Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11

Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều đưa ra phương pháp và các ví dụ cụ thể, giúp các bạn học sinh THPT ôn tập và củng cố kiến thức về dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật. Tài liệu Toán lớp 11 này có các bài tập ví dụ minh họa có lời giải và bài tập rèn luyện giúp các bạn bao quát nhiều dạng bài và cách tính tổng một dãy số có quy luật bất kỳ. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp

Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n>{{n}_{0}}

Phương pháp:

  • Bước 1: Xét P\left( {{n}_{0}} \right) đúng
  • Bước 2: Giả sử P\left( k \right) đúng ta sẽ chứng minh P\left( k+1 \right) đúng với mọi số tự nhiên thì mệnh đề P(n) đúng k\ge {{n}_{0}} với mọi số tự nhiên n>{{n}_{0}}

Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1+2+3+4+5+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2} đúng với mọi số tự nhiên n\ge 1

Hướng dẫn giải

1+2+3+4+5+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2} (1)

Bước 1: Với n=1 ta có: VT=VP=1\Rightarrow \left( 1 \right) đúng với n=1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k\in \mathbb{N},k\ge 1 tức là:

1+2+3+4+5+...+k=\frac{k\left( k+1 \right)}{2}

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

1+2+3+4+5+...+k+\left( k+1 \right)=\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)+1 \right]}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} (2)

Ta có

\begin{align} & 1+2+3+4+5+...+k+\left( k+1 \right)=\left( 1+2+3+....+k \right)+k+1=\frac{k\left( k+1 \right)}{2}+k+1 \\ & =\frac{{{k}^{2}}+3k+2}{2}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2}=\left( 2 \right)\Rightarrow dpcm \\ \end{align}

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n\ge 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x\ne k2\pi ,n\ge 1

\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin nx=\frac{\sin \dfrac{nx}{2}.\sin \dfrac{\left( n+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}

Hướng dẫn giải

Với n=1 ta có:

VT=\sin x,VP=\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}{\sin \dfrac{x}{2}}=\sin x=VT\Rightarrow \left( 1 \right) đúng

Giả sử (1) đúng với n=k\ge 1 tức là:

\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin kx=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n=k+1 tức là:

\sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin kx+\sin \left( k+1 \right)x=\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}

Tức là:

\begin{align} & \sin x+\sin 2x+\sin 3x+...+\sin kx+\sin \left( k+1 \right)x=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}+\sin \left( k+1 \right)x \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}+\sin \left[ \left( k+1 \right)x \right].\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \end{align}

=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}+2\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\

=\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\left[ \dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}+2.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \right]

=\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}=VP\Rightarrow dpcm

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi x\ne k2\pi ,n\ge 1

*** Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\ge 1 ta luôn có:

a. 1.2+2.3+3.4+....+n\left( n+1 \right)=\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}

b. {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}

c. \frac{1}{3}+\frac{2}{{{3}^{2}}}+\frac{3}{{{3}^{3}}}+...+\frac{n}{{{3}^{n}}}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{{4.3}^{n}}}

Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n\ge 1 ta có:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}}=2\cos \dfrac{\pi }{{{2}^{n+1}}}

Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi n\in {{\mathbb{N}}^{*}}

\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{n\left( n+3 \right)}{4.\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}

2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết

Phương pháp:

Một số công thức tổng suy ra từ phương pháp quy nạp ở trên:

  • 1+2+3+...+n=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}
  • {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}
  • {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+...+{{n}^{3}}=\frac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}
  • {{1}^{5}}+{{2}^{5}}+{{3}^{5}}+...+{{n}^{5}}=\frac{1}{12}{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( 2{{n}^{2}}+2n-1 \right)

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số:

a. A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}

b. B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\begin{align} & \frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\ & \Rightarrow A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)} \\ & =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \\ \end{align}

b. B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)

Ta có: a-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)}{{{a}^{2}}}

\begin{align} & B=\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{3}}} \right).\left( 1-\frac{1}{{{4}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \\ & =\dfrac{1.3}{{{2}^{2}}}.\dfrac{2.4}{{{3}^{2}}}.\dfrac{3.5}{{{4}^{2}}}....\dfrac{\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{{{n}^{2}}}=\dfrac{n+1}{2n} \\ \end{align}

*** Bài tập rèn luyện ***

Bài tập 1: Tính tổng dãy số:

a. A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}

b. B=\frac{3}{{{\left( 1.2 \right)}^{2}}}+\frac{5}{{{\left( 2.3 \right)}^{2}}}+...+\frac{2n+1}{{{\left[ n\left( n+1 \right) \right]}^{2}}}

