Chuyên đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa. S nguyên
a
đưc gi là s chính phương nếu nó là bình phương của mt s
nguyên, tc là
2
ab
vi
b
là s nguyên.
2. Tính chất
a) Nếu
a
chn thì
2
4
a
b) Nếu
a
l thì
2
18 a
c) Nếu
3a
thì
2
9a
d) Nếu
3
a
thì
2
13 a
e) Nếu
13
a
thì
3
19
a
; Nếu
13 a
thì
f) Nếu
a
là mt s chính phương,
a
chia hết cho s nguyên t
p
thì
a
chia hết cho
2
p
.
g) Nếu
2
a
chia hết cho s nguyên t
p
thì
a
chia hết cho
p
h) Nếu tích hai s
a
b
là mt s chính phương thì các s
a
b
có dng
22
;a mp b mq
i) Gia hai s chính phương liên tiếp không có s chính phương nào.
3. Một skết quả “đẹp”
a) S chính phương ch có ch s tân cùng thuc tp hp:
1;2;4;5;6;9
.
b) Khi phân tích ra tha s nguyên t, s chính phương ch chứa các thừa s nguyên
t vi s mũ chn.
c) S chính phương ch một trong các dạng
4k
hoc
41k
. Không có s chính
phương nào có dạng
42k
hoc
43k
vi
k
.
d) S chính phương ch một trong các dạng
3k
hoc
31k
. Không có s chính phương
nào có dng
32k
vi
k
CHUYÊN Đ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG (SQUARE NUMBER)
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG HOẶC LÀ TỔNG
CỦA NHIỀU SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Ví d1. Cho
n
là mt s t nhiên. Chng minh rng:

1 2 31 A nn n n
là s chính
phương.
Li gii:
Ta có:

22
22 2 2 2
3321323131  Annnn nn nn nn
n
nên
2
31 nn
. Vy
A
là s chính phương.
Ví d2. Chng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
a)
2
22499...9100...09
nn
A
b)
1
11...155...56
nn
B
Li gii:
a) Ta có:
2
2 21
2 2 21
22 2 1
2
2
22499...9100...09
224.10 99...9.10 10 9
224.10 10 1 .10 10 9
224.10 10 10 10 9
225.10 90.10 9
15.10 3








nn
n nn
nn n n
n nn n
nn
n
A
Vy
A
là s chính phương.
b) Ta có :
1
2
2
2
11...155...56
11...155...5 1
11...1.10 5.11...1 1
10 1 10 1
.10 5. 1
99
10 10 5.10 5 9
9
10 4.10 4
9
10 2
3

 

 




nn
nn
n
nn
nn
n
nn n
nn
n
B
Do đó
B
là s chính phương.
Ví d3. Chng minh rng:
1997 1998
11...1122...225
 
A
là mt s chính phương
Li gii:
Ta có:
1999
1997 1998
1997 1999 1998
2
1996 1998 1998
2
1997
2
1997
11...11.10 22...22.10 5
12
10 1 .10 10 1 .10 5
99
11
10 2.5.10 25 10 5
93
100...005
33...335
3










 


A
Vy
A
là s chính phương.
Ví d4. Cho
, xy
. Chng minh rng:
  
4
234 A x yx yx yx y y
là s chính
phương.
Li gii:
Ta có:


4
2 22 2 4
234
54 56

 
A x yx yx yx y y
x xy y x xy y y
Đặt
22
55 u x xy y
Khi đó
22
42442
Auyuy yuyyu
Vy
A
là s chính phương.
Ví d5. Chng minh rng tổng các bình phương của 5 s liên tiếp không th là s chính
phương.
Li gii:
Gi s:
2; 1; ; 1; 2 n n nn n
vi
2n
là 5 s t nhiên liên tiếp
Ta có:
22 2 2
22
2 1 1 25 2    n n nn n n
2
n
không th có ch s tn cùng là
3
hoc
8
nên
22
25 5 2
nn
không là s chính
phương.
Vy tổng các bình phương của
5
s t nhiên liên tiếp không phi s chính phương.

Chuyên đề Số chính phương

Chuyên đề Số chính phương Toán lớp 9 được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

Đây là tài liệu tổng hợp các câu hỏi về số chính phương trong đề thi học sinh giỏi trong và ngoài nước. Phần lý thuyết sẽ tóm tắt lại định nghĩa về số chính phương đã được học từ lớp 6, đồng thời bổ sung thêm các kiến thức nâng cao về số chính phương. Bài tập được chia làm các dạng nhỏ, đi kèm với đó là các ví dụ là đề thi học sinh giỏi hay và khó trong, ngoài nước. Qua đó sẽ giúp cho các bạn học sinh ôn tập và hiểu rõ hơn về chuyên đề Số chính phương này.

Ngoài Chuyên đề Số chính phương, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 như Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Sở GD&ĐT Hải Dương năm học 2019 - 2020, Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm học 2019 - 2020, Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán Sở GD&ĐT Hà Nội năm học 2019 - 2020... mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với chuyên đề này sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!

Đánh giá bài viết
1 47
Chuyên đề Toán 9 Xem thêm