VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm học 2019-2020

Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 môn Toán

1 197

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (6,0 điểm).

1. Cho hàm số

32

1y x mx 

có đồ thị





m

C

. Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng

 

:1

dy x



cắt đồ thị

 

m

C

tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị

 

m

C

tại hai

trong ba điểm đó vuông góc với nhau.

2. Cho hàm số

 

2

1

2

x

y

x







có đồ thị

 

C

. Gọi

   

11 22

;, ;

Ax y Bx y

là các điểm cực trị của

 

C

với

12

xx

. Tìm điểm M trên trục tung sao cho

22

T MA MB MA MB  

 

đạt giá trị nhỏ

nhất.

Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình:

 

1 3 323

1

log 2 2 log 2 1

2

xx



 

.

2. Cho các số thực

, , 2; 8abc









và thỏa mãn điều kiện

64abc 

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 22

log log logP abc 

.

Câu III (5,0 điểm).

1. Cho hình chóp S.ABCD có

ABCD

là hình thang cân với

2,AD a AB BC CD a 

, cạnh

SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho

2NS ND

. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng

6 43

43

a

, tính thể tích của khối

chóp S.ABCD theo a.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A có



60

o

ABC 

. Đường phân giác của góc



ABC

cắt AC tại I.

Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC.

Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay

có thể tích lần lượt là

12

,

VV

. Tính tỉ số

1

2

V

.

Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm

ln 1

ln 1 1

x

I dx

xx









.

Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình

22

3

2 2 738

3 8 5 6 12 7

x y yx

xy x xy x y





   







    





.

Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy

 

n

a

xác định

1

2

1

,1

2

nn

n

a

n

aa n

















  





. Tìm số hạng tổng quát

n

a

và tính

lim

n

a

.

............HẾT............

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ...........................................................................Số báo danh .................

Giám thị coi thi ..........................................................................

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO

Câu I. 1. Cho hàm số

32

1y x mx 

có đồ thị

 

m

C

. Tìm các giá trị của tham số m để đường

thẳng





:1

dy x



cắt đồ thị

 

m

C

tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị





m

C

tại

hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau.

Hướng dẫn

Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:

 

32

2

0 0; 1

0

1 0*

xA

x mx x

x mx



 



 



 





. Dễ thấy

01

A tt

ky  

suy ra không có tiếp tuyến

vuông góc nhau tại A. Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*).

Ta có

12

1xx

xx m













 





và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì

  



11 22

3 2.3 2 1x x mx x m  

22 2

96 4 1 5 5

mm m m       

, thỏa mãn

2

40m  

.

Vậy các giá trị của m là

5m 

.

Câu I. 2. Cho hàm số

 

2

1

2

x

y

x







có đồ thị





C

. Gọi

   

11 22

;, ;

Ax y Bx y

là các điểm cực trị của

 

C

với

12

xx

. Tìm điểm M trên trục tung sao cho

22

22T MA MB MA MB

  

 

đạt giá trị

nhỏ nhất.

Hướng dẫn.

Ta có

 

12

2

11

, 2 ' 1 3, 1

2

yx x y x x

x

        



là hoành độ các điểm cực

trị hay

   

3; 4 , 1; 1AB 

. Gọi

I

là điểm thỏa mãn

 

2 0 5; 9IA IB I   

 

.

Khi đó

   

22

2 22T MA MB MA MB MI IA MI IB MI     

        

   

22

22 2 2 2

2 2 5 9 5 9 27 5 32T IA IB MI MI y y           

Nên

 

min

32 9 0; 9T yM

    

.

Câu II. 1. Giải phương trình:

 

1 3 323

1

log 2 2 log 2 1

2

xx



 

.

Hướng dẫn.

PT

   

2

1 3 323

1

log 2 2 log 2 1 2 2 1 3 3 2 3 1

2

tt

x x tx



        

   

3 23 1

1 1 0, 0 , 1

4 23 4 23

t

tt

f t a b ab

















       

























, ta có

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

 

' ln ln 0,

tt

ft a a b b t  

suy ra





ft

nghịch biên trên



nên





0ft



có nghiệm duy nhất

1 13tx

 

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Câu II. 2. Cho các số thực

, , 2; 8abc









và thỏa mãn điều kiện

64abc 

. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

2 22

log log logP abc

 

.

Hướng dẫn.

Đặt

2 22

log ,log , log , , 1;3 , 6a x b y c z xyz x y z



    





. Ta cần tìm GTLN của

222

Px y z

. Không giảm tổng quát ta giả sử

1 3 1; 2 , 2; 3xyz x z

 

 

 

 

.

   

2

22 2 2

6 2 2 6 36 2 12P x z z x z xz x x

(Parabol đồng biến đối với z vì

65

3 2;

2 22

xx







 





)

 

2 22

2.3 6 6 36 2 12 2 6 18 14P x x xx x     

( tại

12xx

) suy ra

max

14 1,2,3P xyz   

(loại

1, 2, 3yxz

).

Vậy

max

14 2, 4, 8P abc   

(và các hoán vị).

Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có

ABCD

là hình thang cân với

2,AD a AB BC CD a 

, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là

điểm thuộc đoạn SD sao cho

2NS ND

. Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng

6 43

43

a

, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn.

Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a, CDE là

tam giác đều cạnh a. Kẻ CH vuông góc với ED thì

3

2

a

CH 

và là đường cao của hình thang

cân ABCD, suy ra

2

33

4

ABCD

a

S 

.

Lấy

1a =

. Dựng hệ tọa độ Axyz như hình

vẽ, với

   

31

; ; 0 , 0; 2; 0 , 0; 0; 3

22

B D Sh

























,

khi đó tọa độ các điểm

313 2

; ; , 0; ;

442 3

h

M Nh







































.

Ta có

3 33

, ;;

4 46

hh

AM AN













 



















 

, khi

đó phương trình mặt phẳng (AMN) là

23

33 0

3

hx h y z 

Khoảng cách

 

22

23 6

,

4 43

93

3

h

d S AMN

hh





suy ra

y

z

x

M

B

C

A

D

S

H

E

N

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm học 2019-2020 để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm học 2019-2020 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới các bạn cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 bài toán tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết tại đây.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Hưng Yên năm học 2019-2020, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...