Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

1 346
S GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯNG THPT YÊN LC 2
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYN HC SINH GII KHI 11
MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019
Thi gian làm bài: 180 phút, không k thời gian phát đ
Đề thi gm: 01 trang
Câu 1 (2,0 đim).
a) Tìm giá tr ln nht, nh nht ca hàm s:
cos 2 sin 3
.
2 cos sin 4
xx
y
xx
b) Giải phương trình:
cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x
Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác
ABC
,,BC a AB c AC b
. Biết góc
0
90BAC
2
,,
3
a b c
theo th t to thành cp s nhân. Tính s đo góc
Câu 3 (1,0 điểm). Cho
n
mt s nguyên ơng. Gọi
33n
a
h s ca
33n
x
trong khai trin
thành đa thc ca
2
( 1) ( 2)
nn
xx
. Tìm
n
sao cho
33
26 .
n
an
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các ch s
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
. T 8 ch s trên lập đưc bao nhiêu s t
nhiên có 8 ch s đôi một khác nhau sao cho tng 4 ch s đầu bng tng 4 ch s cui.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy s
()
n
u
tha mãn:
1
1
1
2019
1
2019
n
n
nn
n
u
uu
. Tìm công thc s hng
tng quát và tính
lim .
n
u
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình thang
0
2 , , 60AD a AB BC CD a BAD
,
SA
vuông góc với đáy
3SA a
.
M
I
là hai đim tha mãn
3 0, 4 3 0MB MS IS ID
. Mt phng
()AMI
ct
SC
ti
.N
a) Chứng minh đưng thng
SD
vuông góc vi mt phng
( ).AMI
b) Chng minh
00
90 ; 90 .ANI AMI
c) Tính din tích ca thiết din to bi mt phng
()AMI
và hình chóp
..S ABCD
Câu 7 (1,0 điểm). Cho t din
ABCD
, gi
G
trng m tam giác
,'BCD G
trung điểm ca
.AG
Mt mt phng
()
đi qua
'G
ct các cnh
,,AB AC AD
lần lượt ti
', ', '.B C D
Tính
.
' ' '
AB AC AD
AB AC AD
Câu 8 (1,0 điểm). Cho
n
s
1 2 3
, , ,..., [0;1]
n
a a a a
. Chng minh rng:
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
(1 ... ) 4( ... ).
nn
a a a a a a a a
-------------Hết-----------
Thí sinh không đưc s dng tài liu.
Cán b coi thi không gii thích gì thêm.
H và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………
S GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯNG THPT YÊN LC 2
ĐÁP ÁN KSCL ĐI TUYN HC SINH GII KHI
11
MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019
Đáp án gm: 05 trang
I. LƯU Ý CHUNG:
- ng dn chm ch trình y mt cách gii vi những ý bản phi có. Khi chm bài hc sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đ ý thì vẫn cho điểm ti đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Vi bài hình hc nếu thí sinh không v hình phần nào thì không cho điểm tương ứng vi phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Ni dung trình bày
Đi
m
1
(2,0 điểm)
a.(1,0 điểm).
Gi
0
y
là mt giá tr ca hàm s
cos 2 sin 3
.
2 cos sin 4
xx
y
xx
Khi đó phương trình
0
cos 2 sin 3
2 cos sin 4
xx
y
xx
phi có nghim.
Ta có phương trình
0 0 0
cos 2 sin 3
( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1)
2 cos sin 4
xx
y y x y x y
xx
0,5
Phương trình (1) có nghiệm khi và ch khi:
2 2 2 2
0 0 0 0 0
2
( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2
11
o
y y y y y y
0,25
Vy
2
max 2, min .
11
yy
0,25
b.(1,0 điểm)
Phương trình
22
(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0
(cos sin )(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0
(cos sin )(sin cos 1) 0
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
cos sin 0
sin cos 1 0
xx
xx
0,5
+) Vi
cos sin 0 tan 1
4
x x x x k
.
0,25
+) Vi
sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 .
42
x x x k x k
Vậy phương trình có 3 họ nghim.
0,25
2
(1,0 điểm)
Ta có:
2
2
3
b ac
. Do tam giác
ABC
vuông ta có
0,25
sin ; sin cos .
sinA sin sin
a b c
b a B c a C a B
BC
Suy ra
2 2 2 0
2
sin cos 60
3
a B a B B
0,5
Vy
0 0 0
90 , 60 , 30 .A B C
0,25
3
(1,0 điểm)
Theo công thc khai trin nh thc Newton ta có:
2 2 2
0 0 0 0
( 1) ( 2) ( )( 2 ) ( )( 2 )
n n n n
n n k k i i n i k k n i i i
n n n n
k i k i
x x C x C x C x C x
0,25
S hng cha
33n
x
tương ứng vi cp
( , )ki
tha mãn:
2 3 3
( , ) {( , 3);( 1, 1)}
0,
k i n
k i n n n n
k i n
Do đó h s ca
33n
x
3 3 1 1 1 3 2
3 3 1
.2 . .2 . 8 2
n n n n
n n n n n n
a C C C C C n
0,5
Theo gi thiết ta có:
3 2 2
2
( 1)( 2)
8 2 26 8 2 26
6
2 3 35 0 5.
n
n n n
C n n n n
n n n
Vy
5n
tha mãn yêu cu bài toán.
0,25
4
(1,0 điểm)
Do
0 1 2 3 4 5 6 7 28
, nên để tng 4 ch s đầu và tng 4 ch s
cui bằng nhau, điều kin là tổng đó bằng 14.
0,25
-Ta lp b 4 s có tng là 14 và có ch s
0
là:
(0;1;6;7); (0;2;5;7);(0;3;4;7);(0;3;5;6).
Vi mi b có s 0 trên ng vi mt bn
li không có s 0 và có tng bng 14.
0,25
-TH1: B có s 0 đứng trước: Có 4 b có ch s 0, ng vi mi b có:
+) Xếp 4 ch s đầu có 3.3! cách.
+) Xếp 4 ch s cui có 4! cách.
Áp dng qui tc nhân có 4.3.3!.4!=1728 s
0,25
-TH2: B có s 0 đứng sau: Có 4 b có ch s 0, mi b
+) Xếp b không có ch s 0 trước có 4! cách.
+) Xếp b có ch s 0 sau có 4! cách.
Áp dng qui tc nhân có 4.4!.4!=2304 s.
Vy có 1728+2304=4032 s tha mãn yêu cu bài toán.
0,25
5
(1,0 điểm)
Ta có
11
11
11
2019 2019
n n n n
n n n n
nn
u u u u
Do đó:
21
21
1
32
32
2
1
1
1
1
2019
1
2019
...
1
2019
nn
nn
n
uu
uu
uu
0,25
0,5

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán 

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 8 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 346
Thi học sinh giỏi lớp 11 Xem thêm