Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng
Bồi dưỡng HSG lớp 9 môn Toán
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG - Toán lớp 9
1. Đường thẳng Euler
1.(Đường thẳng Euler). Cho tam giác
ABC
. Chứng minh rằng trọng tâm
G
, trực
tâm
H
và tâm đường tròn ngoại tiếp
O
cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa
2
GH
GO
=
. Đường thẳng nối
, ,H G O
gọi là đường thẳng Euler của tam giác
ABC
.
Chứng minh:
Cách 1: Gọi
,E F
lần lượt là trung điểm của
,BC AC
. Ta có
EF
là đường
trung bình của tam giác
ABC
nên
/ /EF AB
. Ta lại có
/ /OF BH
(cùng
vuông góc với
AC
). Do đó
·
·
OFE ABH=
(góc có cạnh tương ứng song song).
Chứng minh tương tự
·
·
OEF BAH=
.
Từ đó có
ABH EFOD D:
(g.g)
2
AH AB
OE EF
Þ = =
(do
EF
là đường trung
bình của tam giác
ABC
). Mặt khác
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
nên
2
AG
GE
=
. Do đó
2
AG AH
FG OE
= =
, lại có
·
·
HAG OEG=
(so le trong,
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
/ /OE AH
)
HA G EOGÞ D D:
(c.g.c)
·
·
HGA EGOÞ =
. Do
·
·
0
180EGO AGO+ =
nên
·
·
0
180HGA AGO+ =
hay
·
0
180HGO =
.
Vậy
, ,H G O
thẳng hàng.
Cách 2: Kẻ đường kính
AD
của đường tròn
( )O
ta có
BH AC^
(Tính chất
trực tâm)
AC CD^
(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra
/ /BH CD
.
Tương tự ta cũng có
/ /CH BD
nên tứ giác
BHCD
là hình bình hành, do đó
HD
cắt
BC
tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó cũng suy ra
1
/ /
2
OM AH=
(Tính chất đường trung bình tam giác
ADH
). Nối
AM
cắt
HO
tại
G
thì
1
2
GO OM
GH A H
= =
nên
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
.
Cách 3: sử dụng định lý Thales :Trên tia đối
GO
lấy
'H
sao cho
' 2GH GO=
. Gọi
M
là trung điểm
BC
. Theo tính chất trọng
tâm thì
G
thuộc
AM
và
2GA GM=
.
Áp dụng định lý Thales
vào tam giác
GOM
dễ suy ra
'/ /AH OM
(1).Mặt khác do
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
M
là trung điểm
BC
nên
OM BC^
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
'A H BC^
, tương tự
'BH CA^
. Vậy
'H Hº
là trực
tâm tam giác
ABC
. Theo cách dựng
'H
ta có ngay kết luận bài toán.
Chú ý rằng: Nếu ta kéo dài
AH
cắt đường tròn tại
H'
thì
0
AH' D 90
(Góc
nội tiếp chắn nữa đường tròn) nên
EM
là đường trung bình của tam giác
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
HH' D
suy ra
H
đối xứng với
H'
qua
BC
. Nếu gọi
O'
là tâm vòng tròn ngoại
tiếp tam giác
HBC
thì ta có
O'
đối xứng với
O
qua
BC
.
Đường thẳng đi qua
H,G,O
được gọi là đường thẳng Euler của tam giác
ABC
. Ngoài ra ta còn có
OH 3OG
.
*Đường thẳng Euler có thể coi là một trong những định lý quen thuộc nhất của
hình học phẳng. Khái niệm đường thẳng Euler trước hết liên quan đến tam giác,
sau đó được mở rộng và ứng dụng cho tứ giác nội tiếp và cả
n
- giác nội tiếp,
trong chuyên đề ta quan tâm đến một số vấn đề có liên quan đến khái niệm
này trong tam giác.
1.1. (Mở rộng đường thẳng Euler) Cho tam giác
ABC
.
P
là điểm bất kỳ
trong mặt phẳng. Gọi
', ', 'A B C
lần lượt là trung điểm của
, ,BC CA AB
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua
, ,A B C
lần lượt song song với
', ', 'PA PB PC
đồng quy tại một điểm
P
H
, hơn nữa
, ,
P
H G P
thẳng hàng
và
2
P
GH
GP
=
.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng qua
', ', 'A B C
lần lượt song song với
, ,PA PB PC
đồng quy tại một điểm
P
O
, hơn nữa
, ,
P
O G P
thẳng hàng và
1
2
P
GO
GP
=
.
Giải:
a) Ta thấy rằng kết luận của bài toán khá rắc rối, tuy nhiên ý tưởng của lời giải
câu 1 giúp ta tìm đến một lời giải rất ngắn gọn như sau:
Lấy điểm
Q
trên tia đối tia
GP
sao
cho
2GQ GP=
. Theo tính chất trọng
Chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng
VnDoc xin giới thiệu Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng. Tài liệu giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và kỹ năng giải bài tập, biết cách phân bổ thời gian làm bài sao cho hợp lý. Mời các bạn cùng tham khảo
- Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán
- Chủ đề 1: Căn bậc hai và các bài toán liên quan
- Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất
- Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán
- 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc
- Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán trường THCS Kim Giang, Thanh Xuân năm học 2019 - 2020
- Môn thi thứ tư vào lớp 10
Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng được VnDoc đã chia sẻ trên đây. Nội dung gồm lý thuyết và các câu hỏi bài tập trong chuyên đề về Những Định lý Hình học nổi tiếng, chuẩn bị tốt cho kì thi HSG lớp 9 sắp tới. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo
- 8 Chuyên đề Toán nâng cao ôn thi lớp 10 và thi học sinh giỏi lớp 9
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 2: Đường tròn
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 3: Góc với đường tròn
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 4: Một số tiêu chuẩn nhận biết tứ giác nội tiếp
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 5: Chùm bài Toán về Tiếp tuyến, Cát tuyến
- Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 7: Một số bài tập chọn lọc hình học phẳng
Ngoài Bồi dưỡng HSG Toán 9 chuyên đề 6: Những Định lý Hình học nổi tiếng. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 1 lớp 9, đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2024 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt
