Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh

S GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT NGUYN TRÃI
Ngày 7 tháng 9 năm 2019
ĐỀ THI CHỌN ĐI TUYN CẤP TRƯỜNG
NĂM HC 2019 - 2020
MÔN TOÁN 12
Thi gian làm bài : 180 Phút
Câu 1. (1,5 điểm) Gii h phương trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
Câu 2. (2,0 điểm) Choy s
()
n
a
thỏa mãn đồng thời hai điều kin
1
3
nn
aa
11
6 5 2, .
n n n
a a a n n

Chng minh rng dãy
()
n
a
có gii hn hu hn và tìm gii hạn đó.
Câu 3. (2,0 đim ) Cho các s thực dương
,,x y z
tha mãn
. Chng minh rng
2 2 2
10 2x y z xyz
.
Câu 4. (1,5 điểm) Choy s nguyên
()
n
a
tha mãn: vi mi
p
nguyên t
k
nguyên dương thì
1
3 13
pk k p
a pa a
. Tính
2019
a
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ni tiếp đưng tròn (O). Một đường tròn (K) qua B và C ct
các đon thng CA và AB lần lượt ti E và F. Gi BE ct CF tại H. M là trung điểm BC và tiếp
tuyến ti B và C ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác BHC ct nhau ti I. Gi S là hình chiếu ca A
trên IH và D là giao ca IH vi BC. Chng minh rằng đường tròn ngoi tiếp tam giác SMD tiếp xúc
vi đưng tròn (O).
Câu 6. (1,0 điểm)
Đin vào mi ô ca bng vuông
77
các s t
nhiên t 1 đến 49 như hình vẽ. Mi lần, được phép
chn 1 ô ca bảng và đng thời tăng số trong ô đó
thêm 1 ri gim mi s trong hai ô nào đó k vi nó đi
1, hoc gim s trong ô đó đi 1 và tăng mỗi s trong
hai ô k vi nó thêm 1 (hai ô k nhau là hai ô chung
cnh). Hi có th đưa tt c các s trong bng v bng
nhau sau mt s hu hạn bưc đưc hay không?
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHN HC SINH GII CẤP TRƯỜNG NĂM HC 2019-2020
Câu 1. (1,5 điểm) Gii h phương trình
3 3 2
2 2 2
3 3 2
1 3 2 2
x y y x
x x y y
Li gii:
Điu kin
2 2 2 2
1,2 1 ( 1) 0 ( 1) 1x y y y y
Ta có
3 3 2
(1) 3 3 2x x y y
33
3 ( 1) 3( 1)x x y y
Xét
3
( ) 3f x x x
thì
2
'( ) 3 3 0 [ 1,1]f x x x  
'( ) 0 1f x x
Suy ra
()fx
đồng biến trên
[ 1,1]
, 1 [ 1,1]xy 
nên
( ) ( 1) 1f x f y x y
Thay vào phương trình (2) ta được
2 2 2
2 1 3 1 0x x x
22
2 2 1xx
Bình phương hai vế
4 2 2 4 2
4 4 4(1 ) 8 0 0x x x x x x
.
Đối chiếu điều kin thy tha mãn.
Vy
( , ) (0,1)xy
là nghim của phương trình
Câu 2. (2,0 điểm) Choy s
()
n
a
thỏa mãn đồng thời hai điều kin
1
3
nn
aa
11
6 5 2, .
n n n
a a a n n

Chng minh rng dãy
()
n
a
có gii hn hu hn và tìm gii hạn đó.
Li gii:
Nếu
N
sao cho
0
N
a
, ta có
30
k
Nk N
aa

vi mi
k
nguyên dương hay
0
n
a n N
Li có:
1 1 1 0
5
6 6 5 0
6
n
n n n n n
a a a a a a



.
Ta đưc
lim 0
n
a
theo nguyên lý kp.
(1,0 điểm)
Nếu
0
n
an  
, thì
10
1
30
3
n
n n n
a a a a



nên cũng theo nguyên lý kp thì
lim 0
n
a
Vy
lim 0
n
a
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
(1,0 điểm)
Câu 3. (2,0 đim ) Cho các s thực dương
,,x y z
tha mãn
. Chng minh rng
2 2 2
10 2x y z xyz
.
Li gii:
Theo bt đng thc Schur, ta có
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x y x z y y x y z z z x z y
3 3 3 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )x y z xyz x y z y z x z x y
3 3 3
3 9 ( )( )x y z xyz xyz x y z xy yz zx
2 2 2
9
2( )
xyz
x y z xy yz zx
x y z

2 2 2
9
2( )
xyz
x y z xy yz zx
x y z

2 2 2
9
2(1 2 )
xyz
x y z xyz
x y z

Vy ch cn chng minh
9
10 2 4 2
xyz
xyz xyz
x y z

9
60
xyz
xyz
x y z

3
2
x y z
Li có
2
()
3
x y z
xy yz zx

3
1
()
27
xyz x y z
Đặt
t x y z
,
0t
. T gi thiết có
2
3
2
1
27 3
t
t 
2
(2 3)( 3) 0tt
3
2
t
Ta có điu phi chng minh.
Du bng chng hn khi
1
2
x y z
Câu 4. (1,5 điểm) Choy s nguyên
()
n
a
tha mãn: vi mi
p
nguyên t
k
nguyên dương thì
1
3 13
pk k p
a pa a
.
Tính
2019
a
Li gii:
Xét hai s nguyên t
q
p
bt k. Theo gi thiết thì
1
3 13
pq q p
a pa a
(1) và
1
3 13
pq p q
a qa a
(2)
T (1) và (2) suy ra
3 3 ( 3) ( 3)
q p p q q p
pa a qa a p a q a
(3)
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn thi chọn học sinh giỏi lớp 12 sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2019-2020 trường THPT Lý Thái Tổ, Bắc Ninh, mong rằng qua đây các bạn có thêm nhiều tài liệu để ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...

Đánh giá bài viết
1 15
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm