Bài tập Toán 12 Tìm m để hàm số có tiệm cận - Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
- A.
  $m > 4.$
- B.
  $m = - 12,m > 4.$
- C.
  $m eq 4.$
- D.
  $m = - 12.$
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0y = 0$ là tiệm cận ngang với mọi $m$ .

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình $x^{2} - 4x + m = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \ \ \Delta' < 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m > 4$ .

Nhận xét.

Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức $x^{2} - 4x + m = 0$ có nghiệm $x = - 2 ightarrow m = - 12$ .Điều này là sai, vì với $m = - 12$ thì hàm số trở thành $y = \frac{1}{x - 6}$ . Đồ thị này vẫn còn tiệm cận đứng là $x = 6$ .
Câu 2: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{3x^{2} - 2ax + a}$ có đúng một tiệm cận đứng.
- A.
  $a = 0,a = 3.$
- B.
  $a = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}.$
- C.
  $a = 1,a = 2.$
- D.
  $a = \pm 2.$
Hướng dẫn:
Để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{3x^{2} - 2ax + a}$ có đúng một tiệm cận đứng $\Leftrightarrow 3x^{2} - 2ax + a = 0$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow \Delta' = a^{2} - 3a = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 3: Vận dụng
Xác định tọa độ các điểm M theo yêu cầu
Tìm trên đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ những điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang của đồ thị.
- A.
  $M(4;3)$ hoặc $M( - 2;1)$ .
- B.
  $M\left( - 4;\frac{7}{5} ight)$ hoặc $M( - 2;1)$ .
- C.
  $M(4;3)$ hoặc $M(2;5)$ .
- D.
  $M\left( - 4;\frac{7}{5} ight)$ hoặc $M(2;5)$ .
Hướng dẫn:
Gọi $M\left( a\ ;\ \frac{2a + 1}{a - 1} ight)$ với $a eq 1$ là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng $d:x = 1\ ;$ đường tiệm cận ngang $d':y = 2$ .

Ycbt $\Leftrightarrow \ \ d\lbrack M,dbrack = 3d\lbrack M,d'brack\ \ \Leftrightarrow \ \ |a - 1| = 3\left| \frac{2a + 1}{a - 1} - 2 ight|\$

$\Leftrightarrow \ \ (a - 1)^{2} = 9\ \ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} a = 4 \\ a = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \ \Rightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix} M(4\ ;\ 3) \\ M( - 2\ ;\ 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Áp dụng công thức giải nhanh.

$\left| \frac{cx_{0} + d}{c} ight| = k\left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d ight)} ight| ightarrow x_{0} = - \frac{d}{c} \pm \sqrt{kp}$

Với $c = 1,\ \ d = - 1,\ \ k = 3,\ \ p = \left| \frac{ad - bc}{c^{2}} ight| = 3$ .

Suy ra $x_{0} = 1 \pm 3$ .
Câu 4: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm sô $y = \frac{mx - 1}{2x + m}$ có đường tiệm cận đứng đi qua điểm $M\left( - 1;\sqrt{2} \right).$
- A.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = 2$ .
- D.
  $m = \frac{1}{2}.$
Hướng dẫn:
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - \frac{m}{2} ight\}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow \left( - \frac{m}{2} ight)^{-}}y = \lim_{x ightarrow \left( - \frac{m}{2} ight)^{-}}\frac{mx - 1}{2x + m} = + \infty \\ \lim_{x ightarrow \left( - \frac{m}{2} ight)^{+}}y = \lim_{x ightarrow \left( - \frac{m}{2} ight)^{+}}\frac{mx - 1}{2x + m} = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow x = - \frac{m}{2}$ là TCĐ.

Do đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - \frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2$ .
Câu 5: Vận dụng
Chọn đáp án thích hợp
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{mx^{4} + 3}}$ có đường tiệm cận ngang.
- A.
  $m > 0$ .
- B.
  $m \geq 0$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m < 0$ .
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{mx^{4} + 3}}$ có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn $\lim_{x ightarrow + \infty}y$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}y$ tồn tại hữu hạn.

