Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các em học sinh tiểu học ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật. Tài liệu Toán lớp 5 này có các bài tập tự luyện, các em có thể thực hành ngay sau khi nắm bắt kiến thức. Chúc các em học tốt.

Tham khảo thêm:

Lưu ý: Nếu không tìm thấy nút Tải về bài viết này, bạn vui lòng kéo xuống cuối bài viết để tải về.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 5, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 5 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 5. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Thế nào là bài toán tính tổng một dãy số?

Với bài toán tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng. Tuy nhiên, trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng, mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ.

Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số

Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số

Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0).

>> Tham khảo chi tiết: Các dạng toán về dãy số và phương pháp giải

Cách giải bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều lớp 5

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Ví dụ 1: Tính số lượng số hạng của dãy số sau:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.

Ta thấy:

4 - 1 = 3

7 - 4 = 3

10 - 7 = 3

...

97 - 94 = 3

100 - 97 = 3

Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là:

(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)

b) Tính tổng của dãy số cách đều:

Tổng = [ (số đầu + số cuối) x Số lượng số hạng ] : 2

Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là:

[ (1+ 100) x 34 ] : 2 = 1717

Ví dụ 2: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............

Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số: 4028

Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013?

Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

2013 - (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

(15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

(122 - 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

Một số bài tự luyện môn Toán lớp 5:

Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.

a, Tính tổng của dãy số trên?

b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?

c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Lời giải: 

a, Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 3 đơn vị

Số số hạng: (2014 - 1) : 3 + 1 = 672 (số)

Tổng của dãy số là: (2014 + 1) x 672 : 2 = 677040

b, Số hạng thứ 99 của dãy là: 1 + (99 - 1) x 3 = 295

c, Nhận thấy 4 = 1 x 3 + 1; 7 = 2 x 3 + 1;…; 2014 = 671 x 3 + 1

Nên 1995 – 1 = 1994 phải chia hết cho 3 mới thuộc dãy số. Mà phép chia 1994 cho 3 là phép chia có dư nên 1995 không thuộc dãy số

Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số?

Lời giải 

Dãy số chẵn có ba chữ số là 100, 102, 103, …, 998

Số số hạng của dãy số là: (998 - 100) : 2 + 1 = 450 (số)

Tổng của dãy số là: (998 + 1) x 450 : 2 = 224775

Trung bình cộng của dãy số là: 224775 : 450 = 499,5

Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010?

Lời giải

Số đầu của dãy số là: 2010 – (60 – 1) x 2 = 1892

Tổng của dãy số là: (2010 + 1892) x 60 : 2 = 117060

Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1?

Lời giải

Số cuối của dãy số là: 1 + (2014 - 1) x 2 = 4027

Tổng của dãy số là: (4027 + 1) x 2014 : 2 = 4056196

Bài 5: Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng?

Lời giải

Đây là dãy số cách đều, số liền sau hơn số liền trước 4 đơn vị

Số cuối của dãy số là: 1 + (100 - 1) x 4 = 397

Tổng của dãy số là: (397 + 1) x 100 : 2 = 19900

Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

Lời giải

 

Vì tổng số nhà của dãy số đó bằng 2000 nên tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là:

2000 x 2 : 20 = 200

Vì dãy số có 20 nhà nên hiệu của số nhà cuối với số nhà đầu là:

(20 - 1) x 2 = 38

Số nhà cuối là: (200 + 38) : 2 = 119

Bài 7: Tính tổng:

a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999.

b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150

c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150.

Bài 8: Viết 80 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 72. Số cuối cùng là số nào?

Bài 9: Có bao nhiêu số:

a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2?

b, Có 4 chữ số chia hết cho 3?

c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4?

Bài 10: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số dãy thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy?

Bài 11: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm.

Bài 12: Tìm tổng của:

a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3;

b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1;

c, 100 số chẵn đầu tiên;

d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40.

Bài tập Tính nhanh tổng dãy số có quy luật cách đều

Bài 1: Tính nhanh:

a. 5 + 10 + 15 + ............ + 2015.

b. 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 12 + ................ + 96 + 99 + 102.

c. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + .................... – 48 + 49 – 50 + 51.

d. 1,02 + 2,03 + 3,04 + ..................... + 9,10.

e. 10,11 + 11,12 + 12,13 + ................ + 98,99 + 99,100.

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)

Bài 2: Tìm x:

a. (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ............ + (x + 99) = 90387

b. (1 + 4 + 7 + .......................... + 100) : x = 17

c. 1 + 2 + 3 + ........................... + x = aaa

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)

Bài 3: Cho dãy số: 1; 4; 7; ...................... ; 2017.

a. Tính tổng của dãy số trên ?

b. Tìm số thứ 99 của dãy số ?

c. Số 1995 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4;5)

Bài 4: Tìm trung bình cộng của các số lẻ có 3 chữ số ?

(Violympic lớp 4)

Bài 5: Tính tổng các số có 4 chữ số chia hết cho cả 3 và 5 ?

(Violympic lớp 4)

Bài 6: Một dãy phố có 25 nhà. Số nhà của 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy phố đó bằng 1400. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó là số nào ?

(Violympic lớp 5)

Bài 7: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy số đó là số 2018 ?

(Violympic lớp 5)

Bài 8: Cho tổng: A = 0 + 5 + 10 + 15 + .............. + x

Tìm x biết tổng A có 99 số hạng?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 9: Cho tổng: B = 0,3 + 1,3 + 2,3 + 3,3 + .............. + y

Tìm y biết tổng B có 55 số hạng?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 10: Cho dãy số: 0; 1; 2; 3; 4; ..............................; 2018

Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 11: Một cuốn sách có 200 trang. Hỏi người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của cuốn sách đó?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 12: Cho dãy số: 1; 2; 3; .............. ; x

a. Chữ số thứ 2018 được dùng để viết dãy số trên là chữ số nào?

b. Tìm x để số chữ số của dãy gấp 4,5 lần x?

(Bài trên trang west Câu lạc bộ Toán Tiểu học Lộc Hà)

Bài 13: Tích sau có tận cùng là chữ số nào?

0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9 x ... x 17,9 x 18,9.

(Bài trên trang west Câu lạc bộ Toán Tiểu học Lộc Hà)

Bài 14: Cho dãy số tự nhiên: 19; 28; 37; 46; ..........

a. Tìm số thứ 1997 của dãy.

b. Số 19971998; 19981999 có mặt trong dãy số đó không? Vì sao?

(Đề thi HSG Quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1996 - 1997)

Bài 15: Tìm trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên?

(Đề thi HSG Quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1997 - 1998)

Bài 16: Tính nhanh:

1011 + 1112 + 1213 + 1314 + ............... + 9899 + 9910

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1997 - 1998)

Bài 17: Tính nhanh:

1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 – 8 + 9 + 10 – 11 – 12 + ........... + 301 + 302

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1998 - 1999)

Bài 18: Cho dãy số: 14; 16; 18; .................; 94; 96; 98.

a. Tính tổng giá trị của dãy số trên.

b. Tìm số có giá trị lớn hơn trung bình cộng của dãy số là 8. Cho biết số đó là số thứ bao nhiêu của dãy số trên ?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn - tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1998 - 1999)

Bài 19: Cho dãy số: 36; 45; 54; .............

a. Hãy viết thêm 3 số thích hợp vào dãy số trên.

b. Số thứ 20 của dãy số trên là số nào?

c. Số 3469 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn - tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1999 - 2000)

Bài 20: Tính nhanh:

17,75 + 16,25 + 14,75 + 13,25 + ................. + 4,25 + 2,75 + 1,25

(Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Tây – Năm học 1995 - 1996)

Bài 21: Cho dãy số: 3; 7; 11; 15; .................; 79

a. Dãy số có bao nhiêu số hạng ?

b. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện:

(n + 3) + (n + 7) + (n + 11) + (n + 15) + ............ + (n + 79) = 860

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán trường THCS Thị xã Hải Dương Năm học 1995 - 1996)

Bài 22: Cho dãy số: 4; 6; 8; 10; ..............; 1910.

a. Hãy tính số chữ số của dãy ?

b. Hãy tìm chữ số thứ 1996 của dãy ?

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên toán trường THCS Nguyễn Trường Tộ Năm học 1996 - 1997)

Bài 23: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên: 123456...........

a. Hỏi chữ số hàng đơn vị của số 1998 đứng ở hàng thứ mấy?

b. Chữ số viết ở hàng thứ 429 là chữ số nào?

(Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh – Năm học 1997 - 1998)

Bài 24: Cho dãy số: 1; 7; 13; 19; 25; ..............

Hãy cho biết các số sau đây có thuộc dãy số đã cho hay không? Tại sao?

351; 400; 570; 686; 1075

(Để xem trọn bộ đáp án của tài liệu, mời các bạn học sinh tải tài liệu về)

----------------

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều lớp 5 là dạng Toán nâng cao trong chương trình phạm vi Toán nâng cao lớp 5 có các dạng bài tập và đáp án chi tiết kèm theo cho các em học sinh lớp 4, lớp 5 củng cố kiến thức, mở rộng các dạng Toán từ cơ bản đến nâng cao. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các em học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 6 hiệu quả.

Tham khảo các dạng Toán khác

Đánh giá bài viết
242 144.825
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Lớp 5 Xem thêm