Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán

1 439
a
p
(b + 2) (c + 2)
+
b
p
(c + 2) (a + 2)
+
c
p
(a + 2) (b + 2)
1.
b) Cho n số nguyên dương, xét đa thức
P (x) = a
n
x
n
+ a
n1
x
n1
+ .... + a
1
x + a
0
các hệ số số thực. Biết rằng P (0) , P (1) , . . . , P (n) đều các số nguyên. Chứng minh
rằng với mọi số nguyên m thì P (m) nhận giá trị số nguyên.
Bài 2. Xét phương trình
1
1 (x + 1)
+
1
2 (x + 2)
+ ..... +
1
n (x + n)
= 1
với n số nguyên dương.
a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên luôn nghiệm trên
khoảng (1; +) và nghiệm đó duy nhất, hiệu x
n
.
b) Chứng minh y số (x
n
) giới hạn khi n + và tính giới hạn đó.
Bài 3. Cho ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), I tâm đường tròn nội
tiếp tam giác. Gọi H và D lần lượt hình chiếu vuông c của A và I trên cạnh BC.
Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm E khác A, đường thẳng DE cắt (O) tại F khác E. Hai
đường thẳng BC, AF cắt nhau K.
a) Chứng minh F IEA và bốn điểm A, I, K, H cùng thuộc một nửa đường tròn.
b) Đường thẳng EH cắt (O) tại L khác E, đường thẳng F L cắt BC J. Chứng minh
tiếp tuyến của (O) tại điểm F đi qua trung điểm của đoạn JK.
Bài 4. a) hiệu N
tập hợp các số nguyên dương. bao nhiêu hàm số f : N
N
thỏa mãn
f (1) = 1, f (n + 2) f (n) = f
2
(n + 1) + 1, n N
.
b) Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn
f
f (x) + x
2
+ y
= f (x) + x
2
+ f (y) , x, y R.
Bài 5. a) Tính số hoán vị f (1) ; f (2) ; ......; f (2018) của các số 1; 2; ....2018 sao cho biểu
thức
T = 1f (1) + 2f (2) + .... + 2018f (2018)
nhận giá trị số nguyên lẻ.
1
1.
Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4. Chứng minh
b) Trong cuộc thi vấn đáp gồm m thí sinh và n giám khảo, trong đó m > 1, n > 3 và
n không phải bội của 3. Mỗi giám khảo sẽ đánh giấ từng thí sinh theo ba loại A, B, C.
Biết rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho hai giám khảo bất kỳ đánh giá giống nhau
ứng với k thí sinh. Chứng minh k
m (n 2)
3n
.
x
0
= 2017, x
n
=
2017
n
n1
X
k=0
x
k
, n N
.
Tìm giới hạn
L = lim
n→∞
n
2
2017
X
k=0
2
k
x
k
+ 5
2018n
2
+ 4n 3
.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn điều kiện
xf(x + xy) = xf(x) + f(x
2
)f(y) x, y R.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. Gọi M, N, P
trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn đường kính AH và đường tròn (O) cắt nhau tại
T 6= A. AT cắt BC tại Q. NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại R. a) Chứng
minh rằng QR vuông góc OH. b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong
c
\
BHC cắt đoạn thẳng BC tại I. Gọi K hình chiếu của A trên H. Chứng minh rằng
đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O).
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của n để biểu thức
A =
(3n)!
n!(n + 1)!(n + 2)!
giá trị nguyên.
Bài 5. a) Cho S tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M tập gồm 2018 số tự nhiên
phân biệt sao cho mỗi số trong M đều không số chính phương và chỉ ước nguyên
tố thuộc S. Chứng minh rằng thể chọn ra trong M một số s tích một số chính
phương.
b) 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh thể tham gia nhiều câu lạc
b và mỗi câu lạc b đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không 2 câu lạc b nào
3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng 2 câu lạc b chung nhau đúng 1 học sinh.
2.
Bài 1. Cho dãy số (x
n
) xác định bởi

Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán, nội dung tài liệu gồm 15 đề sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời các bạn học sinh thử sức. 

----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh họcVnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 439
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm