Các công thức lượng giác Toán 10

Bài tập lượng giác Toán 10

1 292

Các công thức lượng giác Toán 10

1. Công thức lượng giác cơ bản
2. Công thức cộng
3. Công thức nhân đôi, công thức nhân ba
4. Công thức hạ bậc
5. Công thức biến đổi tổng thành tích
6. Công thức biến đổi tích thành tổng
7. Bài tập công thức lượng giác

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh Các công thức lượng giác Toán 10. Tài liệu công thức lượng giác này sẽ giúp các bạn ôn tập những công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và các bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết ,... giúp các bạn củng cố, nâng cao kĩ năng tính toán và làm bài tập Toán 10. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 10 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Công thức lượng giác cơ bản

${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1$	$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$	${{\cot }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}$
${{\tan }^{2}}x+1=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}$	$\tan x.\cot x=1$

2. Công thức cộng

$\cos \left( a+b \right)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$
$\cos \left( a-b \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$
$\tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

$\sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b$
$\sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b$
$\tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

3. Công thức nhân đôi, công thức nhân ba

$\sin 2a=2\sin a.\cos b$
$\cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a$
$\cos 3a=4{{\cos }^{3}}a-3\cos a$
$\sin 3a=3\sin a-4{{\sin }^{3}}a$
$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a}$

4. Công thức hạ bậc

$\cos a=\pm \sqrt{\frac{1+\cos 2a}{2}}$

$\sin a=\pm \sqrt{\frac{1-\cos 2a}{2}}$

Đặt $t=\tan \frac{a}{2}$ ta có công thức sau:

$\sin a=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}$	$\cos a=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}$
$\tan a=\frac{2t}{1-{{t}^{2}}}$

5. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$ $\cos a-\cos b=-\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$	$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$ $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$
$\tan a+\tan b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\cos a.\cos b}$ $\tan a-\tan b=\frac{\sin \left( a-b \right)}{\cos a.\cos b}$	$\cot a+\cot b=\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin a.\sin b}$ $\cot a-\cot b=-\frac{\sin \left( a-b \right)}{\sin a.\sin b}$

6. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a+b \right)+\sin \left( a-b \right) \right]$

$\sin a.\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a-b \right)+\cos \left( a+b \right) \right]$

$\cos a.\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( a+b \right)+\cos \left( a-b \right) \right]$

7. Bài tập công thức lượng giác

Bài tập 1: Chứng minh các biểu thức sau:

a. $\frac{2\sin a-\sin2a}{2\sin a+\sin2a}=\frac{1}{\cos^2\frac{a}{2}}-1$

b. $\frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=-\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)$

c. $\frac{1+\sin x}{1-\sin x}={{\cot }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{a}{2} \right)$

Hướng dẫn giải

a. $\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\frac{a}{2}}-1$

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{align} & \frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}=\frac{2\sin a-2\sin a.\cos a}{2\sin a+2\sin a\cos a}=\frac{1-\cos a}{1+\cos a} \\ & =\frac{2{{\sin }^{2}}\dfrac{a}{2}}{2{{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2}}={{\tan }^{2}}\frac{a}{2}=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}\dfrac{a}{2}-1}=VP \\ \end{align}$

b. $\frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=-\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right)$

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{align} & \frac{1+\cos 2x-\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}=\frac{2{{\cos }^{2}}x-2\sin x.\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+2\sin x.\cos x}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x} \\ & =\frac{\sqrt{2}\sin \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}{\sqrt{2}\cos \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)}=\tan \left( \dfrac{\pi }{4}-x \right)=-\tan \left( x-\dfrac{\pi }{4} \right) \\ \end{align}$

c. $\frac{1+\sin x}{1-\sin x}={{\cot }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right)$

Biến đổi vế trái ta có:

$\begin{align} & \frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\dfrac{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}+{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}}{{{\cos }^{2}}\dfrac{x}{2}+{{\sin }^{2}}\dfrac{x}{2}-2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{{{\left( \cos \dfrac{x}{2}+\sin \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}{{{\left( \cos \dfrac{x}{2}-\sin \dfrac{x}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{2{{\cos }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{2} \right)}{2{{\sin }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{x}{2} \right)}={{\cot }^{2}}\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{a}{2} \right)=VP \\ \end{align}$

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a. $1-4{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a$
b. $\frac{1+\cos 2x-\cos x}{\sin 2x-\sin x}$
c. $\frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}$
d. ${{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x-\sin x-\cos x$

Hướng dẫn giải

a. $1-4{{\sin }^{2}}a.{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}2a={{\cos }^{2}}2a$

$\begin{align} & \frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}=\frac{\cos 2x+\left( \cos x+\cos 3x \right)}{\sin 2x+\left( \sin x+\sin 3x \right)} \\ & =\frac{\cos 2x+2\cos 2x.\cos x}{\sin 2x+2\sin 2x.\cos x}=\frac{\cos 2x\left( 1+2\cos x \right)}{\sin 2x\left( 1+2\cos x \right)}=\cot 2x \\ \end{align}$

$\begin{align} & {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x-\sin x-\cos x \\ & =\left( \cos x+\sin x \right)\left( {{\cos }^{2}}x-\sin x.\cos x+{{\sin }^{2}}x \right)-\left( \sin x+\cos x \right) \\ & =\left( \sin x+\cos x \right)\left[ {{\cos }^{2}}x-\sin x.\cos x+{{\sin }^{2}}x-1 \right] \\ & =\left( \sin x+\cos x \right)\left( -\sin x.\cos x \right)=-\dfrac{\sin 2x.\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)}{\sqrt{2}} \\ \end{align}$

Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số lượng giác sau:

a. $y=\sqrt{1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)}-1$
b. $y=2{{\sin }^{2}}x-\cos 2x+1$
c. $y={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x$
d. $y=1-8{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

Ta có:

$\begin{align} & -1\le \sin \left( {{x}^{2}} \right)\le 1 \\ & \Leftrightarrow 1\ge -\sin \left( {{x}^{2}} \right)\ge -1 \\ & \Leftrightarrow 0\ge 1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)\ge 2 \\ & \Leftrightarrow -1\ge \sqrt{1-\sin \left( {{x}^{2}} \right)}-1\ge \sqrt{2}-1 \\ \end{align}$

GTNN của hàm số là -1 tại $x=\pm \sqrt{\frac{\pi }{2}+k2\pi },k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$

GTLN của hàm số là $\sqrt{2}-1$ tại

Ta có:

$\begin{align} & -1\le \sin \left( x \right)\le 1 \\ & \Leftrightarrow 0\le {{\sin }^{2}}\left( x \right)\le 1 \\ & \Leftrightarrow 0\le 4{{\sin }^{2}}\left( x \right)\le 4 \\ \end{align}$

GTNN của hàm số là 0 tại

GTLN của hàm số là 4 tại

$\begin{align} & y={{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x={{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}-{{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}} \\ & =\left( {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)=\cos 2x \\ & -1\le \cos 2x\le 1 \\ \end{align}$

GTNN của hàm số là -1 tại

GTLN của hàm số là 1 tại $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\begin{align} & y=1-8{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x=1-2{{\sin }^{2}}2x=\cos 4x \\ & -1\le \cos 4x\le 1 \\ \end{align}$

GTNN của hàm số là -1 tại $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

GTLN của hàm số là 1 tại $x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Bài tập 4: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

Hướng dẫn giải

$\begin{align} & {{\cos }^{4}}x\left( 3-2{{\cos }^{2}}x \right)+{{\sin }^{4}}x.\left( 3-2{{\sin }^{2}}x \right) \\ & =3.\left( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}x \right)-2\left( {{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x \right) \\ & =3\left( 1-2{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right)-2\left( 1-3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x \right) \\ & =1 \\ \end{align}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x

$\begin{align} & {{\sin }^{2}}x\left( 1+\cot x \right)+{{\cos }^{2}}x.\left( 1-\tan x \right) \\ & ={{\sin }^{2}}x+\frac{{{\sin }^{2}}x.\cos x}{\sin x}+{{\cos }^{2}}x-\frac{{{\cos }^{2}}x.\sin x}{\cos x} \\ & =1 \\ \end{align}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Bài tập 5: Rút gọn hệ thức

---------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn bài Các công thức lượng giác Toán 10. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Ngoài ra, VnDoc giới thiệu thêm tới bạn đọc tham khảo một vài tài liệu liên quan tới chương trình lớp 10: Ngữ Văn 10, Tiếng Anh lớp 10, Vật lý lớp 10,...