Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Khóa ngày: 21/03/2020
Môn thi: TOÁN - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)
Bài 1: Cho
, ,zx y
là các s
ố thực dương thỏa
1xyz
. Chứng
minh rằng
3 3 3
1 1 1 3
2
x y z y
z x z x y
.
Lời giải
2
2
2
1
1
1
VT
y
x
z
x y z y
z x z x y
.
Áp dụ
ng bất đẳng thức C-S, ta có:
2
2
2
2
1 1 1
1
1
1
2
x y
z
y
x
z
x y z y
z x z x y xy yz zx
.
Theo g
iả thiết
, ,zx y
là các số
thực dương thỏa
1xyz
, khi đó:
2
3
3
3
VT VT VT
2 2 2
xyz
xy y
z zx
(đpcm).
D
ấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1x y z
.
Bài 2: Giải phương trình
2 2
5 14 9 20
5 1
x x x x
x
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
2
2
5 14 9 0
1 0
x x
x x x
x
.
Ta có:
2 2 2
5 14 9 5
1 20 2 5 2 5 1 4 5
x x x x
x x x x x x
.
Đặt
2
4
4 5
u x
v x x
với điều
kiện:
3, 0
u v
.
Khi đó phư
ơng trình trên trở thành:
2 2
3 2 5 3
2 0
u v uv u
u v v u v
3 2 0
3 2
u v
u v u v
u v
.
TH1:
u v
suy ra:
2 2
5 61
2
4 4 5 5 9 0
5 61
2
x
x x x x
x
x
 
.
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Đ
ối
chiếu điều kiện nhận
5 61
2
x
.
TH2:
3 2u v
suy
ra:
2 2
8
3 4
2 4 5 4 25 56 0
7
4
x
x x x x x
x
 
.
Đối
chiếu điều kiện nhận
8
x
.
Vậy t
ập nghiệm của phương trình
5 61
;8
2
S
.
Bài
3: Cho
2, 3, 4
a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 2
3
ab c
bc a ca b
N
abc
.
Lời giải
Ta có:
4 2
3 2 4 2 2 3 3
2
2 3
c
a b c a b
N
c a b c
a b
.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
1 4
4 1 2 2 1 3 3 1 1 1
2 2 2 2 4
2 3 2 2 2 3
c c b
N N
c
a b
.
Dấu đẳng thức x
ảy ra khi và chỉ khi
2 4
8
2 2
4
6
3 3
c
c
a
a
b
b
.
Bài 4: bao nhiêu số tự nhiên
7
chữ số, tr
ong đó
2
mặt đúng hai lần, chữ số
3
mặt
đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.
Lời giải
TH1: Xếp số
0
ở mọi vị trí
.
Lấy
3
vị trí
, xếp số
3
o ba vị trí có:
3
7
C
các
h.
Lấy
2
vị trí
tiếp theo, xếp số
2
vào
hai vị trí có:
2
4
C
cách.
Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có:
2
8
A
cách.
Vậy theo quy tắc nhân có
3
7
C
2
4
C
2
8
A
11760
số.
TH2: Xếp số
0
vị trí
đầu.
Lấy
3
vị trí
, xếp số
3
o ba vị trí có:
3
6
C
các
h.
Lấy
2
vị trí
tiếp theo, xếp số
2
vào
hai vị trí có:
2
3
C
cách.
Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có:
1
7
A
các
h.
Vậy theo quy tắc nhân có
3
6
C
2
3
C
1
7
A
420
số.
Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có
11760
420 11340
số
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Bài
5: Cho t
am giác
ABC
bán kính đường tròn ngoại tiếp
1R
sin s
in sin
3
a b c
A B C
m m
m
(với
, ,
a b c
m m m
lần lượt độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh
, ,A B C
của tam
giác
ABC
). Ch
ứng minh rằng tam giác
ABC
đều.
Lời giải
Xét bài to
án: Cho tam giác
ABC
. Chứng minh
rằng:
2 2 2
2 3 .
a
a b c a m
.
Áp dụ
ng công thức trung tuyến, ta có:
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
4
a a
b c a
m m b c
a
.
Suy ra
:
2 2 2
2 3 . 3 2 2
a
a m a b c a
.
Áp dụ
ng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 2 2
2 3
. 3 2 2 3 .
2
a a
a b c a
a m a b
c a a m a b c
(đpcm).
Theo giả thiết, ta có
1R
suy ra
sin ,sin ,sin
2 2 2
a b c
A B C
;
Khi đó:
sin s
in sin
3 1
2 3 2 3
2 3
a b c
a b c
A B C a b
c
m m m
m m m
2 2 2
1
2 3 2 3
2 3
a b c
a b c
am bm cm
(*).
Áp dụ
ng bài toán chứng minh trên, ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 3 .
2 3
.
2 3 .
a
b
c
a m a b
c
b m a b
c
c m a b
c
.
Khi đó ta
hoàn toàn chứng minh được:
2 2 2
1
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c
am bm
cm
Thật vậy:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 2 3
2 3
a b c
a b c a b c
a b c a
b c a b c
am bm cm
2 2 2
1
2 3 2 3
2 3
a b c
a b c
am bm
cm
(**).
Căn cứ
vào giả thiết (*) suy ra bất đẳng thức (**) xảy ra dấu bằng, tức là:
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
a b c
b a c a
b c
c a b
. Vậ
y suy ra tam giác
ABC
đều (đpcm).
Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó bằng tổng giai thừa các chữ số của nó.
Lời giải
Giả sử số cần tìm là
0
abc a
.
Theo giả thiết, ta có:
100 10 ! ! !a b c a b c
.
Nhận
thấy
7! 5040 1000
1000abc
, nên
, , 7
a b c
.
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 bài tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút, đề có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 Sở GD&ĐT Ninh Thuận, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để học tập môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...

Đánh giá bài viết
1 29
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm