Đề thi Olympic Toán sinh viên trường ĐH Kinh tế quốc dân năm 2013

Câu 1:

Cho dãy số {u_n} xác định như sau:

Tìm

Câu 2:

Cho f : [0,1] → [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1. Đặt

Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho f_n(x) = x; với mọi x thuộc [0; 1]. Chứng minh rằng: f(x) = x, với mọi x thuộc [0; 1]

Câu 3:

Cho f: R → R là hàm khả vi có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng f(xf'(x)) ≥ f(x), với mọi x thuộc R

Câu 4:

Tìm hàm số f: R → R thỏa mãn f(xf(y)x) = xyf(x), với mọi x, y thuộc R

Câu 5:

a) Tính tích phân

b) Giả sử f(x) là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng:

Câu 6:

Cho f: [a, b] → (a; b)là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương α và c thuộc (a, b) sao cho: