Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2014

Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.

Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014; trong đó a ≥ 0. Tìm a sao cho (un) hội tụ và tìm giới hạn đó.

Câu 2.

Cho hai hàm f(x) và g(x) xác định trên R và thỏa mãn điều kiện (f(x) − f(y))(g(x) − g(y)) = 0 với mọi x; y ∈ R.

Chứng minh ít nhất một trong hai hàm f hoặc g là hàm hằng.

Câu 3.

1) Cho hàm số f đơn điệu trên [0;∞) và Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

Chứng minh rằng: Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

2) Kết luận trên còn đúng không khi f là hàm liên tục trên [0;∞) nhưng không đơn điệu trên khoảng đó? Tại sao?

Câu 4.

Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định, liên tục trên đoạn [0; 1], khả vi trong khoảng (0; 1) và thỏa mãn điều kiện:

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

Câu 5.

Cho dãy số (xn) được xác định bởi

Tìm với điều kiện x0 ≥ 4; x1 ≥ 4.

Câu 6. Thí sinh chọn một trong hai câu:

6a. Cho (an) là dãy số xác định bởi

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

Hãy chứng minh rằng chuỗi số hội tụ.

6b. Cho f là hàm số liên tục trên [0;+∞). Giả sử rằng

Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014

Đánh giá bài viết
1 1.466
Sắp xếp theo

Cao đẳng - Đại học

Xem thêm