VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bến Tre

Đề thi HSG Toán 12 có đáp án

1 963

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 27/02/2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN – Hệ : THPT

Thời gian: 180 phút

Họ và tên: .......................................................................................... SBD: ................................................. .

Câu 1 (8 điểm).

a) Giải phương trình:

2.sin 2 6.sin 1

44

xx



   

   

   

   

.

b) Giải hệ phương trình:

 





2

2 . 2 0

1. 1 3 1 3

y x x y

x y y x y x



   





      





với

,xy

.

c) Cho hàm số

1

21

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Viết phương trình tiếp tuyến

 

d

của đồ thị

 

C

biết

 

d

cắt trục

Ox

,

Oy

lần lượt tại

A

,

B

sao cho

10.AB OA

(với

O

là gốc tọa độ).

Câu 2 (4 điểm).

a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là

1

3

và bạn Bình có đồng xu

mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là

2

5

. Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung

đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung

là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là

p

q

trong đó

p

và

q

là các số

nguyên tố cùng nhau, tìm

qp

.

b) Tìm hệ số của số hạng chứa

2

x

trong khai triển nhi thức

4

1

2

n

x









biết rằng

n

là số nguyên

dương thỏa:

 

1 2 3 1

2 3 ... 1 64

nn

n n n n n

C C C n C nC n



      

.

Câu 3 (4 điểm).

a) Trong không gian cho 4 điểm

, , ,A B C D

thỏa mãn

3, 7, D 11, 9AB BC C DA   

.

Tính

.AC BD

.

b) Cho các số thực không âm

,,abc

thỏa mãn

2 2 2

30a b c b   

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

     

2 2 2

1 4 8

1 2 3

P

a b c

  

  

.

Câu 4 (4 điểm).

Cho hình chóp

.S ABC

, có

SA

vuông góc với mặt phẳng

 

ABC

,

2SA a

và tam giác

ABC

vuông tại

C

với

2AB a

30BAC 

. Gọi

M

là điểm di động trên cạnh

AC

, đặt

,AM x

 

03xa

. Tính khoảng cách từ

S

đến

BM

theo

a

và

x

. Tìm các giá trị của

x

để khoảng

cách này lớn nhất.

----- HẾT -----

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1 (8 điểm).

a) Giải phương trình:

2.sin 2 6.sin 1

44

xx



   

   

   

   

.

b) Giải hệ phương trình:

 





2

2 . 2 0

1. 1 3 1 3

y x x y

x y y x y x



   





      





với

,xy

.

c) Cho hàm số

1

21

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Viết phương trình tiếp tuyến

 

d

của đồ thị

 

C

biết

 

d

cắt trục

Ox

,

Oy

lần lượt tại

A

,

B

sao cho

10.AB OA

(với

O

là gốc tọa độ).

Lời giải

a) Ta có:

 

2.sin 2 6.sin 1 sin2 cos2 3. sin cos 1 0

44

x x x x x x



   

         

   

   

 

   

 

2

22

sin cos sin cos 3 sin cos 0 sin cos 2sin 3 0x x x x x x x x x          

4

sin 0

sin cos 0

4

2

3

2sin 3 0

3

sin

2

3

xk

x

xx

xk

x

xk





























    























.

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là:

2

, 2 , 2

4 3 3

x k x k x k

  

     

, với

k 

.

b) Giải hệ phương trình:

   

 





 

2

2 . 2 0 1

1. 1 3 1 3 2

y x x y

x y y x y x



   





      





.

* Điều kiện:

2

1

0

30

x

y

x y x













  



.

- Đặt

2

21

2

0

ax

xa

yb

by



  

















.

Khi đó

 

1

trở thành:

   

22

2 2 0 2 0b a b a ab b a b a        

    

2 0 do 2 0b a ab a b ab       

22x y y x     

.

- Thay vào phương trình

 

2

ta được phương trình:

 





2

1. 2 1 1 . 1 2 2x x x x x       

 

   

 

2

1. 1 1 1 1 . 1 1 1x x x x         

 

3

.

- Nếu

1x 

thì

 

3

vô nghiệm.

- Với

1x 

, xét hàm số:

 





2

. 1 1f t t t  

trên





0;

.

Có:

 





2

1 1 0, 0;

1

t

f t t t

t



       



, do đó hàm số

 

ft

đồng biến trên





0;

 

2

0

3 1 1 1 1 3 0 3

3

x

f x f x x x x x x

x





              







(do

1x 

)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

   

; 3;5xy

.

c) TXĐ:

1

\

2







.

Ta có:

 

2

3

21

y

x









.

- Giả sử tiếp tuyến

 

d

của

 

C

cắt

Ox

,

Oy

lần lượt tại

A

và

B

thỏa mãn

10.AB OA

.

Khi đó tam giác

OAB

vuông tại

O

và có

10.AB OA

3.OB OA

tan 3

OB

OAB

OA

  

3k  

, với

k

là hệ số góc của tiếp tuyến

 

d

 

2

2 1 1 1

3

3 3 2 1 1

2 1 1 0

21

xx

yx

xx

x

  







          



   





 

1;2

0; 1

M













là các tiếp điểm.

Vậy có

2

tiếp tuyến

 

d

thỏa mãn yêu cầu bài toán là :

35yx  

và

31yx  

.

Câu 2 (4 điểm).

a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là

1

3

và bạn Bình có đồng xu

mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là

2

5

. Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung

đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung

là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là

p

q

trong đó

p

và

q

là các số

nguyên tố cùng nhau, tìm

qp

.

b) Tìm hệ số của số hạng chứa

2

x

trong khai triển nhi thức

4

1

2

n

x









biết rằng

n

là số nguyên

dương thỏa:

 

1 2 3 1

2 3 ... 1 64

nn

n n n n n

C C C n C nC n



      

.

Lời giải

a) Giả sử ở lần gieo thứ

n

bạn An thắng cuộc, khi đó ở

1n

lần gieo trước bạn An đều chỉ gieo ra

mặt sấp và bạn Bình chỉ gieo được

1n

lần đều có kết quả là mặt sấp.

Xác suất để có được điều đó ở lần gieo thứ

n

là

1 1 1

2 1 3 1 2

.

3 3 5 3 5

n n n  

     



     

     

.

Do đó, điều kiện thuận lợi để bạn An thắng là

2

1 2 2 2 1 1 5

1 ... ...

2

3 5 5 5 3 9

1

5

n

p

q



     

       



     

     







.

Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bến Tre. Nội dung tài liệu gồm 4 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn học sinh tham khảo.

----------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bến Tre. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh học mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.