Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tường ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. Tài liệu "Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác" tổng hợp lại kiến thức và các bài tập về ba trường hợp bằng nhau của tam giác, giúp các bạn học tốt môn Toán lớp 7. Mời các bạn cùng tham khảo.

1. Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a) Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp cạnh cạnh cạnh

Trường hợp bằng nhau của 2 tam giác cạnh cạnh cạnh

Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh

b) Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp cạnh góc cạnh

Trường hợp bằng nhau của 2 tam giác cạnh góc cạnh

Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau của 2 tam giác 3

Trường hợp bằng nhau của 2 tam giác góc cạnh góc

Lưu ý:

- Cặp cạnh bằng nhau phải xen giữa hai cặp góc bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.

- Khi hai tam giác đã chứng minh bằng nhau, ta có thể suy ra những yếu tố tương ứng còn lại bằng nhau.

Tham khảo thêm: Trắc nghiệm Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc

2. Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác:

(Hệ quả là một định lí được suy ra trực tiếp từ một định lí hoặc một tính chất được thừa nhận trước đó)

* Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác

* Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề ấy cạnh của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (g-c-g)

Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác 2

Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác 4

* Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. (ch-gn)

Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác 3

Hệ quả các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác 5

3. Ứng dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác

Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để:

- Chứng minh: hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; ...

- Tính: các độ dài đoạn thẳng; tính số đo góc; tính chu vi; diện tích; ...

- So sánh: các độ dài đoạn thẳng; so sánh các góc; ...

4. Bài tập vận dụng Các trường hợp bằng nhau của tam giác

a. Trường hợp 1: cạnh – cạnh – cạnh

Bài 1: Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm A bán kính BC, vẽ cung tròn tâm C bán bính BA, chúng cách nhau giữa ở D (D và B nằm khác phía đối với bờ AC). Chứng minh rằng AD // BC

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Xét ΔABC và ΔCDA có AC chung

AB = CD (gt)

BC = DA (gt)

Nên ΔABC = ΔCDA (c-c-c)

⇒ ∠ABC = ∠CAD (hai góc tương ứng bằng nhau)

Hai đường thẳng AD, BC tạo AC hai góc so le

Do đó AD // BC

Bài 2: Tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Chứng mình rằng AM vuông góc với BC.

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AB = AC

AM chung

MB = MC (gt)

⇒ ΔAMB = ΔAMC (c-c-c)

Suy ra ∠BAM = ∠CAM; ∠AMB = ∠AMC (góc tương ứng bằng nhau)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù)

Nên ∠AMB = ∠AMC = 180°/2 = 90° hay AM ⊥ BC

b. Trường hợp 2: cạnh – góc – cạnh

Bài 1: Cho đoạn thẳng BC. Gọi A là một điểm nằm trên đường trung trực xy của đoạn thẳng BC và M là giao điểm của xy với BC. Chứng minh AB = AC

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Xét hai tam giác AMB và AMC có:

MB = MC (gt)

∠AMB = ∠AMC = 90° (vì AM ⊥ BC)

AH là cạnh chung

Nên ΔAMB = ΔAMC (c-g-c)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Bài 2: Cho đường thẳng AB, trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đoạn thẳng AB vẽ hai tia Ax ⊥ AB; By ⊥ BA. Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC = BD. Gọi O là trung điểm của AB.

a) Chứng mình rằng: ΔAOC = ΔBOD

b) Chứng minh O là trung điểm của CD

Các trường hợp bằng nhau của tam giác
Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Mà tia OC và OD là hai tia nằm khác phía đối với AB nên suy ra O, C, D thẳng hàng (hai tia đối của hai góc đối đỉnh hay O nằm gữa CD)

Ta có: O nằm giữa C và D nên OC = OD hay O là trung điểm của CD

c) Trường hợp 3: góc – cạnh – góc:

Bài 1: Cho ΔABC có ∠B = ∠C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Tia phân giác của góc C cắt AB tại E. So sánh độ dài đoạn thằng BD và CE.

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB = AC) và I là trung điểm của đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm nằm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Xét hai tam giác BID và CIE ta có:

BI = IC (I là trung điểm của BC)

∠IBD = ∠ICE (hai góc so le trong)

BD = CE (gt)

⇒ ΔBID = ΔCIE (c-g-c)

Nên ∠BID = ∠CIE (hai góc tương ứng bằng nhau)

Hai góc này bằng nhau, chiếm vị trí đối đỉnh, có hai cạnh tương ứng BI và CI nằm trên một đường thẳng.

Vậy D, I, E thẳng hàng

5. Bài tập tự luyện

Sau khi nắm rõ các lý thuyết bên trên về những trường hợp bằng nhau của tam giác, mời các bạn cùng làm các bài tập ứng dụng dưới đây:

Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.

Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC.

Bài 2. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: ABE = ACE

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 400 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.

a. Chứng minh góc EAB = góc DAC.

b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE.

c. Giả sử góc DAE = 600. Tính các góc còn lại của tam giác DAE.

Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A = 900. Vẽ AD ⊥ AB (D, C nằm khác phía đối với AB) và AD = AB. Vẽ AE ⊥ AC (E, B nằm khác phía đối với AC) và AE = AC. Biết DE = BC. Tính góc BAC.

Bài 6. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng:

a. ∆ABE = ∆ACE

b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Bài 7. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:

a. ∆BDF = ∆EDC.

b. BF = EC.

c. F, D, E thẳng hàng.

d. AD ⊥ FC

Bài 8. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).

a. Chứng minh ∆OAD = ∆OBC

b. So sánh 2 góc CAD và CBD.

Bài 9. Cho ΔABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC.

a. Chứng minh ΔABC = ΔABD

b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh ΔMBD = ΔMBC.

Bài 10. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh:

a. ΔAOI = ΔBOI.

b. AB ⊥ OI.

Bài 11. Cho ΔABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA.

a. Chứng minh AC // BE.

b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng.

Trên đây, VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và các em học sinh Lý thuyết và bài tập vận dụng Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán 7 khác như: Giải bài tập Toán lớp 7, Giải Vở BT Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 2 lớp 7... cũng được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.

Mời các bạn tham khảo tài liệu liên quan

Đánh giá bài viết
289 146.920
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 7 Xem thêm