Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số có cực trị - Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 32 câu
Điểm số bài kiểm tra: 32 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Định tham số m thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $M(0;3)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3mx + 1$ bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}.$
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m=1;m=-1$
- C.
  $m = 3,m = - 1.$
- D.
  Không tồn tại $m$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 3m;\ y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} = - m.$
Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < 0$ . $(*)$
Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được phần dư $2mx + 1$ , nên đường thẳng $\Delta:y = 2mx + 1$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Yêu cầu bài toán
$\Leftrightarrow d\lbrack M,\Deltabrack = \frac{2}{\sqrt{4m^{2} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .
Đối chiếu điều kiện $(*)$ , ta chọn $m = - 1$ .
Câu 2: Thông hiểu
Xác định tham số m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 - 3x^{2} - m$ có các giá trị cực trị trái dấu.
- A.
  $m < 0$ , $m > - 1.$
- B.
  $m = - 1$ , $m = 0$ .
- C.
  $- 1 < m < 0$ .
- D.
  $0 \leq m\leq1.$
Hướng dẫn:
Ta có $f'(x) = 6x^{2} - 6x$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 ightarrow f(0) = - m \\ x = 1 ightarrow f(1) = - m - 1 \\ \end{matrix} ight.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m(m + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ .
Câu 3: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Biết rằng hàm số $y = (x + a)^{3} + (x +b)^{3} - x^{3}$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $ab \geq 0$ .
- B.
  $ab > 0$ .
- C.
  $ab < 0$ .
- D.
  $ab \leq 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3(x + a)^{2} + 3(x +b)^{2} - 3x^{2},\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .
Có $y' = 0 \Leftrightarrow (x + a)^{2}+ (x + b)^{2} - x^{2} = 0$
$\Leftrightarrow x^{2} + 2(a + b)x + a^{2} + b^{2} = 0$ $(*)$
Để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta' = (a + b)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} ight) > 0 \Leftrightarrow ab > 0$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị theo yêu cầu
Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} - 3 \right)x + 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x = - 1$ .
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = - 2$ .
- C.
  $m = 0,\ m = 2$ .
- D.
  $m = 0,\ m = - 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} - 3$ .
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} eq x_{2} = - 1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 3 ight) > 0 \\ y'( - 1) = m^{2} + 2m = 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 4 > 0 \\ m^{2} + 2m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 0$
Câu 5: Vận dụng
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $y= ax^3 - ax^2 + 1$ có điểm cực tiểu $x = \frac{2}{3}$ .
- A.
  $a = 0$ .
- B.
  $a > 0$ .
- C.
  $a = 2$ .
- D.
  $a < 0$ .
Hướng dẫn:
Nếu $a = 0$ thì $y = 1$ : Hàm hằng nên không có cực trị.
Với $a eq 0$ , ta có $y' = 3ax^{2} - 2ax = ax(3x - 2);y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$
▪ $a > 0\overset{}{ightarrow}y'$ đổi dấu từ $'' - ''$ sang $'' + ''$ khi qua $x = \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}$ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = \frac{2}{3}$ . Do đó $a > 0$ thỏa mãn.
▪ $a < 0\overset{}{ightarrow}y'$ đổi dấu từ $'' + ''$ sang $'' - ''$ khi qua $x = \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}$ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \frac{2}{3}$ .
Do đó $a < 0$ không thỏa mãn.
Nhận xét. Nếu dùng $\left\{ \begin{matrix} y'\left( \frac{2}{3} ight) = 0 \\ y''\left( \frac{2}{3} ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ mà bổ sung thêm điều kiện $a\boxed{=}0$ nữa thì được, tức là giải hệ $\left\{ \begin{matrix} a=0 \\ y'\left( \frac{2}{3} ight) = 0 \\ y''\left( \frac{2}{3} ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Như vậy, khi gặp hàm $y = ax^{3} + bx^{2} + cd + d$ mà chưa chắc chắn hệ số $a\boxed{=}0$ thì cần xét hai trường hợp $a = 0$ và $a=0$ (giải hệ tương tự như trên).
Câu 6: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của tham số m
Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = 4x^{3} + mx^{2} - 3x$ . Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để $x_{1} + 4x_{2} = 0.$
- A.
  $m = \pm \frac{9}{2}$ .
- B.
  $m = \pm \frac{3}{2}$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m = \pm \frac{1}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 12x^{2} + 2mx - 3$ .
Do $\Delta' = m^{2} + 36 > 0,\forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ \ x_{2}$ .
Theo Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{6} \\ x_{1}x_{2} = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.$ . Mà $x_{1} + 4x_{2} = 0$ .
Suy ra $\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - \frac{2}{9}m,x_{2} = \frac{m}{18} \\ x_{1}x_{2} = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left( - \frac{2}{9}might).\frac{m}{18} = - \frac{1}{4}$
$\Leftrightarrow m^{2} = \frac{81}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{9}{2}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y= \frac{m}{3}x^{3} + x^{2} + x + 2017$ có cực trị.
- A.
  $m \in ( - \infty;1)$ .
- B.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (0;1)$ .
- C.
  $m \in ( - \infty;1brack$ .
- D.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (0;1brack$ .
Hướng dẫn:
Nếu $m = 0$ thì $y = x^{2} + x + 2017$ : Hàm bậc hai luôn có cực trị.
Khi $m eq 0$ , ta có $y' = mx^{2} + 2x + 1$ .
Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình $mx^{2} + 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = 1 - m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 eq m < 1.$
Hợp hai trường hợp ta được $m < 1$ .
Câu 8: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Cho hàm số $y = 2x^{3} - 3(2a + 1)x^{2} + 6a(a + 1)x + 2$ với $a$ là tham số thực. Gọi $x_{1},\ x_{2}$ lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính $P = \left| x_{2} - x_{1} \right|$ .
- A. $P = 1$
- B. $P = a$
- C.
  $P = a + 1$ .
- D. $P = a - 1$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} - 6(2a + 1)x + 6a(a + 1)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a = x_{1} \\ x = a + 1 = x_{2} \\ \end{matrix} ight.$
Vậy $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| (a + 1) - a ight| = 1$ .
Nhận xét. Nếu phương trình $y' = 0$ không ra nghiệm đẹp như trên thì ta dùng công thức tổng quát $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| \frac{\sqrt{\Delta}}{a} ight|.$
Câu 9: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị
Cho hàm số $y = 2x^{3} + 3(m - 1)x^{2} + 6(m - 2)x - 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng $( - 2;3)$ .
- A.
  $m \in (3;4)$ .
- B.
  $m \in ( - 1;4)$ .
- C.
  $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
- D.
  $m \in (1;3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} + 6(m - 1)x + 6(m - 2)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 - m \\ \end{matrix} ight.\ .$
Để hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2 - m eq - 1 \Leftrightarrow m eq 3$ .
Nếu $- 1 < 2 - m \Leftrightarrow m < 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < - 1 < 2 - m < 3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m >-1 \\m<3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1< m < 3$ .
Nếu $2 - m < - 1 \Leftrightarrow m > 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < 2 - m < - 1 < 3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 3 \\ m < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 3< m<4$ .
Vậy $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 1$ có các điểm cực trị nhỏ hơn $2.$
- A.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (1; +\infty)$ .
- B.
  $m \in (0; + \infty)$ .
- C.
  $m \in ( - \infty;1)$ .
- D.
  $m \in (0;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x + 3m$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} < 2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 9 - 9m > 0 \\ \left( x_{1} - 2 ight) + \left( x_{2} - 2 ight) < 0 \\ \left( x_{1} - 2 ight)\left( x_{2} - 2 ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ x_{1} + x_{2} < 4 \\ x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ 2 < 4 \\ m - 2.2 + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm điểm cực trị của hàm số
Biết rằng hàm số $y = 3x^{3} - mx^{2} + mx - 3$ có một điểm cực trị $x_{1} = - 1$ . Tìm điểm cực trị còn lại $x_{2}$ của hàm số.
- A.
  $x_{2} = \frac{1}{3}$ .
- B.
  $x_{2} = \frac{1}{4}$ .
- C.
  $x_{2} = - \frac{1}{3}$ .
- D.
  $x_{2} = - 2m - 6.$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 9x^{2} - 2mx + m$ .
Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 9m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 9 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $(*)$
Theo giả thiết: $y'( - 1) = 0 \Leftrightarrow 9 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa mãn $(*)$ ).
Với $m = - 3$ thì $y' = 9x^{2} + 6x - 3;\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 12: Vận dụng
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = - x^{3} + 3mx^{2} - 3m -1$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:x + 8y - 74 = 0$ .
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m = - 2$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = - 3x^{2} + 6mx = - 3x(x - 2m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2m \\ \end{matrix} ight.$ .
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m eq 0$ .
Khi đó gọi $A(0; - 3m - 1)$ và $B\left( 2m;4m^{3} - 3m - 1 ight)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Suy ra trung điểm của $AB$ là điểm $I\left( m;2m^{3} - 3m - 1 ight)$ và $\overrightarrow{AB} = \left( 2m;4m^{3} ight) = 2m\left( 1;2m^{2} ight)$ .
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (8; - 1).$
Ycbt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in d \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 8\left( 2m^{3} - 3m - 1 ight) - 74 = 0 \\ 8 - 2m^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$
Câu 13: Vận dụng
Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + (2m + 3)x + 2017$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x = 1$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
- A.
  Không tồn tại giá trị $m$ .
- B.
  $m eq - 1$ .
- C.
  $m = - \frac{3}{2}$ .
- D.
  $m = - 1$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2(m + 2)x + (2m + 3)$
$\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m + 3 \\ \end{matrix} ight.$
Để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ khi và chỉ khi $2m + 3 eq 1 \Leftrightarrow m eq - 1.$ $(*)$
Gọi $A\left( x_{1};y_{1} ight)$ và $B\left( x_2;y_2 ight)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = 2m + 4.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \frac{2m + 4}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 1$ : không thỏa mãn $(*)$ .
Nhận xét.
Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị.
Tôi cố tình ra giá trị $m$ đúng ngay giá trị loại đi.
Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: $''x_{0}$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ khi và chỉ khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ( $\Delta > 0$ ) và $y''\left( x_{0} ight) = 0''.$
Câu 14: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2017;2018brack$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (m + 2)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $(0; + \infty)$ .
- A.
  $2018.$
- B.
  $4035.$
- C.
  $2016.$
- D.
  $2015.$
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + m + 2$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)(m - 2) > 0 \\ 2m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m>2 \\m <-1 \\\end{matrix} ight.\ \\m > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m>2$
$\overset{m\mathbb{\in Z}\ \&\ m \in \lbrack - 2017;2018brack}{ightarrow}m = \left\{ 3;4;5;...2018 ight\}\overset{}{ightarrow}$ có $2016$ giá trị.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn biểu thức
Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} + m$ . Tìm các giá trị của tham số $m$ để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 7.$
- A.
  $m = \pm 2$ .
- B.
  $m = \pm \frac{1}{2}$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m = \pm \frac{9}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6mx + 3\left( m^{2} - 1 ight) = 3\left\lbrack x^{2} - 2mx + \left( m^{2} - 1 ight) ightbrack$ .
Do $\Delta' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ \ x_{2}$ .
Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}x_{2} = m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 3x_{1}x_{2} = 7$
$\Leftrightarrow 4m^{2} - 3\left( m^{2} -1 ight) = 7$
$\Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 6mx + m$ có hai điểm cực trị.
- A.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (8; + \infty)$ .
- B.
  $m \in (0;2)$ .
- C.
  $m \in ( -\infty;0) \cup (2;+\infty)$ .
- D.
  $m \in (0;8)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6mx + 6m = 3\left( x^{2} - 2mx + 2m ight)$ .
Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow x^{2} - 2mx + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $m \in ( - \infty;0) \cup (2; +\infty)$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đạt cực đại
Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - 3m^{2} + 5$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .
- A.
  $m =0.$
- B.
  $m = 1.$
- C.
  $m = 0,\ m = 2.$
- D.
  $m = 2.$
Hướng dẫn:
Thử từng đáp án.
● Kiểm tra khi $m = 0$ thì hàm số có đạt cực đại tại $x = 1$ không
Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Vậy $y'$ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực tiểu.
$\overset{}{ightarrow}m = 0$ loại $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 0,\ m = 2.$ hoặc $m = 0.$ sai.
● Tương tự kiểm tra khi $m = 2$
Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Ta thấy $y'$ đổi dấu từ dương sang âm qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực đại.
$\overset{}{ightarrow} m=2$ thỏa mãn $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 2.$ chính xác.
Câu 18: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + m$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- A.
  $y = - 8x - m + 3$ .
- B.
  $y = - 8x + m + 3$ .
- C.
  $y = - 8x +m$ .
- D.
  $y = - 8x + m - 3$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x - 9$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \Rightarrow y = 5 + m \\ x = 3 \Rightarrow y = - 27 + m \\ \end{matrix} ight.$
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là $A( - 1;5 + m)$ và $B(3; - 27 + m)$ .
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm $A,\ B$ có phương trình $y = - 8x + m - 3$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính giá trị của hàm số
Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ . Biết $M(0;2)$ , $N(2; - 2)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính giá trị của hàm số tại $x = - 2$ .
- A.
  $y( - 2) = 22$ .
- B.
  $y( - 2) = 2$ .
- C.
  $y( - 2) = - 18$ .
- D.
  $y( - 2) = 6$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .
Vì $M(0;2),\ N(2; - 2)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên
$\left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;$ $(1)$
$\left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(2) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 2 \\ 8a + 4b + 2c + d = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $(2)$
Giải hệ $(1)$ và $(2)$ , ta được
$\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}y = x^{3} - 3x^{2} + 2\overset{}{ightarrow}y( - 2) = - 18.$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 \right)x - 4$ . Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là $x = 3$ và $x = 5$ .
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)$ .
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm $x = 3$ hoặc $x = 5$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 3(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) = 0 \\ 25 - 5(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 6m + 4 = 0 \\ 2m^{2} - 12m + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$ .
Câu 21: Vận dụng
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
Cho hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} + mx + m - 2$ với $m$ là tham số thực, có đồ thị là $\left( C_{m} \right)$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( C_{m} \right)$ có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
- A.
  $m \leq 2$ .
- B.
  $m < 2$ .
- C.
  $m \leq 3$ .
- D.
  $m < 3$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = 3x^{2} + 6x + m$ .
Ta có $\bigtriangleup '_{y'} = 9 - 3m$ .
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $\bigtriangleup '_{y'} > 0 \Leftrightarrow m < 3.$
Ta có $y = \left( \frac{1}{3}x +\frac{1}{3} \right).y' +\left( \frac{2m}{3} - 2 \right)x + \left(\frac{2m}{3} - 2 \right).$
Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó
$\left\{ \begin{matrix} y_{1} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{1} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ y_{2} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{2} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ \end{matrix} ight.\ .$
Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1}x_{2} = \dfrac{m}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$
Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi $y_{1}.y_{2} < 0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) < 0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight) < 0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3} - 2 ight)^{2}\left( \frac{m}{3} - 1 ight) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 3 \\ m eq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < 3$ : thỏa mãn.
Câu 22: Vận dụng
Định các giá trị tham số m theo yêu cầu
Cho hàm số $y = x^{3} + 6x^{2} + 3(m + 2)x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ .
- A.
  $m < 1$ .
- B.
  $m < - 1$ .
- C.
  $m > - 1$ .
- D.
  $m > 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 12x + 3(m + 2) = 3\left\lbrack x^{2} + 4x + (m + 2) ightbrack.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$
$\Leftrightarrow y'( - 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$
Nhận xét. Nhắc lại kiến thức lớp dưới $''$ phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ \ x_{2}\ \ \left( x_{1} < x_{2} ight)$ thỏa mãn $x_{1} < x_{0} < x_{2} \Leftrightarrow af\left( x_{0} ight) < 0''.$
Câu 23: Vận dụng
Tìm m để hàm số có hai cực trị
Cho hàm số $y = 2x^{3} + mx^{2} - 12x - 13$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = 2$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = - 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} + 2mx - 12.$
Do $\Delta' = m^{2} + 72 > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ với $x_{1},\ x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$ .
Theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{3}.$
Gọi $A\left( x_{1};y_{1} ight)$ và $B\left( x_{2};y_{2}\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left| x_{1} ight| = \left| x_{2} ight| \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2}$ (do $x_{1} eq x_{2}$ )
$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định điều kiện của tham số a và b
Cho hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và giả sử $A,\ B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết đường thẳng $AB$ đi qua gốc tọa độ $O$ ?
- A.
  $c = 0$ .
- B.
  $9 + 2b = 3a$ .
- C.
  $a = 0$ .
- D.
  $ab = 9c$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 2ax + b$ .
Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ , ta được
$y = \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}a ight).y' + \left( \frac{2}{3}b - \frac{2}{9}a^{2} ight)x + c - \frac{1}{9}ab$ .
Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:
$y = \left( \frac{2}{3}b - \frac{2}{9}a^{2} ight)x + c - \frac{1}{9}ab$ .
Do $AB$ đi qua gốc tọa độ $O\overset{}{ightarrow}c - \frac{1}{9}ab = 0 \Leftrightarrow ab = 9c$ .
Câu 25: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Biết rằng hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx$ $(a eq 0)$ nhận $x = - 1$ là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $2a - b = 0$ .
- B.
  $3a + c = 2b$
- C.
  $a + c = b$ .
- D.
  $3a + 2b + c = 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .
Hàm số nhận $x = - 1$ là một điểm cực trị nên suy ra $y'(-1) =0$
$\Leftrightarrow 3a -2b+c=0 \Leftrightarrow 3a+c=2b$ .
Câu 26: Vận dụng
Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - mx + 2$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ một góc $\alpha = 45^{0}.$
- A.
  $m = - \frac{1}{2}.$
- B.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
- C.
  $m=0.$
- D.
  $m = \frac{1}{2}.$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x - m.$
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3.$
Ta có
$y = y'.\left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} ight) - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$
$\overset{}{ightarrow}$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$
Đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{d} = (1;4).$
Đường thẳng $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta} = \left( \frac{2m}{3} + 2;1 ight).$
Ycbt $\overset{}{\leftrightarrow}\frac{\sqrt{2}}{2} = cos45^{0}$
$= \cos(d,\Delta) = \left| \cos\left( {\overrightarrow{n}}_{d},{\overrightarrow{n}}_{\Delta} ight) ight|$
$= \dfrac{\left| 1.\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight) + 4.1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}.\sqrt{\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight)^{2} + 1^{2}}}$
$\overset{}{\leftrightarrow}60m^{2} + 264m + 117 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \dfrac{1}{2} \\ m = - \dfrac{39}{10}\ \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > - 3}{ightarrow}m = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Câu 27: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 \right)x + 5$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 1$ .
- A.
  $m = - 3$ .
- B.
  $m = 1.$
- C.
  $m = 1$ , $m = - 3$ .
- D.
  $- 3 \leq m \leq 1.$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - 2mx + \left( m^{2} - 4 ight)$ .
Vì $x = - 1$ là điểm cực tiểu của hàm số $\overset{}{ightarrow}y'( - 1) = 0 \Leftrightarrow m^{2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Thử lại ta thấy chỉ có giá trị $m = - 3$ thỏa mãn $y'$ đổi dấu từ $'' - ''$ sang $'' + ''$ khi qua $x = - 1$ .
Câu 28: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = (m - 3)x^{3} - 2mx^{2} + 3$ không có cực trị.
- A.
  $m = 0$ , $m = 3$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m eq 3$ .
Hướng dẫn:
Nếu $m = 3$ thì $y = - 6x^{2} + 3$ . Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.
Nếu $m eq 3$ , ta có $y' = 3(m - 3)x^{2} - 4mx$ .
Để hàm số có không có cực trị khi $y' = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta' = 4m^{2} \leq0 \Leftrightarrow m = 0.$
Câu 29: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + (2m + 1)x - \frac{4}{3}$ với $m > 0$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành.
- A.
  $m = \frac{1}{2}.$
- B.
  $m = \frac{3}{4}.$
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = \frac{4}{3}.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2(m + 1)x + (2m + 1)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m + 1 \\ \end{matrix} ight.$
Do $m > 0\overset{}{ightarrow}2m + 1 eq 1$ nên đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Do $m > 0\overset{}{ightarrow}2m + 1 > 1\overset{}{ightarrow}$ hoành độ điểm cực đại là $x = 1$ nên $y_{CD} = y(1) = m - 1.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y_{CD} =0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ : thỏa mãn.
Câu 30: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm cực đại
Cho hàm số $y = 2x^{3} + bx^{2} + cx + 1.$ Biết $M(1;-6)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm cực đại $N$ của đồ thị hàm số.
- A.
  $N( - 2;21).$
- B.
  $N(2;6).$
- C.
  $N( - 2;11).$
- D.
  $N(2;21).$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = 6x^{2} + 2bx + c$ và $y'' = 12x + 2b$ .
Điểm $M(1; - \ 6)$ là điểm cực tiểu $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} y^{'(1)} = 0 \\ y(1) = - \ 6 \\ y^{''(1)} > 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + c = - \ 6 \\ b + c = - \ 9 \\ 2b + 12 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 3 \\ c = - \ 12 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Khi đó $y = f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$ .
Ta có $f'(x) = 6x^{2} + 6x -12$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 21 \\ f''( - 2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$
Suy ra $N( - \ 2;21)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 31: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - 3$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung.
- A.
  $m \in \left( - \frac{1}{2};1 ight).$
- B.
  $m \in ( - \infty;1) \cup (1; + \infty).$
- C.
  $m \in \left( \frac{1}{2};1 ight) \cup (1; + \infty).$
- D.
  $m \in(0 ; 2 ).$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm $x_{1},\ x_{2}$ phân biệt và cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - (2m - 1) > 0 \\ P = 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 1 \\ m > \dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 32: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = 4x^{3} + mx^{2} - 12x$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 2.$
- A.
  $m = - 9.$
- B.
  Không có $m.$
- C.
  $m = 9.$
- D.
  $m = 2.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 12x^{2} + 2mx -12$ và $f''(x) = 24x + 2m$ .
Riêng hàm bậc ba, yêu cầu bài toán tương đương với $\left\{ \begin{matrix} f'( - 2) = 0 \\ f''( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 12.4 - 4m - 12 = 0 \\ - 48 + 2m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 9 \\ m > 24 \\ \end{matrix} ight.$ : vô nghiệm.
Cách trắc nghiệm.
Thay ngược đáp án nhưng lâu hơn cách tự luận.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!