Các kĩ thuật tính nhẩm nhanh

Các kĩ thuật tính nhẩm nhanh bao gồm các dạng toán tính nhẩm nhanh không cần sử dụng máy tính cũng có thể giải được dễ dàng bằng những phương pháp tính nhanh, những quy luật toán học đơn giản mà bạn không thể tìm thấy trong sách giáo khoa. Mời các em học sinh tham khảo chi tiết.

1. Nhân với số có các chữ số giống nhau như 11, 22, 111, 333, 4444...

Trước hết, ta thực hành quy tắc nhân nhẩm với 11, 111, 1111... qua các bài toán sau.

Bài 1. Tính nhẩm 234 x 11.

Giải. Thứ tự tính từ phải qua trái. Thừa số thứ nhất của phép nhân là 234, ta có dãy các chữ số: 4, 43, 32, 2. Thực hiện việc cộng hai chữ số viết trong dãy này, ta sẽ ra kết quả. Ta giữ nguyên chữ số 4 ở hàng đơn vị. Sau đó ta có 4 + 3 = 7, 3 + 2 = 5. Ta giữ nguyên số 2 đầu tiên bên phải. Ta được 234 x 11 = 2574.

Bài 2. Tính nhẩm 4567 x 11.

Giải. Ta liệt kê lại các dãy số cần tính tổng là: 7, 76, 65, 54, 4. Ta giữ nguyên chữ số 7 ở hàng đơn vị. Ta có 7 + 6 = 13, viết 3 nhớ 1; 6 + 5 + 1 = 12, viết 2 nhớ 1; 5 + 4 + 1 = 10, viết 0 nhớ 1; 4 + 1 = 5. Ta được 4567 x 11 = 50237.

Lưu ý. Khi nhân nhẩm với 11, là số có hai chữ số 1, ta lấy liên tiếp 2 chữ số rồi tính tổng. Khi nhân nhẩm với 111, là số có 3 chữ số 1, ta sẽ có quy tắc nhẩm tương tự.

Bài 3. Tính nhẩm 12345 x 111.

Giải. Ta sẽ liệt kê dãy chữ số cần tính tổng là: 5, 54, 543, 432, 321, 21, 1. Ta giữ nguyên chữ số 5 ở hàng đơn vị. Ta có 5 + 4 = 9, viết 9; 5 + 4 + 3 = 12, viết 2 nhớ 1; 4 + 3 + 2 + 1 = 10, viết 0 nhớ 1; 3 + 2 + 1 + 1 = 7, viết 7; 2 + 1 = 3, viết 3; giữ nguyên số 1. Ta được 12345 x 111 = 1370295.

Lưu ý. Tương tự, ta có phép nhân nhẩm với 1111.

Bài 4. Tính nhẩm 23456 x 1111.

Giải. Dãy chữ số cần tính tổng là: 6, 65, 654, 6543, 5432, 432, 32, 2. Ta giữ nguyên chữ số 6 ở hàng đơn vị. Ta có 6 + 5 = 11, viết 1 nhớ 1; 6 + 5 + 4 + 1 = 16, viết 6 nhớ 1; 6 + 5 + 4 + 3 + 1 = 19, viết 9 nhớ 1; 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15, viết 5 nhớ 1; 4 + 3 + 2 + 1 = 10, viết 0 nhớ 1; 3 + 2 + 1 = 6; giữ nguyên số 2. Ta được 23456 x 1111 = 26059616.

Lưu ý. Bây giờ ta sẽ thực hành phép nhân với số có các chữ số giống nhau. Ta sẽ sử dụng quy tắc: a x (b x c) = (a x b) x c.

Bài 5. Tính nhẩm 5678 x 22.

Giải. Ta có 5678 x 22 = 5678 x (11 x 2) = (5678 x 11) x 2 = 62458 x 2 = 124916.

Lưu ý. Ta thực hiện phép nhân nhẩm 5678 x 11 = 62458 rồi thực hiện phép nhân 62458 x 2.