Bài tập 2: Tính tổng các dãy số:

a. C=\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left( n+1 \right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}

b. C=\left( 1-\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{a}_{2}}} \right).....\left( 1-\frac{1}{{{a}_{n}}} \right),{{a}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}

3.Tính tổng theo công thức nhị thức Newton

Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton:

{{\left( a+b \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}.{{a}^{n-2}}.{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n}.{{b}^{n}}

Một số công thức liên quan:

C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}
\sum\limits_{k=0}^{n}{{{a}^{k}}}C_{n}^{k}={{\left( 1+a \right)}^{n}}
\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}}C_{n}^{k}=0
C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}
\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{k}}}}

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số sau:

S=\frac{1}{2}.C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2\left( n+1 \right)}.C_{n}^{n}

Hướng dẫn giải

\begin{align} & S=\frac{1}{2}.C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{2\left( n+1 \right)}.C_{n}^{n} \\ & =\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}+...+\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+1}.C_{n}^{n} \right) \\ \end{align}

Ta có: \frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{n+1}.C_{n+1}^{k+1} nên suy ra:

S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}.\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}}-C_{n+1}^{0} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy số:

S=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{.3}^{n-3}}+...+nC_{n}^{n}

Hướng dẫn giải

Ta có:

S=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{.3}^{n-3}}+...+nC_{n}^{n}={{3}^{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}{k.C_{n}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}

 

 

Do kC_{k}^{n}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}=n.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}.C_{n-1}^{k-1},k\ge 1

\Leftrightarrow S={{3}^{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}{k.C_{n}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}={{3}^{n}}.n.\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}

={{3}^{n-1}}.n.\sum\limits_{k=1}^{n-1}{C_{n-1}^{k}.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}={{3}^{n-1}}.n.{{\left( 1+\frac{1}{3} \right)}^{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}}

***Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Tính tổng các dãy sau

a. A={{\left( C_{n}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{n}^{2} \right)}^{2}}+...+{{(C_{n}^{n})}^{2}}

b. B=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{3}^{n-3}}+....+nC_{n}^{n}

Bài tập 2: Tính tổng dãy

a. D=C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{2}.C_{n-1}^{k-1}+...+C_{n}^{k}C_{n-k}^{0},0\le k\le n

b. E=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+...+nC_{n}^{n}

4. Tính tổng của cấp số cộng

Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right) là cấp số cộng có dạng: \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\ \end{matrix},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right.

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, công sai d là:

{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n}{2}\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)=\frac{n}{2}\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.

Tính tổng S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+....+{{u}_{30}}

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết bài toán ta có:

\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d+3\left( {{u}_{1}}+2d \right)-{{u}_{1}}-d=-21 \\ 3\left( {{u}_{1}}+6d \right)-2\left( {{u}_{1}}-3d \right)=-34 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+3d=-7 \\ {{u}_{1}}+12d=-34 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ \end{align}

S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+....+{{u}_{30}}=\frac{27}{2}\left[ 2.{{u}_{4}}+26d \right]=27.\left( {{u}_{1}}+16d \right)=-1242

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có dạng: \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.

Tính tổng S={{u}_{5}}+{{u}_{7}}+{{u}_{9}}+....+{{u}_{2011}}

Hướng dẫn giải

\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+d-{{u}_{1}}-2d+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+3d=10 \\ {{u}_{1}}+4d=13 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \right. \\ \end{align}

S={{u}_{5}}+{{u}_{7}}+{{u}_{9}}+....+{{u}_{2011}}=\frac{1003}{2}\left( 2{{u}_{5}}+1002.6 \right)=3028057

***Bài tập rèn luyện***

Bài tập 1: Cho cấp số cộng có {{u}_{4}}=-12,{{u}_{14}}=18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số công.

Bài tập 2: Cho cấp số cộng biết {{u}_{5}}=18,{{S}_{n}}=\frac{1}{4}{{S}_{2n}}. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng {{u}_{2013}}+{{u}_{6}}=1000. Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

5. Tính tổng của cấp số nhân

Cho dãy số \left( {{u}_{n}} \right) là cấp số nhân có dạng \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right.

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân công bội q là:

{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy số

a. S=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+....

b. S=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+...

(Để xem trọn bộ đáp án của tài liệu, mời các bạn học sinh tải tài liệu về)

----------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và bạn đọc tài liệu Bài toán tính tổng của dãy số có quy luật Toán 11. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn ôn tập kiểm tra năng lực, bổ trợ cho quá trình học tập trong chương trình lớp 11 cũng như ôn luyện cho kì thi THPT Quốc gia. Chúc các bạn học tốt!

Đánh giá bài viết
1 24
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 11 Xem thêm