Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

1 104
(Đề thi
g
m 1 tran
g
)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 10
Thi gian: 180 phút (Không k thi gian giao đề)
Ngày thi: 20/4/2019
Câu 1. ( 4 điểm )
Giải hệ phương trình


2
2
2
3
11
2
,
2512242
yyyx
xy
xx x xy


.
Câu 2. ( 4 điểm )
Cho tam giác
A
BC
có
A
BAC
, các điểm
,,DEF
lần lượt nằm trên các cạnh
,,
B
CCAAB
sao cho
|| , ||DE AB DF AC
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
BC
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
EF ti
các điểm
,
A
G
. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ti điểm
HE
. Đường
thẳng qua
G
vuông góc với
GH
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
BC
ti đim
K
KG
, đường
thẳng qua
G
vuông góc với
GC
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
EF tại điểm
L
LG
. Gọi
,PQ
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
,GDK GDL
. Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên
cạnh
BC
thì:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
GEF luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
GPQ
luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3. ( 4 điểm )
Tìm tất cả các số nguyên dương
,mn
và số nguyên tố
p
thỏa mãn
32
4402115.
n
mm m p
Câu 4. ( 4 điểm )
Cho 3 số thực dương
,,abc
. Chứng minh rằng:
(2 )(2 )(2 )
0
111
aa bc bb ca cc ab
ab bc ca



Câu 5. ( 4 điểm )
Cho bảng ô vuông kích thước
100 100
mỗi ô được điền một trong các tự
,,,
A
BCD
sao cho trên
mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng tự từng loại đúng bằng
25.Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng
(không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác tự “cặp tốt”, còn hình chữ nhật các cạnh song
song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký
tự
,,,
A
BCD
“bảng tốt”.
a) Hỏi trong các cách điền ở trên, bao nhiêu cách điền mỗi bảng ô vuông
14,41
22
đều có
chứa đủ các ký tự
,,, ?
A
BCD
b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:
i) Luôn có
2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được
76
cặp tốt.
ii) Luôn có một bảng tốt.
-------------- HẾT --------------
(Thí sinh không được s dng tài liu và máy tính cm tay. Cán b coi thi không gii thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................
ĐỀ CHÍNH TH
C
KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM 2019
MÔN: TOÁN 10
ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM
Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu 1
Giải hệ phương trình
 

2
2
2
3
11 1
2
25122422
yyyx
xx x xy


.
Nguồn: Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa
Điều kiện: 2420
x
y.
Từ phương trình (1), ta có:
222
242 12. 1
x
yy yy y
2
2
242 1
x
yyy
.
0,5
Thay vào phương trình (2) và chú ý rằng
2
10yy
.
Lúc này ta được
22
2512 1
x
xx y y

2
2
11421
x
xyy

2
2
11
11
22
xx
yy





(3)
1,0
Đặt
1
2
x
u
. Từ (3) cho ta
22
11uu y y
22
110uy u y
22
0
11
uyuy
uy
uy




22
10
11
uy
uy
uy






(4)
1,0
Do
22
22 22
11
10
11 11
uuy y
uy
uy uy
 

 
Nên từ (4) cho ta
uy
, hay
1
21
2
x
yx y

.
0,5
Thay vào phương trình (1) ta được

2
2
5
112
2
yyy y

2
2
14yy
2
12yy (do
2
10yy ). Tìm được
35
,
42
yx
.
Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm
;
x
y
53
;
24



1,0
Câu2
Cho tam giác
A
BC
có
A
BAC
, các điểm
,,DEF
lần lượt nằm trên các cạnh
,,
B
CCAAB
sao cho
|| , ||DE AB DF AC
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
BC
cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác
A
EF
tại các điểm
,
A
G
. Đường thẳng
DE
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
A
EF
tại điểm
HE
. Đường thẳng qua
G
vuông góc với
GH
cắt đường tròn ngoại tiếp tam
giác
A
BC
tại điểm
K
KG
, đường thẳng qua
G
vuông góc với
GC
cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác
A
EF
ti đim
L
LG . Gọi
,PQ
lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
,GDK GDL
. Chứng minh rằng khi điểm
D
thay đổi trên cạnh BC thì:
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
GEF luôn đi qua hai điểm cố định.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
GPQ
luôn đi qua một điểm cố định.
N
g
uồn: Chu
y
ên V
ĩ
nh Phúc
4,0
E'
M
Q
O'
P
L
K H
G
E
F
A
O
B
CD
a) Gọi O, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF .Gọi '
E
là điểm đối xứng với
E
qua đường thẳng
A
O
. Khi đó
'||
E
EBC
vì cùng vuông góc với AO suy ra tứ giác BDEE’
là hình bình hành suy ra
'DE BE , kết hợp với DE AF ta được
B
FAE
( Có thể không cần dựng điểm E
, dễ thấy tam giác BFD câc tại F và có tứ giác AEDF là hình
bình hành, nên ta có BF=DF=AE)
0,5
'.Suy ra OAE OBF OE OF
Kết hợp với OA là phân giác của góc

.
E
AF O AEF
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác
GEF
luôn đi qua hai điểm cố định
1,0

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán 10, Giải bài tập Vật Lí 10, Giải bài tập Sinh học 10, Giải bài tập Hóa học 10, Tài liệu học tập lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 104
Toán lớp 10 Xem thêm