Bài 6. Tính nhẩm 1234 x 333.

Giải. Ta có 1234 x 333 = 1234 x (111 x 3) = (1234 x 111) x 3 = 136974 x 3 = 410922.

2. Nhân hai số tận cùng bằng 5

Để tính tích, ta bỏ đi chữ số 5 ở hàng đơn vị của số đó. Lấy số mới này nhân với tổng của nó với 1, ta được một số mới. Viết thêm số 25 vào cuối ta được tích cần tính.

Bài 1. Tính 15 x 15.

Giải: Từ số 15, ta bỏ đi số 5, được số 1. Lấy 1 x (1 + 1) = 2. Viết thêm số 25 vào sau số 2 vừa tính, ta được 15 x 15 = 225.

Bài 2. Tính 35 x 35.

Giải: Ta có 3 x (3 + 1) = 12. Ta được 35 x 35 = 1225.

Bài 3. Tính 405 x 405.

Giải: Ta có 40 x (40 + 1) = 40 x 41 = 1640. Ta được 405 x 405 = 164025.

Bài 4. Tính 695 x 695.

Giải: Ta có 69 x (69 + 1) = 69 x 70 = 4830. Ta được 695 x 695 = 483025.

Bài 5. Tính 345 x 345.

3. Tính nhanh tích hai số có số chữ số bằng nhau

Trước hết, với một số có 2, 3 chữ số, ta chọn số đầu tiên có tương ứng là 3, 4 chữ số là 100, 1000. Hiệu của số mới với số ban đầu gọi là số bù. Chẳng hạn, số 98 có số bù là 100 - 98 = 2, số 986 có số bù 1000 - 986 = 14. Trong kỹ thuật nhân nhẩm này, ta chỉ tính những tích của hai số có hai chữ số mà tích của hai số bù cũng là số có hai chữ số. Tương tự, ta sẽ tính tích của hai số có ba chữ số khi tích của hai số bù là số có ba chữ số.

Quy tắc: Bước 1: Tìm hai số bù. Bước 2: Lấy hiệu của thừa số thứ nhất với số bù của thừa số thứ hai. Bước 3. Lấy tích hai số bù. Nếu tích này có số chữ số ít hơn so với số chữ số của thừa số ban đầu thì ta thêm số 0 vào trước nó. Bước 4. Ghép hai số vừa tính, ta được tích.

Bài 1. Tính 96 x 97.

Giải: Hai số bù là 100 - 96 = 4, 100 - 97 = 3. Hiệu 96 - 3 = 93, tích 4 x 3 = 12. Ta ghép hai số này để được tích 96 x 97 = 9312.

Bài 2. Tính 98 x 99.

Giải: Hai số bù là 100 - 98 = 2, 100 - 99 = 1. Hiệu 98 - 1 = 97, tích 2 x 1 = 2. Ta thêm số 0 vào trước số 2 để được số 02. Ta được 98 x 99 = 9702.

Bài 3. Tính 988 x 991.

Giải: Hai số bù là 1000 - 988 = 12, 1000 - 991 = 9. Hiệu 988 - 9 = 979, tích 12 x 9 = 108. Ta được 988 x 991 = 979108.

Bài 4. Tính 998 x 990.

Giải: Hai số bù là 1000 - 998 = 2, 1000 - 990 = 10. Hiệu 998 - 10 = 988, tích 2 x 10 = 20. Ta thêm số 0 vào trước số 20 để được số 020. Ta được 998 x 990 = 988020.

4. Tính nhanh tích hai số gần bằng 100, 1.000…

Gồm bốn bước là: Số bù, hiệu chéo, tích số bù và ghép số.

Bài 1. Tính 9991 x 9997.

Giải. Số bù là 10.000 - 9.991 = 9, 10.000 - 9997 = 3. Hiệu chéo là 9991 - 3 = 9988. Tích số bù là 9 x 3 = 27. Vì 27 là số có 2 chữ số nên cần viết thêm số 00 vào trước để đủ 4 chữ số là 0027. Vậy 9991 x 9997 = 99880027.

Chú ý. Với những số có hai chữ số như 92, 89 thì số bù là hiệu của 100 với số đó. Tương tự, với những số có ba hay bốn chữ số thì số bù là hiệu của 1.000, 10.000 với số đó.

Bài 2. Tính 82 x 93.

Giải. Số bù là 100 - 82 = 18, 100 - 93 = 7. Hiệu chéo là 82 - 7 = 75. Tích số bù là 18 x 7 = 126. Vì 126 là số có ba chữ số, ta giữ nguyên số có hai chữ số là 26. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 75 = 76. Ta được 82 x 93 = 7626.

Bài 3. Tính 991 x 879.

Giải. Số bù là 1.000 - 991 = 9, 1.000 - 879 = 121. Hiệu chéo là 879 - 9 = 870. Tích số bù là 9 x 121 = 1.089. Vì 1.089 là số có bốn chữ số, ta giữ nguyên số có ba chữ số là 089. Cộng phần còn lại với hiệu chéo là 1 + 870 = 871. Ta được 991 x 879 = 871.089.

Chú ý. Hiệu chéo có thể tính theo hai cách là 879 - 9 hoặc 991 - 121.

Bài 4. Tính 92 x 996.

Giải. Để hai thừa số có cùng số chữ số, ta nhân 92 với 10 và xét tích 920 x 996. Số bù là 1.000 - 920 = 80, 1.000 - 996 = 4. Hiệu chéo là 920 - 4 = 916. Tích số bù là 80 x 4 = 320. Vậy 920 x 996 = 916320 nên 92 x 996 = 91632.

3. Tính tích hai số có cùng số chữ số nhưng lớn hơn 10, 100, 1.000... Với số lớn hơn 10 như 12 thì 2 là số tăng

Bài 5. Tính 12 x 14.

Giải. Bước 1: Số tăng 2, 4 (là 12 - 10, 14 - 10). Bước 2: Tổng chéo 12 + 4 = 16. Bước 3: Tích số tăng 2 x 4 = 8. Bước 4: Ghép số, ta được 12 x 14 = 168.

5. Nhẩm nhanh của tích hai số mà một số lớn hơn, một số nhỏ hơn 10, 100 hay 1000

Bài 1. Tính 9 × 12.

Nhận xét. Bằng cách nhân trực tiếp, ta sẽ có ngay kết quả là 9 × 12 = 108. Tuy nhiên, theo tư duy số bù và số tăng, ta giải như sau để biết phương pháp nhân nhanh cho những tích khác mà thừa số có nhiều chữ số hơn.

Giải. Bước 1: Số bù là 10 – 9 = 1, số tăng là 12 – 10 = 2. Bước 2: Tổng chéo (số bé + số tăng) = Hiệu chéo (số lớn trừ số bù) = 9 + 2 = 12 – 1 = 11. Bước 3: Tích số bù với số tăng là 1 × 2 = 2. Bước 4: Nhân tổng chéo với 10 rồi trừ đi tích là 11 × 10 – 2 = 110 – 2 = 108. Ta được 9 × 12 = 108.

Chú ý: 9 và 12 là hai số xung quanh số 10 nên ta nhân tổng chéo với 10. Nếu hai thừa số là những số xung quanh số 100, 1000 thì ta sẽ nhân tương ứng tổng chéo với 100, 1000.

Bài 2. Tính 103 × 98.

Giải. Số tăng là 103 – 100 = 3, số bù là 100 – 98 = 2. Hiệu chéo là 103 – 2 = 101. Tích số tăng với số bù là 3 × 2 = 6. Nhân hiệu chéo với 100 rồi trừ đi tích là 101 × 100 – 6 = 10100 – 6 = 10094. Ta được 103 × 98 = 10094.

Bài 3. Tính 986 × 1004.

Giải. Số bù là 1000 – 986 = 14, số tăng là 1004 – 1000 = 4. Tổng chéo là 986 + 4 = 990. Tích số bù với số tăng là 14 × 4 = 56. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 990 × 1000 – 56 = 990000 – 56 = 989944. Ta được 986 × 1004 = 989944.

Bài 4. Tính 8 × 102.

Giải. Ta có 8 × 102 = (80 × 102) : 10.

Tính 80 × 102. Số bù là 20, số tăng là 2. Tổng chéo là 82. Tích số bù với số tăng là 40. Nhân tổng chéo với 100 rồi trừ đi tích là 82 × 100 – 40 = 8200 – 40 = 8160. Ta được 80 × 102 = 8160.

Vậy 8 × 102 = 8160 : 10 = 816.

Bài 5. Tính 99 × 1006.

Giải. Cách 1. Ta có 99 × 1006 = (990 × 1006) : 10.

Tính 990 × 1006. Số bù là 10, số tăng là 6. Tổng chéo là 996. Tích số bù với số tăng là 60. Nhân tổng chéo với 1000 rồi trừ đi tích là 996 × 1000 – 60 = 996000 – 60 = 995940. Ta được 990 × 1006 = 995940.

Vậy 99 × 1006 = 995940 : 10 = 99594.

Cách 2. Ta có 99 × 1006 = 9 × (11 × 1006).

Tính 11 × 1006. Ta có dãy số: 6, 6 + 0, 0 + 0, 0 + 1, 1 hay 6, 6, 0, 1, 1. Vậy 11 × 1006 = 11066 nên 99 × 1006 = 9 × 11066 = 99594.

6. Nhân nhẩm nhanh của tích hai số có hai chữ số mà chữ số hàng chục giống nhau, tích hai số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm giống nhau, như 32 × 34, 401 × 402.

Điều khác biệt trong những phép nhân này so với phép nhân hai số xung quanh 10, 100, 1000 là số được chọn là mốc hay gốc không phải là 10, 10 mà là 30, 400...

Bài 1. Tính 23 × 21.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 20. Bước 2. Số tăng là 23 - 20 = 3, 21 - 20 = 1. Bước 3. Tổng chéo là 23 + 1 = 24. Bước 4. Tích của tổng chéo với chữ số hàng chục của mốc là 24 × 2 = 48. Bước 5. Tích hai số tăng là 3 × 1 = 3. Ta được 23 × 21 = 483.

Nhận xét. So với nhân hai số gần 10, 100 thì ta thêm bước 4, còn các quy tắc nhân nhẩm nhanh vẫn như cũ.

Bài 2. Tính 403 × 412.

Giải. Mốc là 400. Số tăng là 403 – 400 = 3, 412 – 400 = 12. Tổng chéo là 403 + 12 = 415. Tích của tổng chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 415 × 4 = 1660. Tích hai số tăng là 3 × 12 = 36. Vậy 403 × 412 = 166036.

Bài 3. Tính 3005 × 3024.

Giải. Mốc là 3000. Số tăng là 5, 24. Tổng chéo là 3029. Tích 3029 × 3 = 9087. Tích 5 × 24 = 120. Vậy 3005 × 3024 = 9087120.

Bài 4. Tính 34 × 38.

Giải. Mốc là 30. Số tăng là 4, 8. Tổng chéo là 42. Tích 42 × 3 = 126. Tích 4 × 8 = 32. Vì tích hai số tăng chỉ lấy một chữ số nên ta giữ số 2, chuyển số 3 vào 126. Tổng 126 + 3 = 129. Vậy 34 × 38 = 1292.

Bài 5. Tính 57 × 58.

Giải. Mốc là 60. Số bù là 60 – 57 = 3, 60 – 58 = 2. Hiệu chéo là 57 – 2 = 55. Tích 55 × 6 = 330. Tích 3 × 2 = 6. Vậy 57 × 58 = 3306.

Bài 6. Tính 194 × 197.

Giải. Mốc là 200. Số bù là 6, 3. Hiệu chéo là 191. Tích 191 × 2 = 382. Tích 6 × 3 = 18. Vậy 194 × 197 = 38218.

7. Nhân nhẩm nhanh tích của hai số xung quanh số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn

Chẳng hạn 46 × 52, 197 × 204 hay 996 × 1002. Ở đây, với tích 46 × 52, ta có mốc là số 50. Hai số 46, 52 kém và hơn 50. Ta vẫn giữ nguyên khái niệm số bù (50 – 46 = 4) và số tăng (52 – 50 = 2).

Bài 1. Tính 29 × 34.

Giải. Ta thực hiện các bước sau. Bước 1. Chọn mốc là số 30. Bước 2. Số bù là 30 – 29 = 1, số tăng là 34 – 30 = 4. Bước 3. Tổng chéo là 29 + 4 = 33 (hoặc hiệu chéo là 34 – 1 = 33). Bước 4. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng chục của mốc là 33 × 3 = 99. Bước 5. Tích số bù với số tăng là 1 × 4 = 4. Hiệu 990 – 4 = 986. Vậy 29 × 34 = 986.

Bài 2. Tính 405 × 396.

Giải. Chọn mốc là số 400. Số tăng là 5, số bù là 4. Hiệu chéo là 401. Tích của hiệu chéo với chữ số hàng trăm của mốc là 401 × 4 = 1604. Tích số bù với số tăng là 5 × 4 = 20. Hiệu 160400 – 20 = 160380. Vậy 405 × 396 = 160380.

Bài 3. Tính 3994 × 4003.

Giải. Mốc là 4000. Số bù là 6, số tăng là 3. Tổng chéo là 3997.

Tích 3997 × 4 = (4000 – 3) × 4 = 16000 – 12 = 15988. Tích 6 × 3 = 18. Hiệu 15988000 – 18 = 15987982. Vậy 3994 × 4003 = 15987982.

Bài 4. Tính 68 × 72.

Giải. Mốc là 70. Số bù là 2, số tăng là 2. Tổng chéo là 70. Tích 70 × 7 = 490. Tích 2 × 2 = 4. Hiệu 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896.

Nhận xét. Ở phép nhân này, ta thấy số bù với số tăng bằng nhau, tổng chéo (hiệu chéo) bằng số mốc. Ta có thể rút gọn cách làm như sau: “Số bù là 2. Tích 7 × 7 = 49. Tích 2 × 2 = 4. Nhân 49 với 100 rồi trừ đi tích hai số bù là 4900 – 4 = 4896. Vậy 68 × 72 = 4896”. Với những phép nhân này, với mốc là số có hai, ba hay bốn chữ số thì sau khi nhân chữ số đầu tiên của mốc với chính nó, ta nhân thêm lần lượt với 100, 10000, 1000000 rồi trừ đi tích hai số bù (hay số tăng).

Bài 5. Tính 41 × 39.

Giải. Mốc là 40. Số bù là 1. Tích 4 × 4 = 16. Tích 1 × 1 = 1. Hiệu 1600 – 1 = 1599. Vậy 41 × 39 = 1599.

Bài 6. Tính 76 × 84.

Giải. Mốc là 80. Số bù là 4. Tích 8 × 8 = 64. Tích 4 × 4 = 16. Hiệu 6400 – 16 = 6384. Vậy 76 × 84 = 6384.

>> Tham khảo: Các kĩ thuật tính nhẩm nhanh - Phần 2

Phương pháp tính nhẩm nhanh áp dụng trong chương trình phạm vi Toán nâng cao lớp 4, 5 có các dạng bài tập và đáp án chi tiết kèm theo cho các em học sinh lớp 4, lớp 5 củng cố kiến thức, mở rộng các dạng Toán từ cơ bản đến nâng cao.