Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Toán lớp 11: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, nội dung tài liệu được cập nhật nhanh và chính xác nhất sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt hơn môn Toán.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

(un) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

S = \dfrac{u_1}{1−q} với |q|<1

Chú ý: Nếu công bội là:

  • Số dương: Các số hạng luôn có dấu cố định.
  • Số âm: các số hạng là đan dấu giữa âm và dương..
  • 0, mọi số hạng bằng 0.
  • Lớn hơn 1, các số hạng tăng theo hàm mũ tới vô cực dương hoặc âm.
    1, là một dãy không đổi.
  • Giữa 1 và −1 nhưng khác không, chúng giảm theo hàm mũ về 0.
    −1, là một dãy đan dấu.
  • Nhỏ hơn −1, chúng tăng theo hàm mũ về vô cực (dương và âm).

Ví dụ 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) với u_n=\left ( \dfrac1{3} \right ) ^n

Lời giải: Ta có u_1 = \dfrac1{3}, u_2 = \dfrac1{9}.

Suy ra q=\frac{1}{3}

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta có:

S = \dfrac{u_1}{1−q}

S = \dfrac{1/3}{1−1/3} = \dfrac1{2}

Ví dụ 3: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 

-1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},..,{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^{n}},...

Lời giải

Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với {{u}_{1}}=1,q=\frac{-1}{2}

S=-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{n}}+... \Rightarrow S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{2}{3}

Ví dụ 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \frac{5}{3} tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là \frac{39}{25}. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó

Lời giải:

Ta có: \left\{ \begin{matrix} S=\dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\dfrac{39}{25} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}=\dfrac{5}{3} \\ {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\dfrac{36}{25}\text{ }\left( * \right) \\ \end{matrix} \right.

\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{u}_{1}}}{1-q}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow \dfrac{5}{3}\left( 1+{{q}^{3}} \right)=\dfrac{39}{25}\Leftrightarrow q=\dfrac{2}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=1

Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích {{S}_{1}}. Nối 4 trung điểm {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}} ta được hình vuông thứ 2 có diện tích {{S}_{2}}. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông {{A}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}} có diện tích {{S}_{3}}…. Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông lần lượt có diện tích là {{S}_{4}},{{S}_{5}},{{S}_{6}},.....,{{S}_{100}}. Tính tổng \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}

Lời giải:

{{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{n-1}},{{S}_{1}}={{a}^{2}}\Rightarrow \left( {{S}_{n}} \right) là cấp số nhân có công bội bằng \frac{1}{2}

Do \sum\limits_{k=1}^{100}{{{S}_{k}}}=S{_1}\dfrac{{{q}^{100}}-1}{q-1}={{a}^{2}}\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-100}{\dfrac{1}{2}-1}

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Toán lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
5 14.739
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 11 Xem thêm