Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội

1 172
8 - 2019
Câu 1 ( ).
2
3 6 18 3 , (1)x x x x m
, m
a) i (1) khi
3
.
m
b)
m
.
Câu 2 (5
a)
4
2 2 3
3 2
1
.
1
x x y x y
x y xy x
b) ây truy
Parabol
ACB
u,
cu i c c g m
A
,
B
trên m i tr c
A
A
B
B
v cao
30 m
. Chi n
A B
trên n n c u b ng
200 m
. cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là
' 5CC
m.
G i
Q
,
, , C’,
I
,
J
,
K
n thành các ph n b ng nhau. Các thanh
th ng n i n n c u v n:
QQ
,
PP
,
HH
,
'
CC
,
II
,
JJ
,
KK
g i là các
dây cáp treo. Tính t dài c a các dây cáp treo?
Câu 3 (4 Cho tam giác
ABC
M
,
, .
BC
a CA b AB c
a) Ch minh r
2
2
cos .cos .cos .
b c A a c C b B
b) Tìm t p h p các i
M
sao cho
2
2 2
.
MB MC MA
Câu 4 Tr
,
Oxy cho
(3;1), ( 1;2)
A B .
a) N Ox AN
b) M
:d
y x
MA
P
MB
Q
PQ
Câu 5 Cho
,
,
x
y z
:
2
2 2
4 .
x y z xyz
2 .
x y z xyz
---------------------- -------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
Năm học 2018 - 2019
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
a) Đặt
36txx
= ++
Đk :
3 32t≤≤
.
Phương trình có dạng:
2
1( )
2 30
3
tl
tt
t
=
−=
=
Giải ra nghiệm x=-3 và x=6
1.0
1.0
1.0
6,0
b) (1) có nghiệm khi phương trình
2
2 92tt m−=
có nghiệm
3;3 2t


Xét hàm số
2
() 2ft t t=
với
3;3 2t


, sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK
phương trình có nghiệm
3 9 2 18 6 2m≤−
9 62
3
2
m
−+
≤≤
.
1,0
1.0
1.0
Câu 2
a) Ta có:
4 22 2 2 3
( )2.x x y x xy x y+ =−+
Đặt
23
xy; y.ax bx=−=
Ta có hệ phương trình:
2
1
1
ab
ab
+=
−+ =
. Suy ra,
2
1.
20
2.
a
aa
a
=
−−=
=
Khi đó:
2
3
2
2
2
3
3
11
0
0
3
2
2 (v ).
3
2
x xy x
y
xy
x
x
x xy n
y
x
xy
−= =±

=
=
+=
=−⇔
=
=
(
) (
)
{
}
( ; ) 1; 0 , 1; 0 .
xy∈−
Gi s Parabol có dng:
2
y ax bx c= ++
,
0a
.
Chn h trc
Oxy
như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm
( )
100; 30A
, và có đỉnh
( )
0;5C
. Suy ra:
30 10000 100
0
2
5
a bc
b
a
c
= ++
=
=
( )
2
1
:5
400
Py x⇒=+
. Đon
AB
chia
1,0
1,0
1,0
1,0
5,0
A
B
Q
P
H
C
I
J
K
B
Q
P
H
I
J
K
A
O
y
x
30m
5m
200m
2
y
1
y
3
y
làm
8
phn, mi phn
25m
.
Khi đó, tổng độ dài ca các dây cáp treo bng
123
222OC y y y+++
222
111
5 2 .25 5 2 .50 5 2 .75 5
400 400 400
 
=+ ++ ++ +
 
 
(
)
78,75 m
=
1,0
Câu 3
a)
222 222 44 222
2 22 2 2
22
()()
. . . ...
22 2
( )( )
( ).cos .
2
abc acb bc abc
VP a c b
ab ac bc
b cb c a
bc A
bc

+ +−
= −==


+−
= =
b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức:
DB DC DA 0.
+−=
 

Ta có:
( )
2 2 2 22 22
2
222 2
MB MC MA MD DB DC DA
MD DB DC DB DC ... MD 2AB.AC.cosA.
+ = ++−=
= ++ −+ ==
 
Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập
.
Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là
{ }
.D
.
Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn
( )
; 2 . .cos
D AB AC A
.
1,0
1,0
1,0
1,0
4,0
Câu 4
a)
N
Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình
chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0)
b)
: (;)M d y x M mm
∈=
Đường thẳng AM có phương trình
( 1) 2 0
m x my m−−−=
AM cắt trục hoành tại
2
( ;0)
1
m
P
m
Đường thẳng MB có phương trình:
( 2) ( 1) 3 0
m xm ym++=
MB cắt trục tung tại
3
(0; )
1
m
Q
m
+
Phương trình PQ:
11
1( 1; 0)
23
mm
x ym m
mm
−+
+ = ≠±
PQ đi qua
00
(; )Ix y
cố định
00 00
(326)32 0 1;0xy mxy m + + = ≠±
00
00
32 6
3
(1; )
32 0
2
xy
I
xy
+=
⇔⇔
−+ =
2.0
1,0
1,0
4,0
Câu 5
Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương:
222
, , ,,,x y z xyz
ta được:
2 2 2 333
6
6 6.
x y z x y z x y z xyz+ + +++≥ =
2 22
4x y z xyz++=
nên ta có:
2.x y z xyz++≥
Dấu bằng xảy ra
222
1x y z xyz xyz = = ===⇒===
.
Trái với giả thiết:
2 22
4x y z xyz++=
.
Vậy
2.x y z xyz++>
0,5
0,5
1,0
Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.

Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 150 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

-----------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Kim Liên - Hà Nội. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán 10, Giải bài tập Vật Lí 10, Giải bài tập Sinh học 10, Giải bài tập Hóa học 10, Tài liệu học tập lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 172
Toán lớp 10 Xem thêm