Ta có:

Với $m = 0\overset{}{ightarrow}y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{3}}$ .

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = + \infty \\ \end{matrix} ight.$ suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

Với $m < 0$ , khi đó hàm số có tập xác định: $D = \left( - \sqrt[4]{- \frac{3}{m}};\sqrt[4]{- \frac{3}{m}} ight)$ nên ta không xét trường hợp $x ightarrow + \infty$ hay $x ightarrow - \infty$ được.

Do đó hàm số không có tiệm cận ngang.

Với $m > 0$ , khi đó hàm số có tập xác định $D\mathbb{= R}$ và $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x^{2}\left( 1 + \frac{2}{x^{2}} ight)}{x^{2}\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}$ $ightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}}$ là TCN.
Câu 6: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2017;2017brack$ để hàm số $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x + m}}$ có hai tiệm cận đứng.
- A.
  $2020.$
- B.
  $2019.$
- C.
  $2021.$
- D.
  $2018.$
Hướng dẫn:
Để hàm số $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x + m}}$ có hai tiệm cận đứng $\Leftrightarrow \ \ x^{2} - 4x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 2$

$\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4.( - 2) + m eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m > 0 \\ m + 12 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 4 \\ m eq - 12 \\ \end{matrix} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z};m \in \lbrack - 2017;2017brack$ $\Rightarrow m \in \left\{ - 2017;...;0;1;2;3 ight\}\backslash\left\{ - 12 ight\}$ .

Vậy có tất cả $2020$ giá trị nguyên thỏa mãn.
Câu 7: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận theo yêu cầu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
- A.
  $m < 4.$
- B.
  $m > 4.$
- C.
  $\mathbf{m eq}\mathbf{4.}$
- D.
  $m = 4,m = - 12.$
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 ightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang với mọi $m.$

Để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}$ có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ Phương trình $x^{2} - 4x + m = 0$ có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng $- 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \Delta' = 4 - m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 4 - m > 0 \\ ( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 12 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2m^{2}x - 5}{x + 3}$ nhận đường thẳng $y = 8$ làm tiệm cận ngang.
- A.
  $m = - 2.$
- B.
  $m=0.$
- C.
  $m = \pm 2.$
- D.
  $m = 2.$
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2m^{2}x - 5}{x - 3} = 2m^{2} ightarrow y = 2m^{2}$ là TCN.

Do đó theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 2m^{2} = 8 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .
Câu 9: Vận dụng
Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2}}}$ với $m$ là tham số thực và $m > \frac{1}{2}.$ Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A.
  $1$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Khi $m > \frac{1}{2}$ thì phương trình $x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} = 0$ vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2}}} = 1 ightarrow y = 1$ là TCN;

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2}}} = - 1 ightarrow y = - 1$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận.
Câu 10: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} - 3x + m}{x - m}$ không có tiệm cận đứng.
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = 1,m = 2$ .
- C.
  $m = 0,m = 1$ .
- D.
  $m = 1$ .
Hướng dẫn:
TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$ .

Ta có $y = \frac{(x - m)(2x + 2m - 3) + 2m(m - 1)}{x - m}$ $= 2x + 2m - 3 + \frac{2m(m - 1)}{x - m}$

Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn $\lim_{x ightarrow m^{\pm}}y$ tồn tại hữu hạn $\Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Cách 2. (Chỉ áp dụng cho mẫu thức là bậc nhất)

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình $2x^{2} - 3x + m = 0$ có một nghiệm là $x = m$

$\Rightarrow 2m^{2} - 3m + m = 0$ $\Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị của hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}}$ có hai tiệm cận ngang.
- A.
  $m < 0$ .
- B.
  Không có giá trị thực nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
- C.
  $m > 0$ .
- D.
  $m = 0$ .
Hướng dẫn:
Khi $m > 0,$ ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}} = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}$ $ightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}}$ là TCN ;

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x\left( 1 + \frac{1}{x} ight)}{|x|\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = - \frac{1}{\sqrt{m}}$ $ightarrow y = - \frac{1}{\sqrt{m}}$ là TCN.

Với $m = 0$ suy $y = \frac{x + 1}{1}$ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Với $m < 0$ thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN.

Vậy với $m > 0$ thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Câu 12: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức S
Biết rằng đồ thị hàm số $y = \frac{(m - 2n - 3)x + 5}{x - m - n}$ nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng $S = m^{2} + n^{2} - 2.$
- A.
  $S=2$
- B.
  $S = 0.$
- C.
  $S=1$
- D.
  $S=-1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{(m - 2n - 3)x + 5}{x - m - n} = m - 2n - 3$ $\Rightarrow y = m - 2n - 3$ là TCN;

$\left| \lim_{x ightarrow (n + m)^{+}}y ight| = + \infty ightarrow x = m + n$ là TCĐ.

Từ giả thiết, ta có

$\left\{ \begin{matrix} m + n = 0 \\ m - 2n - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ n = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = m^{2} + n^{2} - 2 = 0$
Câu 13: Vận dụng
Tìm m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2mx + 4}$ có ba đường tiệm cận.
- A.
  $m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ight) \cup \left( - \frac{5}{2}; - 2 ight) \cup (2; + \infty).$
- B.
  $m \in ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty).$
- C.
  $m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ight) \cup \left( - \frac{5}{2}; - 2 ight).$
- D.
  $m \in (2; + \infty).$
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x ightarrow \pm \infty} = \frac{x + 1}{x^{2} - 2mx + 4} = 0 ightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang với mọi $m$ .

Do đó ycbt tương đương với phương trình $x^{2} - 2mx + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ ( - 1)^{2} - 2m.( - 1) + 4 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ 2m + 5 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m eq - \frac{5}{2} \\ \end{matrix} ight.$
Câu 14: Vận dụng
Tìm m để khoảng cách nhỏ nhất
Cho hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ $(C)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $M$ là điểm thuộc $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận của $(C)$ nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất đó bằng $2.$
- A.
  $m = 1.$
- B.
  $m=0.$
- C.
  $\mathbf{m =}\mathbf{2.}$
- D.
  $m = - 2,m = 0.$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức giải nhanh:

Điểm $M\left( x_{0};y_{0} = \frac{ax_{0} + b}{cx_{0} + d} ight)$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ .

Đồ thị hàm số có TCĐ $\Delta_{1}:x + \frac{d}{c} = 0$ ; TCN $\Delta_{2}:y - \frac{a}{c} = 0$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} d_{1} = d\left\lbrack M,\Delta_{1} ightbrack = \left| x_{0} + \frac{d}{c} ight| = \left| \frac{cx_{0} + d}{c} ight| \\ d_{2} = d\left\lbrack M,\Delta_{2} ightbrack = \left| y_{0} - \frac{a}{c} ight| = \left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d ight)} ight| \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $d_{1} + d_{2} \geq 2\sqrt{\frac{|ad - bc|}{c^{2}}}.$

Áp dụng: Ycbt $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{|ad - bc|}{c^{2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{|ad - bc|}{c^{2}} = 1 \Leftrightarrow |1 + m| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 15: Vận dụng
Tìm m để đồ thị có 1 tiệm cận ngang
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}}$ có đúng một tiệm cận ngang.
- A.
  $m = 1.$
- B.
  $m = 0.$
- C.
  $m \geq 0.$
- D.
  $m = 0,m = 1.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 + \sqrt{m}}$ với $m \geq 0$ ;

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 - \sqrt{m}}$ với $m \geq 0,m eq 1.$

Nếu $m = 1$ thì $\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 4} - x ight)}{4}$ $= \lim_{x ightarrow - \infty}x^{2}.\frac{\left( 1 - \frac{3}{x} ight)\left( - \sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} - 1 ight)}{4} = - \infty$ suy ra hàm số chỉ có đúng một TCN là $y = \frac{1}{2}$ (Do $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \frac{1}{2}$ khi $m = 1$ )

Do đó giá trị $m = 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Nếu $\left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.$ , để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang $\Leftrightarrow \frac{1}{1 + \sqrt{m}} = \frac{1}{1 - \sqrt{m}} \Leftrightarrow m = 0.$

Vậy $m = 0,m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!