Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

1 14.315

Chuyên đề Toán 9: Hệ phương trình đối xứng loại 2

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 2
II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 2
III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là một dạng nâng cao trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Giải hệ phương trình", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cơ bản cần nhớ về hệ phương trình đối xứng loại 2

1. Định nghĩa về hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình khi ta thay đổi vai trò x; y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại.

2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = 0\left( 1 \right)\\ f\left( {y;x} \right) = 0\left( 2 \right) \end{array} \right.$

+ Lấy (1) – (2) hoặc (2) – (1) ta được $\left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$

+ Trường hợp 1: x – y = 0, kết hợp với phương trình hoặc suy ra được nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x; y) = 0 kết hợp với phương trình suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

II. Bài tập ví dụ về giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^3} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lời giải:

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = x - y\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y = 0\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Có ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}xy + \frac{{{y^2}}}{4}} \right) + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1$

$= {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} - 1 \ne 0\forall x;y$ nên phương trình ${x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0$ vô nghiệm

Với x – y = 0 hay x = y thay vào phương trình (1) có:

${x^3} = 2x + x \Leftrightarrow {x^3} = 3x \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 \\ x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right);\left( {x;y} \right) = \left( { - \sqrt 3 ; - \sqrt 3 } \right)$

Bài 2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\left( 1 \right)\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Lời giải:

Lấy (1) – (2) ta có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} - {y^2} + 2{x^2} = 2x + y - 2y - x\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 3{y^2} = x - y\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 3x = 1 - 3y \end{array} \right. \end{array}$

Với x = y thay vào phương trình (1) có:

$\begin{array}{l} {x^2} - 2{x^2} = 2x + x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0\\ \Leftrightarrow - x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 0\\ x = - 1 \Rightarrow y = - 1 \end{array} \right. \end{array}$

Với $x = \frac{{1 - 3y}}{3}$ thay vào phương trình (2) có:

${\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right)^2} - 2{y^2} = 2\left( {\frac{{1 - 3y}}{3}} \right) + y$

Biến đổi phương trình suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0;0) và (x; y) = (-1; - 1)

III. Bài tập tự luyện về hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài 1: Giải các hệ phương trình dưới đây:

1, $\left\{ \begin{array}{l} {y^2} - xy = 3x\\ {x^2} - xy = 3y \end{array} \right.$	2, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$
3, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 2{y^2} = 2x + y\\ {y^2} - 2{x^2} = 2y + x \end{array} \right.$	4, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}y + 2 = {y^2}\\ x{y^2} + 2 = {x^2} \end{array} \right.$
5, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$	6, $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 3x + 8y\\ {y^3} = 3y + 8x \end{array} \right.$
7, $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {x^2} + 2{y^2}\\ 3{y^2} = {y^2} + 2{x^2} \end{array} \right.$	8, $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \frac{1}{y} = \frac{3}{x}\\ 2y + \frac{1}{x} = \frac{3}{y} \end{array} \right.$
9, $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$	10, $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = \frac{1}{y} + y\\ 2{y^2} = \frac{1}{x} + x \end{array} \right.$

-----------------

Ngoài chuyên đề giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!