Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2018-2019
Thi gian làm bài: 180 phút, không k thi gian giao đề
Câu 1 (2.5 điểm).
a) Cho hàm s
322
342yx mx m có đ th là

m
C . Tìm m để đthhàm số

m
C có
hai điểm cực trị
,
A
B sao cho diện tích tam giác
A
BC
bằng 4 với điểm

1; 4 .C
b) Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đ thị là

C
hai điểm

3; 0 , 1; 1MN
. Tìm trên đồ th
hàm số

C hai điểm ,
A
B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng
M
N
.
Câu 2 (2.0 điểm).
a) Giải phương trình:

2
4cos 1 sin 2 3 cos cos 2 1 2sin .
x
xxxx
b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để c
suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình


22 2
22
3252 121 22
,
2243
xx xx y yy
xy
xyxy


Câu 4 (1.5 điểm).
Cho hình hộp đứng
111 1
.ABCD A B C D các cạnh
1
2, 3AB AD AA
và góc
0
60BAD
. Gọi
,
M
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
11
AD
11
.AB
a) Chứng minh rằng
1
AC vuông góc với mặt phẳng

BDMN .
b) Tính thể tích khối chóp .
A
BDMN .
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , đáy
A
BCD hình chữ nhật 3, 6,
BBC
mặt phẳng

SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng

SBC và

SCD cùng to vi mt
phẳng

ABCD
các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
6. Tính thể tích khối chóp .S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA .BD
Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy , cho tam giác
A
BC ngoại tiếp đường
tròn tâm

2;1 .J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A ca tam giác
A
BC
phương trình:
2100
x
y và

2; 4D giao điểm thứ hai của
AJ
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B hoành độ âm B thuộc đường
thẳng có phương trình
70.
x
y
Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương ,,abcthỏa mãn
1abc
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức

222
7 121
14
A
abc abbcca


.
------------------- Hết -------------------
- Thí sinh không s dng tài liu và máy tính cm tay. Cán b coi thi không gii thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………
Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Hướng dn chm gm 06 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hưng dn chm ch trình bày mt cách gii vi nhng ý cơ bn phải có. Khi chấm bài thí
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ nh phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu 1.a (1.25 điểm)
Cho hàm số
322
342yx mx m có đ th là

m
C . Tìm
m
đ đ th
hàm số

m
C
hai điểm cực trị
,
A
B sao cho diện tích tam giác
A
BC bằng 4 với điểm

1; 4 .C
Nội dung Điểm
TXĐ: .
D
Đạo hàm:
2
'3 6yxmx
2
0
'0 3 6 0 .
2
x
yxmx
x
m
 
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 0.m
0.25
Tọa độ hai điểm cực trị là

232
0;42,2;442.Am Bmmm
Ta có:

3264
2;4 4 16 2 14 .AB m m AB m m m m

Phương trình đường
22
:2 4 2 0.AB m x y m 
0.5

2
4
62
;
14
m
dCAB
m
, suy ra

3
1
;. 62
2
ABC
SdCABABmm
.
0.25
Do đó
3
1
62 4 .
2
m
mm
m



0.25
Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đ th là

C hai điểm

3; 0 , 1; 1MN
. Tìm trên đồ thị hàm số

C
hai đim ,
A
B sao cho chúng đối xứng
nhau qua đường thẳng
M
N
.
Nội dung Điểm
Phương trình đường :230
M
Nx y.
Phương trình đường
:2AB y x m.
0.25
Khi đó hai điểm ,
A
B có hoành độ thỏa mãn:
24
2
1
x
x
m
x

. ĐK: 1.
x

Pt

2
2401xmxm
0.25
Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán
Để đường
A
B
ct

C tại hai điểm phân biệt thì pt

1 hai nghiệm phân biệt
khác -1
2
0443
8320 .
240
443
m
mm
mm
m




Trung điểm
I
của đoạn
A
B
tọa độ
12
12
;
2
xx
x
xm




vi
12
,
x
x nghiệm
của pt

1.
12
2
m
xx nên
;
42
mm
I



.
0.5
Ta có:
I
MN nên 2. 3 0 4
42
mm
m
( thỏa mãn).
Suy ra

0; 4 , 2;0AB
hoặc

2;0 , 0; 4 .AB
0.25
Câu 2.a
(1.0 điểm)

2
4cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sin .
x
xxxx
Nội dung Điểm
Phương trình tương đương với:
22
2sin (2cos 1) 2 3 cos cos2 4cos 1 0.xx xx x
0.25


22
2sin cos 2 2 3 cos cos 2 3cos sin 0
2cos2 sin 3cos 3 cos sin 3 cos sin 0
3cos sin 2cos2 3cos sin 0
xx xx x x
xx x x x x x
xx x xx



0.25
+)
3cos sin 0 tan 3 .
3
x
xxxk

0.25
+)
5
2
5
6
2cos2 3 cos sin 0 cos2 cos .
52
6
18 3
xk
xxx xx
k
x






Vậy phương trình có nghiệm:
3
x
k
 ,
552
2, .
6183
k
xkx


0.25
Câu 2.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao
nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
Nội dung Điểm
Trong 9 thẻ đã cho hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 8), 7 thẻ còn
lại ghi số không chia hết cho 4.
Giả sử rút
19;xxx , số cách chọn
x
từ 9 thẻ trong hộp là
9
x
C , số phần tử
của không gian mẫu là:
9
.
x
C
0.25
Gọi
A
là biến cố:” Trong số
x
thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”
Suy ra
A
là biến cố:” Lấy
x
tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4”
Số cách chọn tương ứng với biến cố
A
7
x
A
C

Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 7 bài tập tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo.

---------------------------

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 664
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm