Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

4 257
(Đề thi gm 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XII, NĂM 2019
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 11
Thi gian: 180 phút (Không k thi gian giao đề)
Ngày thi: 20/4/2019
u 1 (4 điểm). Cho dãy số

1
)(
nn
u
bị chặn trên và thoả mãn điều kiện
21
23
..,
55
nnn
uuu


1, 2, 3, ...n
Chứng minh rẳng dãy

n
u
có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (4 điểm). Cho
A
BC đường tròn nội tiếp
I
tiếp c với
,,
B
CCAAB
,,.DEF
Đường thẳng qua
A
song song BC cắt
,DE DF
lần lượt tại
,.
M
N
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMN
cắt đường tròn
I
tại điểm L khác
.
D
a) Chứng minh
,,
A
KL
thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMN
ti
,
M
N
ct
E
F ti
,.UV
Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
UVL
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.DMN
Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức
sao cho vi mi s nguyên dương, phương
trình
có nghiệm nguyên.
Câu 4 (4 điểm). Cho
là số nguyên tố có dạng
12 11k
. Một tập con
S
của tập
{1; 2 ; 3; ; 2 ; 1}Mpp
được gọi là “tốt” nếu nch của tất cả các phần tử của
S
không nhỏ hơn tích của tất cả các phần
tử của
\.
M
S
Ký hiệu
S
hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia
S
cho
xét trên mọi tập con tốt của
M
có chứa đúng
1
2
p
phần tử.
Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác li n đnh
01 1
... 2 .
n
AA A n
Mỗi cạnh đường chéo của đa giác
được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng
màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------- HẾT --------------
(Thí sinh không được s dng tài liu và máy tính cm tay Cán b coi thi không gii thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................
ĐỀ CHÍNH TH
C
ĐÁP ÁN
Câu Nội dung trình bày Điểm
1
Đề xuất của trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam
Cho dãy s

1
)(
nn
u
bị chặn trên và thoả mãn điều kiện
21
23
..,
55
nnn
uuu


1, 2, 3, ...n
Chứng minh rẳng dãy

n
u
có giới hạn hữu hạn.
4,0
Ta có
nnn
uuu
5
3
5
2
12
211
33
,
55
nnnn
uuuu


1, 2, 3, ...n
(1)
Đặt
n
v
1
3
,
5
nn
uu

1, 2, 3, ...n
thì từ (1) ta có
nn
vv
1
,
1, 2, 3, ...n
(2)
1,0
Vì dãy số

1
)(
nn
u
bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho ,
n
uM
1, 2, 3, ...n
suy ra
38
,
55
n
vM M M
1, 2, 3, ...n
(3)
Từ (2) và (3) ta thấy dãy
)(
n
v không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ.
0,5
Đặt av
n
lim
8
5a
b
. Ta sẽ chứng minh .lim bu
n
Thật vậy, vì
av
n
lim nên
0
nhỏ tùy ý,
*
0
Nn
sao cho
,
5
n
va

0
.nn
Khi đó, nhờ có đánh giá
11 1
3338
()() ,
55555
nnn nnn
b
ububub ubu u


ta thu được
1
3
,
55
nn
ub ub

0
nn
1,0
Từ sự kiện này ta suy ra
00
1
3
;
55
nn
ubub

00 0
2
21
333
.;
55555
nn u
ubub ub





..........
00
12
3333
.... 1 .
55555
kkk
nk u
ub ub


  


  
  


hay
1,0
00 0
3
1
33
5
.
3
55 52
1
5
k
kk
nk u n
u b ub ub


 


 
 
Do đó
bu
kn
0
với k đủ lớn tức là
bu
n
với n đủ lớn và 0
nhỏ tuỳ ý. Vậy
bu
n
lim
Hay dãy

n
u có giới hạn hữu hạn (đpcm).
0,5
2
Đề xuất của trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai
Cho
A
BC có đường tròn nội tiếp
I
tiếp xúc với
,,
B
CCAAB
,,DEF
. Đường thẳng
qua
A
song song
BC
ct
,DE DF
lần lượt tại
,
M
N
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMN
cắt đường tròn
I
tại điểm L khác D .
a) Chứng minh
,,
A
KL
thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác
DMN
tại
,
M
N
cắt
E
F tại
,UV
.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
tam giác
DMN
.
4,0

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn tham khảo.

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
4 257
Toán lớp 10 Xem thêm