Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 40 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 40 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {2^x} + {e^x} là:

    Gợi ý:

    Công thức áp dụng bài toán

    \int {\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]dx = } \int {f\left( x ight)dx + \int {g\left( x ight)dx} }

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int {\left( {{2^x} + {e^x}} ight)dx} = \int {{2^x}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C

  • Câu 2: Nhận biết
    Tìm kết luận đúng

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình (P)x + 2y + 2z - 1 = 0(Q):x + 2y - z - 3 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5. Mặt phẳng (\alpha) vuông với mặt phẳng (P),(Q) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5 có tâm I(1; - 2;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Gọi \overrightarrow{n_{\alpha}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (\alpha)

    Ta có : {\overrightarrow{n}}_{\alpha} = \overrightarrow{n_{P}} \land {\overrightarrow{n}}_{Q} \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = ( - 6;3;0) = - 3(2; - 1;0) = - 3\overrightarrow{n_{1}}

    Lúc đó mặt phẳng (\alpha) có dạng :2x - y + m = 0.

    Do mặt phẳng (\alpha) tiếp xúc với mặt cầu (S)

    \Rightarrow d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 9 \\ \end{matrix} \right.

    Vậy phương trình mặt phẳng (\alpha):2x - y + 1 = 0 hoặc 2x - y - 9 = 0.

  • Câu 4: Nhận biết
    Tính tích phân I

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 5: Thông hiểu
    Xác định tọa độ điểm M

    Trong không gian Oxyz, điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai điểm A(4;2; - 1)và B(2;1;0) là

    Hướng dẫn:

    M \in Ox \Rightarrow M(x;0;0).

    Ta có: \overrightarrow{MA} = (4 - x;2; - 1),\ \ \overrightarrow{MB} = (2 - x;1;0)

    M cách đều hai điểm A,\ \ B khi MA = MB

    \Leftrightarrow \sqrt{(4 - x)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{(2 - x)^{2} + 1^{2} + 0^{2}}

    \Leftrightarrow x = 4

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm tích phân

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1

  • Câu 7: Thông hiểu
    PT mp chứa giao tuyến

    Cho hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) . Với  (\alpha) cho biết A\left( { - 1,2,1} ight) \in \left( \alpha ight) và cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {2, - 1,3} ight);\overrightarrow b = \left( { - 3,1, - 2} ight). Với (\beta) cho PTTQ \left( \beta ight):2x + y - z + 1 = 0. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha) và (\beta) , qua điểm M\left( {3, - 2,1} ight) là:

    Hướng dẫn:

    Trước tiên, ta cần đưa phương trình (\alpha) về dạng tổng quát.

    Theo đề bài, ta có A\left( { - 1,2,1} ight) \in \left( \alpha ight) và cặp vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {2, - 1,3} ight);\overrightarrow b = \left( { - 3,1, - 2} ight) nên vecto pháp tuyến của mp (\alpha) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.

    Ta có \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( { - 1, - 5, - 1} ight).

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,5,1} ight) làm vectơ pháp tuyến cho (\alpha) thì phương trình tổng quát của (\alpha) có dạng x + 5y + z + D = 0

    A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 1 + 5.2 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 10.

    Vậy phương trình (\alpha): x + 5y + z - 10 = 0

    Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha) và (\beta) ta xét chùm mặt phẳng :

    \begin{array}{l}m\left( {x + 5y + z - 10} ight) + \left( {2x + y - z + 1} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {5m + 1} ight)y + \left( {m - 1} ight)z - 10m + 1 = 0\left( * ight)\end{array}

    Mặt khác, ta có  M \in \left( P ight)

    \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).3 + \left( {5m + 1} ight).\left( { - 2} ight) + m - 1 - 10m + 1 = 0

    \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}

    Thế vào (*) ta được:

    \begin{array}{l}\left( * ight):\left( {\frac{1}{4} + 2} ight)x + \left( {\frac{5}{4} + 1} ight)y + \left( {\frac{1}{4} - 1} ight)z - \frac{{10}}{4} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9x + 9y - 3z - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 3y - z - 2 = 0\end{array}

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính tích phân

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} có giá trị là:

    Hướng dẫn:

    Tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} có giá trị là:

    Cách 1:I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = \left. \ \left( - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1.

    Cách 2: Dùng máy tính cầm tay.

    Đáp án đúng là I = 1

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 10: Nhận biết
    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = - 3x^{2} +2x - 1 bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}\ dx = - x^{3} +x^{2} - x + C

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \dfrac{x}{(1+ x)^{5}} là

    Hướng dẫn:

    Đặt u = x + 1 thì u' = 1.

    Khi đó

    \int_{}^{}{\frac{x}{(1 + x)^{5}}dx = \int_{}^{}{\frac{u - 1}{u^{5}}du}}

    = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u^{5}} ight)du = \int_{}^{}{u^{- 4}du - \int_{}^{}{u^{- 5}du}}}

    = - \frac{1}{3}.\frac{1}{u^{3}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{u^{4}} + C.

    Thay u = x + 1 ta được \int_{}^{}{\frac{x}{(x + 1)^{5}}dx = \frac{1}{4(x + 1)^{4}} - \frac{1}{3(x + 1)^{3}} + C}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn công thức tính diện tích hình phẳng

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị hàm số ta thấy \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Do đó:

    S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{\left| f(x) ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O(0; 0; 0), B thuộc Ox và có tọa độ B(a; 0; 0), D thuộc Oy và có thọa độ D(0; a; 0).

    Khi đó ta được E\left( a;0;\frac{a}{2} \right),C(a;a;0),F(0;a;a).

    (AEF) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}'} = \left\lbrack \overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF} \right\rbrack = \left( \frac{- a^{2}}{2}; - a^{2};a^{2} \right)

    => \overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 2) cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF)

    (CEF) có một vtơ pháp tuyến là:

    \overrightarrow{n_{2}'} = \left\lbrack \overrightarrow{CE};\overrightarrow{CF} \right\rbrack = \left( - a^{2};\frac{- a^{2}}{2}; - a^{2} \right)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (2;1;2)cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF).

    \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0 \Rightarrow \varphi = 90^{0}.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Xác định mệnh đề sai

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}

    = \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}

    = \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C

    Áp dụng vào bài ta chọn I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C.

  • Câu 16: Vận dụng
    Thể tích của khối nón

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính khoảng cách

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Hướng dẫn:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục nhận giá trị dương trên (0; +\infty) và thỏa mãn f(1) =1; f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0. Giá trị f(3) gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Vì \left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}

    \Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C

    Mà f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}

    \Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17

  • Câu 19: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C. Khi đó \int_{}^{}{f(3x)dx} là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + 2020 + C

    Khi đó \int_{}^{}{f(3x)dx} = \frac{27x^{4}}{4} - 3x^{3} + \frac{2020}{3} + C

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính thời gian đi đến trường

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Hướng dẫn:

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C

    Vì S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 21: Thông hiểu
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Hình vẽ minh họa

    Vì MN//A'C' nên \left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight) = \left( \overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) = 180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}

    Ta có: MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B = a\sqrt{2}

    \Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = |\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)

    = \frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}

    Vậy n = - 0,5.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) Tọa độ điểm A là (−2; 4; 2). Đúng||Sai

    b) Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là A’(0; 4; 0). Sai||Đúng

    c) Trung điểm của OA là M(−1; 2; 1). Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz) là H(−2; 0; 2). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

    a) Tọa độ điểm A là (−2; 4; 2). Đúng||Sai

    b) Hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox là A’(0; 4; 0). Sai||Đúng

    c) Trung điểm của OA là M(−1; 2; 1). Đúng||Sai

    d) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz) là H(−2; 0; 2). Sai||Đúng

    a) Ta có A(−2; 4; 2).

    b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là (−2; 0; 0).

    c) Trung điểm của OA là điểm M(−1; 2; 1).

    d) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oyz) là H(0; 4; 2).

  • Câu 23: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm nguyên hàm I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}

    Hướng dẫn:

    Ta có

    \int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}

    = \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} ight)dx}

    = \frac{1}{2a}.\ln\left| \frac{x + a}{x - a} ight| + C

    Áp dụng vào bài ta chọn I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} ight| + C.

  • Câu 24: Nhận biết
    Tính khoảng cách d(M; (P))

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm M(1; - 2;3). Tính khoảng cách d từ M đến (P).

    Hướng dẫn:

    Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

    d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}

  • Câu 25: Nhận biết
    Độ dài đường sinh

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Hướng dẫn:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 26: Vận dụng cao
    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 27: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 28: Nhận biết
    Mệnh đề đúng

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 29: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;2). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Vì tọa độ điểm M(1;0;2) có x = 1;y = 0;z = 2 nên M \in (Oxz).

  • Câu 30: Nhận biết
    Tìm mệnh đề sai

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Đáp án sai là: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) \Leftrightarrow F^{/}(x) = f(x),\forall x \in (a;b)

  • Câu 31: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;0),M(1;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi qua A,M và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0),C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích bc?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;0;0),M(1;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi qua A,M và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0),C(0;0;c) với b > 0,c > 0. Khi diện tích tam giác ABC nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích bc?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Nhận biết
    Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y - 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (P):2x + y - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2;\ 1;\ 0).

  • Câu 33: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Đáp án là:

    Một chiếc máy bay đang bay từ điểm A đến điểm B. Giả sử với đơn vị km, điểmA có tọa độ A(100,200,300)và điểm B có tọa độ B(400,500,600). Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí C với tọa độ C(250,350,450), máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là 50\sqrt{3}\ \ km. Tính gọi D là điểm trên đường bay (giữa A và B) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường AD (kết quả lấy phần nguyên).

    Đáp án: 173,21 km

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử D\left( x_{0},y_{0},z_{0} ight)

    Vì D là điểm trên đường bay (giữa A và B). Khi đó ta có ba điểm A,D,B thẳng hàng.

    Ta lại có D là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.

    Khi đó DC = 50\sqrt{3}\ km

    Ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AD}= k\overrightarrow{AB} \\DC =50\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} - 100 = k.300 \\ y_{0} - 200 = k.300 \\ z_{0} - 300 = k.300 \\ \sqrt{\left( x_{0} - 250 ight)^{2} + \left( y_{0} - 350 ight)^{2} + \left( z_{0} - 450 ight)^{2}} = 50\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{0} = 100 + 300k \\ y_{0} = 200 + 300k \\ z_{0} = 300 + 300k \\ \sqrt{(100 + 300k - 250)^{2} + (200 + 300k - 350)^{2} + (300 + 300k - 450)^{2}} = 50\sqrt{3}(*) \\ \end{matrix} ight.

    Giải (*) ta có 3{(k.300 - 150)^2} = 7500 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ k = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì D là điểm gần A hơn do đó chọn k = \frac{1}{3} hay D(200,300,400)

    Vậy độ dài quãng đường:

    AD = \sqrt {{{\left( {200 - 100} ight)}^2} + {{\left( {300 - 200} ight)}^2} + {{\left( {400 - 300} ight)}^2}}

    = 100\sqrt{3} \approx 173,21

  • Câu 34: Nhận biết
    Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3

    Một chất điểm dạng chuyển động với vận tốc {v_0} = 15\left( {m/s} ight) thì tăng tốc với gia tốc a\left( t ight) = {t^2} + 5t\left( {m/s} ight). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

    Hướng dẫn:

    Ta có: v\left( t ight) = \int {a\left( t ight)dt = \int {\left( {{t^2} + 5t} ight)} dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + C\left( {m/s} ight)}

    Do khi bắt đầu tăng tốc {v_0} = 15\left( {m/s} ight) nên

    {v_{\left( {t = 0} ight)}} = 15 \Rightarrow C = 18 \Rightarrow v\left( t ight) = v\left( t ight) = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15\left( {m/s} ight)

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô tăng tốc bằng:

    S = \int\limits_0^3 {v\left( t ight)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + \frac{5}{2}{t^2} + 15} ight)dt} = \frac{{297}}{4}\left( m ight)

  • Câu 35: Nhận biết
    Tìm phương trình mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) có phương trình là:

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; - 1;4) nên có phương trình là1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0.

  • Câu 36: Nhận biết
    Chọn phương án đúng

    Hàm số F(x) = e^{x} + \tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left( e^{x} + \tan x + C \right)^{'} = e^{x} + \frac{1}{cos^{2}x}.

  • Câu 37: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm \int_{}^{}{f(x)dx = F(x) \Rightarrow F'(x) = f(x)}.

    Từ giả thiết, ta có \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}}

    \Rightarrow f(x) = \frac{xe^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{x}{e^{x}}.

    Suy ra f'(x) = \frac{(x)'.e^{x} - x.\left( e^{x} ight)'}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x} - x.e^{x}}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{e^{x}(1 - x)}{\left( e^{x} ight)^{2}} = \frac{1 - x}{e^{x}}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = \int_{}^{}{\frac{1 - x}{e^{x}}.e^{2x}dx = \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx}}}.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 1 - x \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = - dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow \int_{}^{}{(1 - x)e^{x}dx = (1 - x)e^{x} + \int_{}^{}{e^{x}dx}}= (1 - x)e^{x} + e^{x} + C = (2 -x)e^{x} + C.

    Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

    Ta có \int_{}^{}{e^{2x}.f'(x)dx = e^{2x}.f(x) - \int_{}^{}{f(x).2e^{2x}dx = f(x)e^{2x} - 2\int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx}}}

    Từ giả thiết: \int_{}^{}{f(x)e^{2x}dx = F(x) = (x - 1)e^{x}}

    \Rightarrow f(x)e^{2x} = F'(x) = \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = xe^{x}.

    Vậy \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}dx = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C}.

  • Câu 38: Nhận biết
    Tính khoảng cách

    Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với đáy (ABC), SA = 2a. Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB bằng:

    Hướng dẫn:

    Vì SA vuông góc với đáy (ABC) nên SA\bot AB \Rightarrow d(S,AB) = SA = 2a

  • Câu 39: Thông hiểu
    Thể tích của khối trụ

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

    Hướng dẫn:

    Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 40: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 - 5\sin x và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(3 - 5\sin x)dx = 3x + 5\cos x + C}}

    Do f(0) = 10 nên 3.0 + 5cos0 + C = 10 \Leftrightarrow C = 5.

    Vậy f(x) = 3x + 5\cos x + 5.

0/40
40 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (40%):
    2/3
  • Thông hiểu (42%):
    2/3
  • Vận dụng (10%):
    2/3
  • Vận dụng cao (8%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại