Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Công thức Nhị thức Newton Toán 11. Bộ tài liệu tổng hợp các công thức khai triển Nhị thức Newton, tam giác Pascal và các bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết giúp bạn đọc củng cố và nâng cao kiến thức Giải Tích 11 ... Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Công thức Nhị thức Newton cơ bản và nâng cao

1. Tổ hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu: C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử \left( 0\le k\le n \right). Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}

- Tính chất chập k của n phần tử: C_{n}^{k}

  • Tính chất 1: C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)
  • Tính chất 2: Công thức pascal C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}

2. Công thức Nhị thức Newton

a. Định lí: Với \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} với cặp số \left( a,b \right)ta có:

{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}

b. Hệ quả

Hệ quả: {{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}

- Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:

{{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}

C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0

c. Nhận xét

Trong khai triển Newton {{\left( a+b \right)}^{n}} có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử.

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .

- Các hệ số có tính đối xứng C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right).

- Số hạng tổng quát: {{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}

Chú ý:

  • Số hạng thứ nhất {{T}_{1}}={{T}_{0+1}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}
  •  Số hạng thứ k: {{T}_{k}}={{T}_{k-1+1}}=C_{n}^{k-1}{{a}^{n-k+1}}{{b}^{k-1}}

3. Các công thức liên quan đến khai triển nhị thức Newton

  • {{\left( x+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}+...C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}
  • {{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}
  • {{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}-...+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}
  • C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}
  • C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},\left( n\ge 1 \right)
  • k.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{k!\left( n-k \right)!}==\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n-k \right)!.\left( k-1 \right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}
  • \frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{\left( k+1 \right).k!\left( n-k \right)!}=\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n-k \right)!\left( k+1 \right)!}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}

4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập

  • C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}
  • C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}
  • k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}
  • \frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}
  • {{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}
  • {{2}^{n-1}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+{{C}_{n}}^{4}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n}{2} \right]}
  • {{2}^{n-1}}=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{{}}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n-1}{2} \right]+1}

5. Công thức Newton mở rộng

  • C_{n}^{k}+2C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}=C_{n+2}^{k+2}
  • C_{n}^{k}+3C_{n}^{k+1}+3C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}

6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton

a. Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có: \sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}

b. Biểu thức có \sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}} thì dùng đạo hàm

c. Biểu thức có \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}} thì ta nhân hai vế với {{x}^{k}} rồi lấy đạo hàm

d. Biểu thức có \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}} thì ta chọn giá trị x=a thích hợp

e. Biểu thức có \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}} ta lấy tích phân xác định trên \left[ a,b \right] thích hợp

7. Tam giác Pascal

n=0                      1

n=1                  1       1

n=2             1        2        1

n=3       1          3       3         1

n=4 1          4        6        4        1

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( a+2b \right)}^{5}}
b. {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}
c. {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của {{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}

{{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}

b. Khai triển Newton của {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}

{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}

c. Khai triển Newton của {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}

Ví dụ 2: Tìm hệ số của {{x}^{7}} trong khai triển biểu thức {{\left( 1-2x \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

Ta có: f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}

Số hạng chứa {{x}^{7}} trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa {{x}^{7}}: C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}biết rằng: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0

Hướng dẫn giải

Ta có: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78

\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.

Do đó biểu thức khai triển là {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}

=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}

Số hạng không chứa x ứng với k: 36-4k=0\Leftrightarrow k=9

Số hạng không chưa x là: C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640

Ví dụ 4: Xét khai triển: {{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.

b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.

c. Xác định hệ số của \[{{x}^{4}}\]trong khai triển.

Hướng dẫn giải

{{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 20-2k=0\Leftrightarrow k=10

Số hạng không chứa x trong khai triển là: C_{20}^{10}{{.2}^{10}}

Số hạng chứa {{x}^{4}} trong khai triển ứng với k là: 20-2k=4\Leftrightarrow k=8

Vậy số hạng chứa {{x}^{4}} trong khai triển có hệ số là: C_{20}^{8}{{.2}^{12}}

Ví dụ 5: Tính tổng: S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}

Hướng dẫn giải

Ta có: S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)

\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}

\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( 1+2x \right)}^{20}}

b.{{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}

c. {{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}

d. {{\left( n+2m \right)}^{7}}

Bài 2: Xét khai triển {{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}

a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa {{x}^{6}} trong khai triển.

c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.

Bài 3: Tính tổng: S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}

Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển {{\left( 1+x \right)}^{3n}} là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển {{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.

Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển {{\left( 1+x \right)}^{n}} có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.

--------------------------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức Nhị thức Newton đầy đủ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu :

Đánh giá bài viết
1 8
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 11 Xem thêm