Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Toán lớp 12 - Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân

Để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán lớp 12, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập.

 

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

  1. Cấp số cộng:

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai.

∀n∈N∗,Un+1=Un+d

+ Tính chất của cấp số cộng:

Un+1−Un=Un+2−Un+1

Un+1=Un+Un+2/2

+ Số hạng tổng quát: Un=U1+d(n−1)

+ Tổng n số hạng đầu:

Un=(a1+an)n/2

Un=2a1+d(n−1)/2.n

2. Cấp số nhân:

+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội.

"n Є N*, Un + 1 = Un.q

+ Tính chất:

Un+1/Un=Un+2/Un+1

Un+1=Un.\sqrt{U_n.U_{n+2}}, Un > 0

+ Số hạng tổng quát:

Un = U1.qn - 1

+ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn=U1+U2+...+Un=U1.1−qn/1−q

+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1

Sn=U1+U2+...+Un=U1/1−q

3. Bài tập tự luận cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập 1: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu có hãy xác định công sai.

a. {{u}_{n}}=-5n+4

b. {{u}_{n}}=\frac{2n+3}{5}

c. {{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-5\left( n+1 \right)+4+5n-4=-5 không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d=5

b. Ta xét: {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2\left( n+1 \right)+3}{5}-\frac{2n+3}{5}=\frac{2}{5} không phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai là d=\frac{2}{5}

c. Ta xét tương tự như các câu a, b

Bài tập 2: Các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có xác định công bội.

a. {{u}_{n}}=\frac{2}{n}

b. {{u}_{n}}={{4.3}^{n}}

Hướng dẫn giải

a. Ta xét: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\frac{2}{n+1}}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{n+1} phụ thuộc vào tham số n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân

b. Ta chứng minh tương tự câu a: \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{4.3}^{n+1}}}{{{4.3}^{n}}}=3 không phu thuộc vào tham số n. Vậy cấp số đã cho là cấp số nhân với công bội là: q=3

Bài tập 3: Cho cấp số cộng thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.

a. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}

Hướng dẫn giải

Gọi d la công sai của cấp số cộng, ta có:

\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-{{u}_{3}}+{{u}_{5}}=10 \\ {{u}_{4}}+{{u}_{6}}=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}-\left( {{u}_{1}}+2d \right)+{{u}_{1}}+4d=10 \\ {{u}_{1}}+3d+{{u}_{1}}+5d=26 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+2d=10 \\ {{u}_{1}}+6d=26 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ d=3 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát: {{u}_{n}}={u_{1}}+\left( n-1 \right)d=1+3\left( n-1 \right)=3n-2

b. Ta có: Các số hạng trong tổng S={{u}_{1}}+{u_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}} lập thành một cấp số cộng với 670 số hạng với công sai d'=3d

\Rightarrow S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d' \right)=673015

Bài tập 4: Cho cấp số nhân thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\dfrac{82}{11} \\ \end{matrix} \right.

a. Xác định công bội và công thức tổng quát của cấp số

b. Tính {{S}_{2011}}

Hướng dẫn giải

a. Từ giả thiết bài toán đã cho ta có:

\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}=11 \\ {{u}_{1}}+{{u}_{5}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}=\frac{39}{11} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{1}}{{q}^{4}}=\frac{82}{11} \\ \end{matrix} \right. \right.\Rightarrow \frac{{{q}^{4}}+1}{{{q}^{3}}+{{q}^{2}}+q}=\frac{82}{39}

\Leftrightarrow \left( q-3 \right)\left( 3q-1 \right)\left( 13{{q}^{2}}+16q+13 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} q=\dfrac{1}{3} \\ q=3 \\ \end{matrix} \right.

Với q=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{81}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{81}{11}\frac{1}{{{3}^{n-1}}}

Với q=3\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow {{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n-1}}}{11}

b. Ta có: {{S}_{2011}}={{u}_{1}}.\frac{{{q}^{2011}}-1}{q-1} thay lần lượt các giá trị q đã tìm ở câu a vào biểu thức

4. Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là -1,1,-1,1,-1,..., Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. {{u}_{n}}=1 B. {{u}_{n}}=-1
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}} D. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}

Câu 2: Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số giảm?

A. {{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+1}{n}
B. {{u}_{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}
C. {{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\left( {{2}^{n}}-1 \right)
D. {{u}_{n}}=\cos n
Câu 3: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+5 \\ \end{matrix} \right.\left( \forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right). Giá trị của {{u}_{20}} là:

A. {{3.2}^{20}}-5 B. {{2}^{22}}-5 C. {{3.2}^{19}}-5 D. {{2}^{20}}-5

Câu 4: Cho dãy số \left( {{\mathsf{U}}_{n}} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}biết {{u}_{n}}=\frac{1}{1+n} ba số hạng đầu của dãy số đó là:

A. \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4} B. \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{9} C. 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3} D. 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5}

Câu 5: Cho biết {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}. Khi đó công thức S\left( n \right) là?

A. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}{6}
B. S\left( n \right)=\frac{{{n}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{6}
C. S\left( n \right)=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)}{6}
D. S\left( n \right)=\frac{n\left( 2n+1 \right)\left( 3n+1 \right)}{6}
Câu 6: Tổng của S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)} bằng:

A. S=\frac{n}{2n+1} B. S=\frac{n+1}{2n}
C. S=\frac{n}{n+1} D. S=\frac{2n}{2n+1}

Câu 7: Cho dãy số \left( {{U}_{n}} \right):\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=1 \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{n}^{2}} \\ \end{matrix} \right.. Tính {{u}_{21}}

A.2871 B.3011 C.3312 D.3080

Câu 8: Cho dãy số \left(u_{n}\right) xác định bởi u_{1}=-\frac{41}{20} và u_{n+1}=21 u_{n}+1 với moi n \geq 1. Tìm số hạng thứ 2018 cúa dãy số đã cho.

A. u_{2018}=2.21^{2018}-\frac{1}{20} B. u_{2018}=2.21^{2017}-\frac{1}{20}
C. u_{2018}=-2.21^{2017}-\frac{1}{20} D. u_{2018}=-2.21^{2018}-\frac{1}{20}

Câu 9: Cho dãy \left(u_{n}\right): u_{1}=\mathrm{e}^{3}, u_{n+1}=u_{n}^{2}, k \in \mathbb{N}^{*} thỏa mãn u_{1} . u_{2} \ldots u_{k}=\mathrm{e}^{765} . Giá trị của k là

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Câu 10: Cho dãy số \left(u_{n}\right) thỏa mãn u_{1}=\sqrt{2}u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} với moi n \geq 1. Tìm u_{2018}

A. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2017}}
B.u_{2018}=2 \cos \frac{\pi}{2^{2019}} . \quad
C. u_{2018}=\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2^{2018}}
D.u_{2018}=2

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
3 7.408
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 12 Xem thêm