Bài tập Toán 12: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số - Tính đơn điệu của hàm số

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số đa thức $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Biết $f(0) = 0$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình sau.
Hàm số $g(x) = \left| 4f(x) + x^{2} \right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(4; + \infty).$
- B.
  $(0;4).$
- C.
  $( - 2;0).$
- D.
  $( - \infty; - 2).$
Hướng dẫn:
Xét hàm số $h(x) = 4f(x) + x^{2}$ trên $\mathbb{R}$ .
Vì $f(x)$ là hàm số đa thức nên $h(x)$ cũng là hàm số đa thức và $h(0) = 4f(0) = 0$ .
Ta có $h'(x) = 4f'(x) + 2x$ .
Do đó $h'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = - \frac{1}{2}x$ .
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và đường thẳng $y = - \frac{1}{2}x$ , ta có $h'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ - 2;0;4 ight\}$
Suy ra bảng biến thiên của hàm số $h(x)$ như sau:
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $g(x) = \left| h(x) ight|$ như sau:
Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;4)$ .
Câu 2: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $f(x)$ , bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:
Hàm số $y = f(5 - 2x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1; 3)$ .
- B.
  $(1 ; 3)$ .
- C.
  $(4\ ;\ 5)$ .
- D.
  $(3\ ;\ 4)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = f'(5 - 2x) = - 2f'(5 - 2x)$ .
$y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 2f^{'(5 - 2x)} = 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5 - 2x = - 3 \\ 5 - 2x = - 1 \\ 5 - 2x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
$f'(5 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5 - 2x < - 3 \\ - 1 < 5 - 2x < 1 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 4 \\ 2 < x < 3 \\ \end{matrix} ight.$
$f'(5 - 2x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5 - 2x > 1 \\ - 3 < 5 - 2x < - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 2 \\ 3 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên hàm số $y = f(5 - 2x)$ đồng biến trên khoảng $(4\ ;\ 5)$ .
Câu 3: Vận dụng
Tìm mệnh đề sai
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x) = f\left( x^{2} - 2 \right)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$ .
- B.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ .
- C.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ .
- D.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $g'(x) = \left( x^{2} - 2 ight)^{'}.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)$ .
Hàm số nghịch biến khi $g'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x.f'\left( x^{2} - 2 ight) \leq 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$
Từ đồ thị hình của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ, ta thấy
$f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$ và $f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$ .
+ Với $\left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 2 \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 0 \hfill \\ {x^2} \geqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ x \leqslant - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow x \leqslant - 2$ .
+ Với $\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 2 \leq 2 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} \leq 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2$ .
Như vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( - \infty; - 2)$ , $(0;2)$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $( - 2;0)$ và $(2; + \infty)$ .
Do $( - 1;0) \subset ( - 2;0)$ nên hàm số đồng biến trên $( - 1;0)$ . Vậy “Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ ” sai.
Câu 4: Vận dụng
Chọn phương án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số $g(x) = f\left( 3 - 2^{x} \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây
- A.
  $(3; + \infty)$ .
- B.
  $(1;2)$ .
- C.
  $(2;7)$ .
- D.
  $( - \infty; - 5)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $g'(x) = - 2^{x}ln2.f'\left( 3 - 2^{x} ight)$ .
Để $g(x) = f\left( 3 - 2^{x} ight)$ đồng biến thì
$g'(x) = - 2^{x}ln2.f'\left( 3 - 2^{x} ight) \geq 0 \Leftrightarrow f'\left( 3 - 2^{x} ight) \leq 0$
$\Leftrightarrow - 5 \leq 3 - 2^{x} \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 3$ .
Vậy hàm số đồng biến trên $(1;\ 2)$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm kết luận đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - 1;2)$ .
- B.
  Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .
- C.
  Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 1; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \infty;1)$ .
Hướng dẫn:
Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có trên khoảng $( - \infty;1)$ đồ thị hàm số đi xuống (theo chiều từ trái qua phải) nên nghịch biến trên khoảng $( - \infty;1)$ .
Câu 6: Nhận biết
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
- A.
  $(1;2)$ .
- B.
  $( - 1;1).$
- C.
  $( - 1;2).$
- D.
  $(2; + \infty).$
Hướng dẫn:
Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ nên nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1\ ;\ + \infty)$ .
- B.
  $( - 1\ ;\ + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty\ ;\ - 1)$ .
- D.
  $( - \infty\ ;\ 1)$ .
Hướng dẫn:
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \infty\ ;\ - 1)$ và $( - 1\ ;\ 1)$ .
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \infty\ ;\ - 1)$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
- A.
  $( - \infty; - 1).$
- B.
  $( - 1; + \infty).$
- C.
  $( - 1;0).$
- D.
  $(0;1)$
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 1;0).$
Câu 9: Nhận biết
Chọn phương án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0;\ 1)$ .
- B.
  $( - \infty;\ - 1)$ .
- C.
  $( - 1;\ 0).$
- D.
  $(0;\ + \infty)$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta có:
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - 1;\ 0)$ và $(1;\ + \infty)$ , đồng biến trên các khoảng $( - \infty;\ - 1)$ và $(0;\ 1).$
Câu 10: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty; - 3)$ .
- B.
  $( - 3;3)$ .
- C.
  $( - 3;0)$ .
- D.
  $(0;3)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 3;0)$ và $(3; + \infty)$ .
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ
Hàm số $y = f\left( 2 - x^{2} \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $( - \infty;0)$ .
- B.
  $(1;2)$ .
- C.
  $(0; + \infty)$ .
- D.
  $(0;1)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số $y = f\left( 2 - x^{2} ight)$ có $y' = - 2x.f'\left( 2 - x^{2} ight)$
$\begin{matrix} y' = - 2x.f'\left( 2 - x^{2} ight) > 0 \end{matrix}$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 1 < 2 - x^{2} < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x^{2} < 1 \\ 2 - x^{2} > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ - 1 < x < 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} x < - 1 \hfill \\ x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 0 < x < 1 \hfill \\ x < - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty; - 1)$ .
- B.
  $( - 1;0)$
- C.
  $(0;1)$ .
- D.
  $( - 1;1)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$
Câu 13: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến trên khoảng
- A.
  $( - 2;1)$
- B.
  $\left( \mathbf{2;}\mathbf{+ \infty} ight)$
- C.
  $( - \infty; - 2)$
- D.
  $(1;3)$
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta thấy $f'(x) < 0$ với $\left\lbrack \begin{matrix} x \in (1;4) \\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $( - \infty; - 1)$ suy ra $g(x) = f( - x)$ đồng biến trên $( - 4; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .
Khi đó $f(2 - x)$ đồng biến biến trên khoảng $( - 2;1)$ và $(3; + \infty)$
Cách 2:
Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta có $f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Ta có $\left( f(2 - x) ight)^{'} = (2 - x)^{'}.f'(2 - x) = - f'(2 - x)$ .
Để hàm số $y = f(2 - x)$ đồng biến thì $\left( f(2 - x) ight)^{'} > 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 14: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;0)$
- B.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$
- C.
  Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$
- D.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$
Hướng dẫn:
Theo bảng xét dấu thì $y' < 0$ khi $x \in (0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 15: Nhận biết
Xác định khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
- A.
  $(4; + \infty)$ .
- B.
  $( - \infty;2)$ .
- C.
  $(0;1)$ .
- D.
  $( - 1;1)$ .
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 16: Vận dụng
Tìm khoảng biến của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số $y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty; - 1).$
- B.
  $( - 1;0).$
- C.
  $(0;2).$
- D.
  $(1; + \infty).$
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = 3\left\lbrack f'(x + 2) - \left( x^{2} - 3 ight) ightbrack$
Với $x \in ( - 1;0) \Rightarrow x + 2 \in (1;2) \Rightarrow f'(x + 2) > 0$ , lại có $x^{2} - 3 < 0 \Rightarrow y' > 0;\forall x \in ( - 1;0)$
Vậy hàm số $y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x$ đồng biến trên khoảng $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$
Chú ý:
+) Ta xét $x \in (1;2) \subset (1; + \infty) \Rightarrow x + 2 \in (3;4) \Rightarrow f'(x + 2) < 0;x^{2} - 3 > 0$
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ nên loại hai phương án $( - \infty; - 1).$
+) Tương tự ta xét
$x \in ( - \infty; - 2)\Rightarrow x + 2 \in ( - \infty;0)$
$\Rightarrow f'(x + 2) <0;x^{2} - 3 > 0 \Rightarrow y' < 0;\forall x \in ( - \infty; - 2)$
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$
Câu 17: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x) = f(x - 1) + \frac{2019 - 2018x}{2018}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1\ ;\ 0)$ .
- B.
  $(1\ ;\ 2)$ .
- C.
  $(0\ ;\ 1)$ .
- D.
  $(2\ ;\ 3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $g'(x) = f'(x - 1) - 1$ .
$g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow f'(x- 1) - 1 \geq 0 \Leftrightarrow f'(x - 1) \geq 1$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 \leq - 1 \\ x - 1 \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Từ đó suy ra hàm số $g(x) = f(x - 1) + \frac{2019 - 2018x}{2018}$ đồng biến trên khoảng $( - 1\ ;\ 0)$ .
Câu 18: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
- A.
  $(0\ ;\ 2)$ .
- B.
  $( - \infty\ ;\ 0)$ .
- C.
  $( - 2\ ;\ 2)$ .
- D.
  $( - 2\ ;\ 0)$ .
Hướng dẫn:
Trên khoảng $( - 2\ ;\ 0)$ đồ thị hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên chọn.
Trên khoảng $( - \infty\ ;\ 0)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại.
Trên khoảng $( - 2\ ;\ 2)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.
Trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại.
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây
- A.
  $(0;2)$
- B.
  $( - 2;2)$
- C.
  $(2; + \infty)$ .
- D.
  $( - 2;0)$
Hướng dẫn:
Ta có $D\mathbb{= R}$ ,
$y' = \frac{2x}{\sqrt{2x^{2} + 1}}$ ; $y' > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;\ 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0;\ + \infty)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số $y = - 2f(x) + 2019$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
- A.
  $(2;4)$ .
- B.
  $( - 2; - 1)$ .
- C.
  $( - 1;2)$ .
- D.
  $( - 4;2)$ .
Hướng dẫn:
Xét $y = g(x) = - 2f(x) + 2019$ .
Ta có $g'(x) = \left( - 2f(x) + 2019 ight)^{'} = - 2f'(x)$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$ , ta có bảng xét dấu của $g'(x)$ :
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;2)$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cho như hình vẽ
Hàm số $g(x) = 2f\left( |x - 1| \right) - x^{2} + 2x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $(1;3)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $( - 2;0)$ .
- D.
  $( - 3;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có đường thẳng $y = x$ cắt đồ thị hàm số $y = f'(x)$ tại các điểm $x = - 1;\ \ x = 1;\ \ x = 3$ như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có $f'(x) > x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 1 \\ 1 < x < 3 \\ \end{matrix} ight.$ và $f'(x) < x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 1 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
+ Trường hợp 1: $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ , khi đó ta có $g(x) = 2f(1 - x) - x^{2} + 2x + 2020$ .
Ta có $g'(x) = - 2f'(1 - x) + 2(1 - x)$ .
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow -2f'(1 - x) + 2(1 - x) > 0$
$\Leftrightarrow f'(1 - x) < 1 -x$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 1 - x < 1 \\ 1 - x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 2 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
Kết hợp điều kiện ta có $g'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 1 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
+ Trường hợp 2: $x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ , khi đó ta có $g(x) = 2f(x - 1) - x^{2} + 2x + 2020$ .
$g'(x) = 2f'(x - 1) - 2(x - 1)$
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow2f'(x - 1) - 2(x - 1) > 0$
$\Leftrightarrow f'(x - 1) > x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 < - 1 \\ 1 < x - 1 < 3 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ 2 < x < 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Kết hợp điều kiện ta có $g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 4$ .
Vậy hàm số $g(x) = 2f\left( |x - 1| ight) - x^{2} + 2x + 2020$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty\ ;\ 0)$ .
- B.
  $(0\ ;\ 2)$ .
- C.
  $(0;\ + \infty)$ .
- D.
  $(1\ ;\ 3)$ .
Hướng dẫn:
Trên khoảng $( - \infty\ ;\ 0)$ đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Trên khoảng $(1; 3)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến nên chọn.
Trên khoảng $(0\ ;\ + \infty)$ đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến và có đoạn hướng đi xuống là hàm số nghịch biến nên loại.
Câu 23: Nhận biết
Xác định hàm số thích hợp
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0;1)$
- B.
  $( - 1;0)$
- C.
  $( - 1;1)$
- D.
  $( - \infty - 1)$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ biết hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ và hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Đặt $g(x) = f(x+1)$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2\ ;\ + \infty)$ .
- B.
  Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3\ ;\ 4)$ .
- C.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(4\ ;\ 6)$ .
- D.
  Hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(0\ ;\ 1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:
$g(x) = f(x+1)$ .
Ta có: $g'(x) = f'(x + 1)$
Hàm số $g(x)$ đồng biến
$\Leftrightarrow g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x + 1) > 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 1 > 5 \hfill \\ 1 < x + 1 < 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x > 4 \hfill \\ 0 < x < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ .
Hàm số $g(x)$ nghịch biến
$\Leftrightarrow g'(x) < 0\Leftrightarrow f'(x + 1) > 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < x + 1 < 5 \\ x + 1 < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 < x < 4 \\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ ; $(4;\ + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(2\ ;\ 4)$ ; $( - \infty;\ 0)$ .
Câu 25: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;0)$
- B.
  $(1; + \infty)$
- C.
  $( - \infty;1)$
- D.
  $(0;1)$
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;1)$ .
Câu 26: Vận dụng
Chọn phương án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ . Biết đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( 3 - x^{2} \right) + 2018$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;\ \ 0)$
- B.
  $( - 2;\ \ - 1)$
- C.
  $(0;\ \ 1)$
- D.
  $(2;\ \ 3)$
Hướng dẫn:
Ta có $\left\lbrack f\left( 3 - x^{2} ight) + 2018 ightbrack^{'} = - 2x.f'\left( 3 - x^{2} ight)$ .
$- 2x.f'\left( 3 - x^{2} ight) = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 3 - x^{2} = - 6 \\ 3 - x^{2} = - 1 \\ 3 - x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Bảng xét dấu của đạo hàm hàm số đã cho
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;\ \ 0)$ .
Câu 27: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( - \infty; - \frac{1}{2} ight)$ và $(3; + \infty)$ .
- B.
  Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - \infty;3)$ .
- C.
  Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( - \frac{1}{2}; + \infty ight)$ .
Hướng dẫn:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tìm mệnh đề đúng
Cho hàm số $f(x)$ , bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:
Hàm số $y = f(3 - 2x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(3\ ;\ 4)$ .
- B.
  $( - \infty ; - 3)$ .
- C.
  $(2\ ;\ 3)$ .
- D.
  $(0\ ;\ 2)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = - 2.f'(3 - 2x) \geq 0 \Leftrightarrow f'(3 - 2x) \leq 0$
$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x \leq - 3 \\ - 1 \leq 3 - 2x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ 1 \leq x \leq 2. \\ \end{matrix} ight.$
Câu 29: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0; + \infty).$
- B.
  $(0;2).$
- C.
  $(2; + \infty).$
- D.
  $( - 2;0).$
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(0;2)$ thì $f'(x) < 0$ .
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Câu 30: Nhận biết
Tìm khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(1; + \infty)$ .
- B.
  $( - 1;1)$ .
- C.
  $( - 1; + \infty)$ .
- D.
  $( - \infty;1)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!