Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

Để học tốt Toán lớp 7

320 124.781

Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác được VnDoc tổng hợp và đăng tải. Bài tập về tam giác thường hay có trong các bài kiểm tra Toán 7. Vậy để giúp các em ôn tập các dạng toán về tam giác, VnDoc đã chia sẻ các dạng bài tập về tam giác để các em ôn tập, rèn luyện thêm tại nhà. Dưới đây là nội dung chi tiết, các em tham khảo nhé.

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông ở A(AB < AC), đường cao AH, biết AB = 6cm. Đường trung trực của BC cắt các đường thẳng AB, AC, BC theo thứ tự ở D, E và F biết DE = 5cm, EF = 4cm. Chứng minh:

a) Tam giác FEC đồng dạng với tam giác FBD

b) Tam giác AED đồng dạng với tam giác HAC

c) Tính BC, AH, AC

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a. Ta có:

$\Delta FEC,\Delta FBD$ vuông tại F, có $\widehat{FEC}=\widehat{FBD}$ (cùng chắn $\widehat{FCE}$ )

$\Rightarrow \Delta FEC\sim \Delta FBD$

b. Xét $\Delta AED$ vuông tại A và $\Delta HAC$ vuông tại H, có $\widehat{ADE}=\widehat{HCA}$ (cùng chắn $\widehat{ABC}$ )

$\Rightarrow \Delta AED\sim \Delta HAC$

c. Ta có: $\frac{FE}{FB}=\frac{FC}{FD},\ (\Delta FED\sim\Delta FBD)$

Mà

$\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} FB=FC \\ FD=FE+ED \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{EF}{FB}=\frac{FB}{FE+ED}\Rightarrow F{{B}^{2}}=EF\left( FE+ED \right) \\ & \Rightarrow FB=\sqrt{4\left( 4+5 \right)}=6=FC\Rightarrow BC=FB+FC=6+6=12(cm) \\ \end{align}$

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (Pitago)

$\Rightarrow {{12}^{2}}={{6}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{{{12}^{2}}-{{6}^{2}}}=6\sqrt{3}\left( cm \right)$

Xét tam giác CAH vuông tại H và tam giác CBA vuông tại A có:

$\widehat{ECF}$ chung

$\Rightarrow \Delta CAH\sim \Delta CBA\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{AH}{BA}=k\Rightarrow \frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{AH}{6}\Rightarrow AH=\frac{6\sqrt{3}.6}{12}=3\sqrt{3}\left( cm \right)$

Bài 2:

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC.

a) Chứng minh tam giác BEM bằng tam giác CFM

b) Chứng minh AM vuông góc với EF

c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B từ C kẻ đường vuông góc với AC tại C, 2 đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a. Xét tam giác BEM và CFM ta có:

BM = CM (vì AM là trung tuyến ứng với BC)

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (vì tam giác ABC cân ở A)

$\widehat{BEM}=\widehat{ACB}={{90}^{0}}$

$\Rightarrow \Delta BEM=\Delta CFM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

b. Từ câu a ta có $\Delta BEM=\Delta CFM\Rightarrow BE=FC$

Ta có: AE = AB – BE

Lại có: AF = AC – CF

Mà AB = AC, BE = CF

Vậy AE = AF

Trong một tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, …. Nên AM là phân giác góc A

Xét tam giác AEI và tam giác AFI ta có:

AI là cạnh chung

AE = AF

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

$\Rightarrow \Delta AEM=\Delta AFM$ (c. g. c)

$\begin{align} & \Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{AFM} \\ & \widehat{AIE}+\widehat{AIF}={{180}^{0}} \\ & \Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{AIF}={{180}^{0}}:2={{90}^{0}} \\ \end{align}$

Vậy AM vuông góc với FE

c. Theo câu a ta có $\Delta BEM=\Delta CFM\Rightarrow ME=MF$

Vậy M thuộc phân giác góc A (1)

Xét tam giác vuông ABD và ACD có

AD là cạnh chung

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACD$ (Cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra DB = DC nên D thuộc tia phân giác góc A (2)

Từ (1) và (2) ta có A, D, M thẳng hàng

Bài 3:

Cho ΔABC. Gọi I là 1 điểm trên cạnh BC. Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt AB tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt AC tại N.

a, Gọi O là trung điểm của cạnh AI. Chứng minh rằng ba điểm M, N, O thẳng hàng

b, Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD

c, Tìm vị trí của I để MN // BC

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao AH và BI cắt nhau tạo O và AB = 5cm, BC = 6cm. Tia BI cắt đường phân giác ngoài của góc A tại M

a) Tính AH?

b) Chứng tỏ: AM^2 = OM.MI

c) Tam giác MAB ~ tam giác AOB

d) IA.MB = 5.IM

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a. Xét tam giác AHC vuông, áp dụng định lí Pitago ta dễ dàng tính được AH = 4

b. Xét $\Delta AMI$ và tam giác $\Delta OAM$ có:

$\widehat{AMO}$ chung

$\widehat{AIO}=\widehat{AIM}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta AIM\sim \Delta AOM$ (g. g)

$\Rightarrow \frac{AM}{OM}=\frac{MI}{MA}\Rightarrow A{{M}^{2}}=OM.IM$

C. Dễ thấy $\Delta AIM\sim \Delta AOI\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{OAI}\Rightarrow \widehat{BAO}=\widehat{BMA}$

Xét tam giác BOA và tam giác BAM có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAO}=\widehat{BMA}$

$\Rightarrow \Delta BOA=\Delta BAM$

Bài 5. Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH và DE = 6cm, EF = 9cm.

a. Chứng minh: Tâm giác DEF đồng dạng tam giác HED.

b. Chứng minh: DF^2 = FH.EF.

c. Qua D kẻ đường thẳng a, từ E dựng EP và từ F dựng FQ vuông góc với a (P, Q thuộc a). Chứng minh:

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a. Xét tam giác DEF và tam giác HED có:

$\widehat{EDF}=\widehat{EHD}={{90}^{0}}$

$\widehat{E}$ chung

(g. g)

b. Xét tam giác DFE và tam giác HDF có

$\widehat{EDF}=\widehat{DHF}={{90}^{0}}$

$\Rightarrow \Delta DEF\sim \Delta HDF$ (g. g)

$\Rightarrow \frac{DF}{EF}=\frac{FH}{DF}\Rightarrow D{{F}^{2}}=FH.EF$

Bài 6.

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm và AH là đường cao

a. Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

b. Chứng minh: AB² = HB . BC

c. Kẻ tia phân giác góc A cắt BC tại I. Tính độ dài cạnh BI.

Hướng dẫn giải:

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a, Xét tam giác HBA và tam giác ABC: góc B chung H = A = 90 => tg HBA đồng dạng ABC.

b, Vì tam giác BHA đồng dạng tg ABC: => AB/HB = BC/AB => đpcm.

c, Áp dụng tính chất tia phân giác:

=>AB/AC = BI/IC => BI/AB = IC/AC

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

BI/AB = IC/AC = BI + IC/AB + AC = BC/AB + AC = 10/6 + 8 = 5/7

Suy ra:

BI = 5/7.6 = 4,3

IC = 5/7.8 = 5,7

Bài 7

Cho tam giác ABC vuông tại góc A, đường cao AH (H thuộc BC) và phân giác BE của ABC (E thuộc AC) cắt nhau tại I. Chứng minh:

a. IH.AB = IA.BH

b. Tam giác BHA bằng tam giác BAC,

c. IH/IA = AE/EC

d. Tam giác AIE cân

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác

a. $\Delta AHB$ có BI là phân giác góc $\widehat{ABH}$ . Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

$\begin{align} & \frac{HI}{AI}=\frac{BH}{AB} \\ & \Rightarrow IH.AB=IA.BH \\ \end{align}$

b. Xét hai tam giác vuông BHA và tam giác ABC có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}$

$\Rightarrow \Delta BAH\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{BH}{AB}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC$

c. Ta có:

$\frac{HI}{AI}=\frac{BH}{AB}$ (1)

$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC}$ (BE là đường phân giác góc B) (2)

$\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}$ , ( $\Delta BAH\sim \Delta ABC$ ) (3)

Từ (2) và (3) ta có:

$\frac{AE}{CE}=\frac{BH}{AB}$ (4)

Từ (1) và (4) ta có:

$\frac{HI}{AI}=\frac{AE}{CE}$

d. Ta có:

$\widehat{BEA}+\widehat{ABE}=\widehat{BIH}+\widehat{IBH}$

Mà $\widehat{ABE}=\widehat{IBH}$

$\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{IBH}$

Mà $\widehat{BIH}=\widehat{AIE}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{AEI}\Rightarrow \Delta AIE$ cân tại A

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A $\left( {\widehat A < {{90}^0}} \right)$ . Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB (E thuộc cạnh AB, D thuộc cạnh AC)

a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AI là tia phân giác của góc CAB

c) Chứng minh 2IB > BC

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b. Vẽ phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E kẻ EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh của tam giác.

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Đường thẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với BC cắt AC tại N.

a. Tính độ dài cạnh BC.

b. Chứng minh góc CBN bằng góc NCB.

c. Trên tia đối của tia NB lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng tam giác BEC vuông.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, BC = 13cm.

a. Tính AC.

b. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính AH, BH, CH.

c. Gọi M là trung điểm BC. Tính AM.

d. Trên tia đối tia MA lấy E sao cho ME = MA. Chứng minh BE = AC và BE // AC.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường cao AH và BI cắt nhau tạo O và AB = 5cm, BC = 6cm. Tia BI cắt đường phân giác ngoài của góc A tại M

a) Tính AH?

b) Chứng tỏ: AM^2 = OM.MI

c) Tam giác MAB ~ tam giác AOB

d) IA.MB = 5.IM

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại góc A, đường cao AH (H thuộc BC) và phân giác BE của ABC (E thuộc AC) cắt nhau tại I. Chứng minh:

a. IH.AB = IA.BH

b. Tam giác BHA bằng tam giác BAC, AB2 = BH.BC

c. IH/IA = AE/EC

d. Tam giác AIE cân

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A (A<90O). Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB (E thuộc cạnh AB, D thuộc cạnh AC)

a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACE

b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AI là tia phân giác của góc CAB

c) Chứng minh 2IB > BC

Bài 9: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.

a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

b. Vẽ phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E kẻ EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến các đỉnh của tam giác.

.................

Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn tài liệu Cho tam giác ABC - Các bài toán hình lớp 7 về tam giác. Tài liệu này gồm các dạng bài toán về tam giác kèm theo lời giải chi tiết để các em ôn tập, rèn luyện thêm tại nhà, từ đó củng cố kiến thức, chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng sắp tới. Chúc các em học tốt.

Đánh giá bài viết

320 124.781