(0) = 10 \\f(1) = 12 \\f(2) = - 6 \\\end{matrix} ight.$ $\RightarrowM = \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 12;\ m = \min_{\lbrack0;2brack}f(x) = - 6$
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Tập giá trị của hàm số $f(x) = x + \frac{9}{x}$ với $x \in \lbrack 2;4brack$ là đoạn $\lbrack a;bbrack$ . Tính $P = b - a$ .
- A.
  $P = \frac{1}{2}$ .
- B.
  $P = \frac{25}{4}$ .
- C.
  $P = 6$ .
- D.
  $P = \frac{13}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 1 - \frac{9}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$
$ightarrow f'(x) = 0$
$\Leftrightarrow x^{2} - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \in \lbrack 2;4brack \\ x = - 3 otin \lbrack 2;4brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = \frac{13}{2} \\ f(3) = 6 \\ f(4) = \frac{25}{4} \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = 6;\max_{\lbrack 2;4brack}f(x) = \frac{13}{2}$
$\Rightarrow \lbrack a;bbrack = \left\lbrack 6;\frac{13}{2} ightbrack$ $\Rightarrow P = b - a = \frac{13}{2} - 6 = \frac{1}{2}$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Xét hàm số $y = - x - \frac{4}{x}$ trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
- B.
  Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2.
- C.
  Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $- 4$ và giá trị lớn nhất là 2.
- D.
  Hàm số có giá trị nhỏ nhất là $- 4$ và không có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn:
Vì $0 \in \lbrack - 1;2brack$ và $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 0^{-}}y = + \infty \\ \lim_{x ightarrow 0^{+}}y = - \infty \\ \end{matrix} ight.$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x) = \frac{x - m^{2} + m}{x + 1}$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ bằng $- 2.$
- A.
  $m = - 1,\ m = 2.$
- B.
  $m = - 1,\ m = - 2.$
- C.
  $m = 1,\ m = 2.$
- D.
  $m = 1,\ m = - 2.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = \frac{m^2 - m +1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x \in \lbrack 0;1brack.$
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\lbrack 0;1brack$
$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = f(0) = - m^{2} + m$
Theo bài ra:
$\min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - m^{2} + m = - 2$
$\Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Cho hàm số $f(x) = \frac{3x - 1}{x - 3}$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;2brack.$
- A.
  $M = 5;\ m = - \frac{1}{3}.$
- B.
  $M = 5;\ m = \frac{1}{3}.$
- C.
  $M = \frac{1}{3};\ m = - 5.$
- D.
  $M = - \frac{1}{3};\ m = - 5.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = \frac{- 8}{(x -3)^2}$ .
Ta có $f'(x) < 0,\forall x \in (0;2)$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ .
Vậy $\left\{ \begin{matrix} M = \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = f(0) = \frac{1}{3} \\ m = \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = f(2) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số m
Cho hàm số $f(x) = x^{3} + \left( m^{2} +1 \right)x + m^{2} - 2$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;2\rbrack$ bằng $7.$
- A.
  $m = \pm 1$ .
- B.
  $m = \pm 3$ .
- C.
  $m = \pm \sqrt{2}$ .
- D.
  $m=\pm \sqrt{7}$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} + m^{2} + 1> 0,\ \forall x\mathbb{\in R}$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\lbrack 0;2brack$
$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}f(x)= f(0) = m^{2} - 2$
Theo bài ra: $\min_{\lbrack0;2brack}f(x) = 7 \Leftrightarrow m^{2} - 2 = 7 \Leftrightarrow m =\pm 3.$
Câu 10: Nhận biết
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 5$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack.$
- A.
  $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = 14.$
- B.
  $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =13.$
- C.
  $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =23.$
- D.
  $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = - 4.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 4x^3 -4x$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \in \lbrack - 2;2brack \\ x = 1 \in \lbrack - 2;2brack \\ x = - 1 \in \lbrack - 2;2brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = f(2) = 13 \\ f( - 1) = f(1) = 4 \\ f(0) = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = 13$
Câu 11: Vận dụng
Tìm max của hàm số trên đoạn
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \left| x^{2} - 3x + 2 \right| - x$ trên đoạn $\lbrack - 4;4\rbrack$ .
- A.
  $M = 17.$
- B.
  $M = 68.$
- C.
  $M = 2.$
- D.
  $M = 34.$
Hướng dẫn:
Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\lbrack - 4;4brack$ .
Nếu $x \in \lbrack 1;2brack$ thì $x^{2} - 3x + 2 \leq 0$ nên suy ra $f(x) = - x^{2} + 2x - 2$ .
Đạo hàm $f'(x) = - 2x + 2$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack 1;2brack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(1) = - 1 \\ \ f(2) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Nếu $x \in \lbrack - 4;1brack \cup \lbrack 2;4brack$ thì $x^{2} - 3x + 2 \geq 0$ nên suy ra $f(x) = x^{2} - 4x + 2$ .
Đạo hàm $f'(x) = 2x - 4$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [ - 4;1] \cup \lbrack 2;4brack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 4) = 34 \\ \ f(1) = - 1 \\ f(2) = - 2 \\ f(4) = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
So sánh hai trường hợp, ta được $\max_{\lbrack - 4;4brack}f(x) = f( - 4) = 34$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm GTLN của hàm số lượng giác
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \frac{\sin x + 1}{sin^{2}x + \sin x + 1}$ .
- A.
  $M = \frac{110}{111}.$
- B.
  $M = 1.$
- C.
  $M = \frac{70}{79}.$
- D.
  $M = \frac{90}{91}.$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \sin x; ( - 1 \leq t \leq1).$
Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = \frac{t + 1}{t^2 + t + 1}$ trên đoạn $\lbrack - 1;1brack''$ .
Đạo hàm $g'(t) = \frac{- t^{2} - 2t}{\left( t^{2} + t + 1 ight)^{2}} \Rightarrow g'(t) = 0$
$\Leftrightarrow - t^2 - 2t = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \in \lbrack - 1;1brack \\ t = - 2 otin \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} g( - 1) = 0 \\ g(0) = 1 \\ g(1) = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;1brack}g(t) = g(0) = 1$ $\Rightarrow \max_{x\mathbb{\in R}}f(x) = 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Xét hàm số $f(x) = x^{3} + x - \cos x - 4$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số có giá trị lớn nhất là $5$ và có giá trị nhỏ nhất là $- 5$ .
- B.
  Hàm số có giá trị lớn nhất là $- 5$ nhưng không có giá trị nhỏ nhất.
- C.
  Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
- D.
  Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là $- 5$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f'(x) = 3x^{2} + 1 + \sin x > 0,\forall x\mathbb{\in R}$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\lbrack 0; + \infty)$ .
Khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là $\min_{\lbrack 0; + \infty)}f(x) = f(0) = - 5$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 2$ trên đoạn $[ - 1;2]$ ?
- A.
  $\max_{\lbrack - 1;2brack}f(x) = 15$
- B.
  $\max_{\lbrack - 1;2brack}f(x) = 10.$
- C.
  $\max_{\lbrack - 1;2brack}f(x) = 6.$
- D.
  $\max_{\lbrack - 1;2brack}f(x) = 12$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 6x^2 + 6x -12$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in \lbrack - 1;2brack \\ x = - 2 otin \lbrack - 1;2brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 15 \\ f(1) = - 5 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;2brack}f(x) = 15$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m
Cho hàm số $f(x) = \frac{x - m^{2}}{x + 8}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;3brack$ bằng $- 2.$
- A.
  $m = 4$ .
- B.
  $m = - 4$ .
- C.
  $m = 5$ .
- D.
  $m = 1$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = \frac{8 + m^{2}}{(x + 8)^{2}} > 0,\ \forall x \in \lbrack 0;3brack$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 0;3brack$
$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = f(0) = - \frac{m^{2}}{8}$
Thao bài ra: $\min_{\lbrack 0;3brack}f(x) = - 2 \Leftrightarrow - \frac{m^{2}}{8} = - 2 \Leftrightarrow m = \pm 4$
Suy ra giá trị $m$ lớn nhất là $m = 4.$
Câu 16: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức P
Biết rằng hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;4brack$ tại $x_{0}$ . Tính $P = x_{0} + 2018.$
- A.
  $P = 3.$
- B.
  $P = 2019.$
- C.
  $P = 2018.$
- D.
  $P=2021.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 otin \lbrack 0;4brack \\ x = 3 \in \lbrack 0;4brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 28 \\ f(3) = 1 \\ f(4) = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = 1$ khi $x = 3 = x_{0} ightarrow P = 2021$
Câu 17: Vận dụng
Định giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} -2\sqrt{- x^2 + 4x - 3}$ .
- A.
  $M = - \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \frac{9}{4}.$
- C.
  $M = \sqrt{2}.$
- D.
  $M = 0.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \lbrack 1;3brack$
Đặt $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x}\ \ \ \left( \sqrt{2} \leq t \leq 2 ight)$
$\Rightarrow t^{2} = x - 1 + 3 - x + 2\sqrt{x - 1}\sqrt{3 - x}$
$\Rightarrow - 2\sqrt{- x^{2} + 4x - 3} = 2 - t^{2}$
Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = - t^{2} + t + 2$ trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack''$ .
Xét hàm số $g(t) = - t^{2} + t + 2$ xác định và liên tục trên $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$
Đạo hàm $g'(t) = - 2t + 1 < 0,\ \forall t \in \left( \sqrt{2};2 ight)$ .
Suy ra hàm số $g(t)$ nghịch biến trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$
Do đó $\max_{\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack}g(t) = g\left( \sqrt{2} ight) = \sqrt{2}\overset{}{ightarrow}\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \sqrt{2}.$
Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại sao biết được $t \in \left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack$ .
Từ phép đặt ẩn phụ $t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{3 - x} = h(x)$ .
Đạo hàm $h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}}$
$\Rightarrow h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \lbrack 1;3brack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} h(1) = \sqrt{2} \\ h(2) = 2 \\ h(3) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack 1;3brack}h(x) = \sqrt{2} \\ \max_{\lbrack 1;3brack}h(x) = 2 \\ \end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \sqrt{2} \leq h(x) \leq 2 \Rightarrow \sqrt{2} \leq t \leq 2$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa căn
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f(x) = x + \sqrt{2 - x^2}$ .
- A.
  $m = - \sqrt{2}.$
- B.
  $m=\sqrt{2}.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = - 1.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \left\lbrack - \sqrt{2};\sqrt{2} ightbrack.$
Đạo hàm $f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = 1$
$\Leftrightarrow \sqrt{2 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 2 - x^{2} = x^{2} \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow x = 1 \in \left\lbrack - \sqrt{2};\sqrt{2} ightbrack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f\left( - \sqrt{2} ight) = - \sqrt{2} \\ f(1) = 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = - \sqrt{2}$
Câu 19: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $f(x) = \sqrt{2x + 14} + \sqrt{5 - x}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{3}.$
- B.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - 7.$
- C.
  Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2\sqrt{6}.$
- D.
  Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 1.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \lbrack - 7;5brack$ .
Đạo hàm $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 14}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x}}$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \lbrack - 7;5brack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 7) = 2\sqrt{3} \\ f(5) = 2\sqrt{6} \\ f(1) = 6 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 7;5brack}f(x) = f( - 7) = 2\sqrt{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số
Tìm giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $f(x) = - x^{3} - 3x^{2} + a$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ bằng $0.$
- A.
  $a = 2.$
- B.
  $a = 0$ .
- C.
  $a = 4$ .
- D.
  $a = 6$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = - 3x^{2} - 6x$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \in \lbrack - 1;1brack \\ x = - 2 otin \lbrack - 1;1brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = a - 2 \\ f(0) = a \\ f(1) = a - 4 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = f(1) = a - 4$
Theo bài ra: $\min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = 0 \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4$
Câu 21: Thông hiểu
Tìm m để giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn cho trước
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x + m^{2}}{x - 1}$ trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng:
- A.
  $- m^{2}$ .
- B.
  $\frac{1 -m^2}{2}$ .
- C.
  $m^{2}.$
- D.
  $\frac{m^{2} - 1}{2}$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = \frac{- 1 - m^{2}}{(x - 1)^{2}} < 0,\forall x \in \lbrack - 1;0brack$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\lbrack - 1;0brack$
$\Rightarrow \min_{\lbrack - 1;0brack}f(x) = f(0) = - m^{2}$ .
Câu 22: Vận dụng
Xác định mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$ (với $m$ là tham số thực) thỏa mãn $\min_{\lbrack 2;4brack}y = 3$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $m < - \ 1.$
- B.
  $3 < m \leq 4.$
- C.
  $1 \leq m < 3.$
- D.
  $m > 4.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = - \frac{m + 1}{(x - 1)^{2}}.$
TH1. Với $m > - \ 1$ suy ra $f'(x) = - \frac{m + 1}{(x - 1)^{2}} < 0;\ \ \forall x eq 1$ nên hàm số $f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó $\min_{\lbrack 2;4brack}y = f(4) = \frac{m + 4}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa mãn).
TH2. Với $m < - 1$ suy ra $f'(x) = - \frac{m + 1}{(x - 1)^2} > 0;\ \ \forall x eq 1$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Khi đó $\min_{\lbrack 2;4brack}y = f(2) = m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1$ (Không thỏa mãn).
Vậy $m = 5$ là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện $m > 4$ .
Câu 23: Nhận biết
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^{3} - 2x^{2} - 4x + 1$ trên đoạn $\lbrack 1;3brack.$
- A.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 2.$
- B.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 1$
- C.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 7.$
- D.
  $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) =\frac{67}{27}.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} - 4x - 4$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \in \lbrack 1;3brack \\ x = - \frac{2}{3} otin \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(1) = - 4 \\ f(2) = - 7 \\ f(3) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 2$
Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm $f(X) = X^{3} - 2X^{2} - 4X + 1$ với thiết lập Start 1, End $3,$ Step $0,2$ .
Quan sát bảng giá trị $F(X)$ ta thấy giá trị lớn nhất $F(X)$ bằng $- 2$ khi $X = 3.$
Câu 24: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số chứa căn
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{2 - x} + 2\sqrt{2x - x^{2}}$ .
- A.
  $M = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = \sqrt{2}.$
- C.
  $M=4.$
- D.
  $M = 8.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \lbrack 0;2brack.$
Đặt $t = \sqrt{x} + \sqrt{2 - x}\ \left( \sqrt{2} \leq t \leq 2 ight).$
$\Rightarrow t^{2} = x + 2\sqrt{x}\sqrt{2 - x} + 2 - x$
$\Rightarrow 2\sqrt{2x - x^2} = t^2 -2$
Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(t) = t^{2} + t - 2$ trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack''$ .
Xét hàm số $g(t) = t^2 + t - 2$ xác định và liên tục trên $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$
Đạo hàm $g'(t) = 2t + 1 > 0,\ \forall t \in \left( \sqrt{2};2 ight)$ .
Suy ra hàm số $g(t)$ đồng biến trên đoạn $\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack.$
Do đó $\max_{\left\lbrack \sqrt{2};2 ightbrack}g(t) = g(2) = 4 \Rightarrow \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 4.$
Câu 25: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Xét hàm số $f(x) = - \frac{4}{3}x^{3} - 2x^{2} - x - 3$ trên $\lbrack - 1;1brack$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = - 1$ và giá trị lớn nhất tại $x = 1$ .
- B.
  Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại $x = 1$ .
- C.
  Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = - 1$ nhưng không có giá trị lớn nhất.
- D.
  Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$ và giá trị lớn nhất tại $x = - 1$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = - 4x^{2} - 4x - 1 = -(2x + 1)^2 \leq 0,\ \forall x\mathbb{\in R}.$
Suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên đoạn $\lbrack - 1;1brack$ nên có giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$ và giá trị lớn nhất tại $x = - 1$ .
Câu 26: Thông hiểu
Định giá trị lớn nhất của hàm số chứa căn
Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}.$
- A.
  $M = 2.$
- B.
  $M = 3.$
- C.
  $M=4.$
- D.
  $M = 1.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \lbrack 2;4brack$ .
Đạo hàm $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} - \frac{1}{2\sqrt{4 - x}}$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in \lbrack 2;4brack$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = \sqrt{2} \\ f(3) = 2 \\ f(4) = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow M = 2.$
Câu 27: Thông hiểu
Định tập giá trị T của hàm số
Tìm tập giá trị $T$ của hàm số $f(x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ với $x \in \lbrack 3;5brack$ .
- A.
  $T = \left\lbrack \frac{38}{3};\frac{526}{15} ightbrack$ .
- B.
  $T = \left\lbrack \frac{29}{3};\frac{526}{15} ightbrack$ .
- C.
  $T = \left\lbrack \frac{38}{3};\frac{142}{5} ightbrack$ .
- D.
  $T = \left\lbrack \frac{29}{3};\ \frac{127}{5} ightbrack.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 2x - \frac{2}{x^{2}}= \frac{2\left( x^3 - 1 ight)}{x^{2}} > 0,\ \forall x \in(3;5)$
Suy ra hàm số đồng biến trên $[3;5]$ nên $\left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack 3;5brack}f(x) = f(3) = \frac{29}{3} \\ \max_{\lbrack 3;5brack}f(x) = f(5) = \frac{127}{5} \\ \end{matrix} ight.$
Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left\lbrack \frac{29}{3};\ \frac{127}{5} ightbrack.$
Câu 28: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f(x) = x\sqrt{4 - x^{2}}$ .
- A.
  $M = 2;\ m = 0.$
- B.
  $M = \sqrt{2};\ m = -\sqrt{2}.$
- C.
  $M = 2;\ m = - 2.$
- D.
  $M = \sqrt{2}; m =0.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D = \lbrack - 2;2brack.$
Ta có:
$f'(x) = \sqrt{4 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{4 - 2x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$
$\Rightarrow f'(x) = 0$
$\Leftrightarrow 4 - 2x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{2} \in \lbrack - 2;2brack \\ x = - \sqrt{2} \in \lbrack - 2;2brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 0 \\ f\left( - \sqrt{2} ight) = - 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = 2 \\ f(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 2;\ m = - 2$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số $f(x) = \frac{2x^{2} + x + 1}{x + 1}$ . Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;1brack.$
- A.
  $M = 2;\ m = \sqrt{2}.$
- B.
  $M = 2;\ m = 1.$
- C.
  $M = 1;\ m = - 2.$
- D.
  $M = \sqrt{2};\ m = 1.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = \frac{2x^{2} + 4x}{(x+ 1)^2}$ .
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f'(x) \geq 0,\ \forall x \in \lbrack 0;1brack \\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ .
Vậy $\left\{ \begin{matrix} M = \max_{\lbrack 0;1brack}f(x) = f(1) = 2 \\ m = \min_{\lbrack 0;1brack}f(x) = f(0) = 1 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ trên đoạn $\lbrack 2;4brack$ .
- A.
  $\min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = - 3$ .
- B.
  $\min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = 6$ .
- C.
  $\min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = \frac{19}{3}$ .
- D.
  $\min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = - 2$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = \frac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}$
$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 otin [ 2;4] \\ x = 3 \in \lbrack 2;4brack \\ \end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 7 \\ f(3) = 6 \\ f(4) = \frac{19}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = 6.$
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
Bước 2: Nhập $f(X) = \frac{X^{2} + 3}{X - 1}.$
Sau đó ấn phím $=$ (nếu có $g(X)$ thì ấn tiếp phím $=$ ) sau đó nhập $\left\{ \begin{matrix} Start = 2 \\ End = 4 \\ Step = 0.2 \\ \end{matrix} ight.$
(Chú ý: Thường ta chọn $Step = \frac{End -Start}{10}$ )
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $\min_{\lbrack 2;4brack}f(x) = f(3) = 6.$
Câu 31: Thông hiểu
Xác định hàm số theo yêu cầu
Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ?
- A.
  $y = x^{4} + x^{2}$ .
- B.
  $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ .
- C.
  $y = x^{3} + 2$ .
- D.
  $y = - x + 1$ .
Hướng dẫn:
Nhận thấy hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ không xác định tại $x = - 1 \in [ - 2;2]$
Lại có $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}\frac{x - 1}{x + 1} = - \infty;\ \lim_{x ightarrow - 1^{-}}\frac{x - 1}{x + 1} = + \infty$ .
Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên $\lbrack - 2;2brack$ .
Câu 32: Vận dụng
Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f(x) = 2\cos^{3}x - \frac{9}{2}\cos^{2}x +3\cos x + \frac{1}{2}$ .
- A.
  $m = 1.$
- B.
  $m = - 24.$
- C.
  $m = - 9.$
- D.
  $m = - 12.$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \cos x\ ( - 1 \leq t \leq1).$
Khi đó, bài toán trở thành $''$ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(t) = 2t^{3} - \frac{9}{2}t^{2} + 3t +\frac{1}{2}$ trên đoạn $\lbrack -1;1brack''$ .
Đạo hàm $g'(t) = 6t^{2} - 9t +3$
$\Rightarrow g'(t) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = 1 \in \lbrack - 1;1brack \\t = \frac{1}{2} \in \lbrack - 1;1brack \\\end{matrix} ight.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}g( - 1) = - 9 \\g\left( \dfrac{1}{2} ight) = \dfrac{9}{8} \\g(1) = 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow\min_{\lbrack - 1;1brack}g(t) = g( - 1) = - 9$
$\Rightarrow \min_{x\mathbb{\in R}}f(x) =- 9$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!