Công thức tính độ dài đường trung tuyến

32 37.343

Trong bài viết này VnDoc đã tổng hợp lại kiến thức về đường trung tuyến trong tam giác và công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, mời các em học sinh cùng tham khảo.

Trong chương trình Toán 7 môn Hình học học kì 2 có chuyên đề Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức về nội dung này, VnDoc giới thiệu tới các em khái quát lý thuyết và một số bài tập vận dụng có đáp án, cũng như bài tập cho các em tự luyện để ôn tập và củng cố kiến thức được học trên lớp cũng như trong SGK Toán 7 tập 2.

 

Định nghĩa đường trung tuyến

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Định nghĩa đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Đường trung tuyến của tam giác
Đường trung tuyến trong tam giác

Theo như hình vẽ trên thì các đoạn thẳng AI, CN, BM sẽ là 3 trung tuyến của tam giác ABC.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.

Ví dụ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

\(\frac{AG}{AI}\) = \(\frac{BG}{BM}\) = \(\frac{CG}{CN}\) = \(\frac{2}{3}\)

Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Ví dụ:
đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác ABC vuông ở A, độ dài đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC và bằng 1/2 BC

Ngược lại nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC sẽ vuông ở A.

Công thức tính đường trung tuyến:
công thức tính đường trung tuyến trong tam giác

Bài tập ôn tập về đường trung tuyến

Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Bài giải:

Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)

Suy ra AO=\frac{1}{3}BO hay BA=\frac{2}{3}BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)

mà LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)

suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất của ba đường trung tuyến)

Bài 2: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

a. EF = BC

b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Bài giải

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

a.) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

⇒GC=2GN

mà FG=2GN⇒GC=GF

Tương tự BG, GE và \hat{G1}=\hat{G2} (đd). Do đó ΔBGC=ΔEGF(c.g.c))

Suy ra BC=EF

b.) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC nên AG đi qua trung điểm của BC.

Các bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Bài 2: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Bài 3: Cho tam giác ABC.Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = ½BC.

Bài 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G và K sao cho BG = BM và G là trung điểm của BK. Gọi N là trung điểm của KC , GN cắt CM ở O. Chứng minh:

a) O là trọng tâm của tam giác GKC ;

b) GO = 1/3.BC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Bài 6: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Biết AM = ½BC. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A.

Trên đây, VnDoc đã giới thiệu tới thầy cô và các em học sinh tài liệu Công thức tính độ dài đường trung tuyến. Ngoài ra, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu môn Toán 7 khác như: Giải bài tập Toán lớp 7, Giải Vở BT Toán 7, Đề thi học kì 1 lớp 7, Đề thi giữa kì 1 lớp 7, Đề thi học kì 2 lớp 7... cũng được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.

Tham khảo thêm:

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải bài tập SBT Toán 7 bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Đánh giá bài viết
32 37.343
Hỏi đáp môn Toán Xem thêm