Đề thi thử thpt quốc gia môn toán đề 4 – Online - Đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2026 (mới nhất)

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 22 câu
Điểm số bài kiểm tra: 22 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2sinx$ .
- A.
  $\int_{}^{}{2sinxdx = - 2cosx + C}$ .
- B.
  $\int_{}^{}{2sinxdx = sin2x + C}$ .
- C.
  $\int_{}^{}{2sinxdx = sin^{2}x + C}$ .
- D.
  $\int_{}^{}{2sinxdx = 2cosx + C}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\int_{}^{}{2sinxdx = - 2cosx + C}$
Câu 2: Nhận biết
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = 9$ , $\int_{2}^{4}{f(x)dx} = 4$ . Tính $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
- A.
  $5$
- B.
  $36$ _.
- C.
  $13$ _.
- D.
  $\frac{9}{4}$ _.
Hướng dẫn:
Ta có $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{4}{f(x)dx} = 9 + 4 = 13$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1},M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:

$M_{1}:$

$M_{2}:$

Gọi $s_{1}^{2},s_{2}^{2}$ lần lượt là phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1},M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  $3s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ .
- B.
  $s_{1}^{2} = 2s_{2}^{2}$ .
- C.
  $s_{1}^{2} = \frac{15}{8}s_{2}^{2}$ .
- D.
  $s_{1}^{2} = \frac{9}{5}s_{2}^{2}$ .
Hướng dẫn:
$M_{1}:$

Cỡ mầu: $n = 1 + 2 + 10 + 15 + 2 = 30$

$\overline{x} = \frac{1.1 + 2.3 + 10.5 + 15.7 + 2.9}{30} = 6$ .

$s_{1}^{2} = \frac{1.(1 - 6)^{2} + 2.(3 - 6)^{2} + 10.(5 - 6)^{2} + 15.(7 - 6)^{2} + 2.(9 - 6)^{2}}{30} = \frac{43}{15}$

$M_{2}:$

Cỡ mầu: $n = 0 + 1 + 15 + 13 + 1 = 30$

$\overline{x} = \frac{0.1 + 1.3 + 15.5 + 13.7 + 1.9}{30} = \frac{89}{15}$ .

$s_{2}^{2} = \frac{0.\left( 1 - \frac{89}{15} \right)^{2} + 1.\left( 3 - \frac{89}{15} \right)^{2} + 15.\left( 5 - \frac{89}{15} \right)^{2} + 13.\left( 7 - \frac{89}{15} \right)^{2} + 1.\left( 9 - \frac{89}{15} \right)^{2}}{30} = \frac{344}{225}$

Suy ra $s_{1}^{2} = \frac{15}{8}s_{2}^{2}$
Câu 4: Nhận biết
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 3t \\ z = 5 - t \end{matrix} \right.\ ;\ \left( t \in \mathbb{R} \right)$ . Vectơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của $d$ ?
- A.
  ${\overrightarrow{u}}_{3} = (1; - 3; - 1)$
- B.
  ${\overrightarrow{u}}_{2} = (1;3; - 1)$
- C.
  ${\overrightarrow{u}}_{4} = (1;2;5)$
- D.
  ${\overrightarrow{u}}_{1} = (0;3; - 1)$
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 + 3t \\ z = 5 - t \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ ;\ (t\mathbb{\in R})$ nhận véc tơ $\overrightarrow{u} = (0;3; - 1)$ làm VTCP
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1;1 \right\}$ , có $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = - \infty$ và $\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}f(x) = + \infty$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = 1$ và $x = - 1$ .
- B.
  Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
- C.
  Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $y = 1$ và $y = - 1$ .
- D.
  Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.
Hướng dẫn:
Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận đứng, đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng $x = 1$ và $x = - 1$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tập nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình $log_{2}(3x - 1) > 3$ .
- A.
  $x > 3$
- B.
  $\frac{1}{3} < x < 3$
- C.
  $x < 3$
- D.
  $x > \frac{10}{3}$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$ .

Bất phương trình $\Leftrightarrow 3x - 1 > 2^{3} \Leftrightarrow 3x > 9 \Leftrightarrow x > 3$ .
Câu 7: Nhận biết
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):3x - z + 2 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  ${\overrightarrow{n}}_{1} = (3; - 1;2)$
- B.
  ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;0; - 1)$
- C.
  ${\overrightarrow{n}}_{4} = ( - 1;0; - 1)$
- D.
  ${\overrightarrow{n}}_{3} = (3; - 1;0)$
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):3x - z + 2 = 0$ là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;0; - 1)$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm mặt phẳng thỏa mãn điều kiện
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\bot(ABCD)$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ ?
- A.
  $(SBC)$ .
- B.
  (SCD).
- C.
  (SBD).
- D.
  $(SAB)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow (SAB)\bot(ABCD)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tập nghiệm của phương trình
Giải phương trình $log_{4}(x - 1) = 3.$
- A.
  $x = 80$
- B.
  $x = 65$
- C.
  $x = 63$
- D.
  $x = 82$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $\Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$ .

Phương trình $log_{4}(x - 1) = 3$ $\Leftrightarrow x - 1 = 4^{3} \Leftrightarrow x = 65$ .
Câu 10: Nhận biết
Tính u4
Cho cấp số cộng $\left( u_{n} \right)$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công sai d = 5. Giá trị của $u_{4}$ bằng
- A.
  $17$ .
- B.
  $250$ .
- C.
  $12$ .
- D.
  $22$ .
Hướng dẫn:
Ta có $u_{n} = u_{1} + (n - 1)d = 2 + 5(n - 1) = 5n - 3$

Khi đó $u_{4} = 5.4 - 3 = 17.$
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ .Số các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là
- A.
  1
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  2
Hướng dẫn:
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D'C'},\overrightarrow{A'B'}$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hàm số thích hợp với bảng biến thiên
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
- A.
  $y = \frac{x + 2}{x}$ .
- B.
  $y = \frac{x^{2} - 3x + 1}{x - 1}$ .
- C.
  $y = - x^{3} + 3x + 1$ .
- D.
  $y = x^{3} - 3x$
Hướng dẫn:
Hàm số bậc $3$ hệ số $a < 0$ . Suy ra chọn $y = - x^{3} + 3x + 1$
Câu 13: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = 2x - sin2x$ .

a) Trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ hàm số có 2 cực trị.Sai||Đúng

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ là $f(2\pi)$ . Đúng||Sai

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f'(x)$ là $- 1$ . Sai||Đúng

d) $f'(x) = 2 - 2cos2x$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = 2x - sin2x$ .

a) Trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ hàm số có 2 cực trị.Sai||Đúng

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ là $f(2\pi)$ . Đúng||Sai

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f'(x)$ là $- 1$ . Sai||Đúng

d) $f'(x) = 2 - 2cos2x$ . Đúng||Sai

Ta có $f'(x) = 2 - 2cos2x \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}$ .

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2 - 2cos2x = 0 \Leftrightarrow cos2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi$ .

Trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ , $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ 0;\pi;2\pi \right\}$ .

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ , do đó trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ hàm số không có cực trị.

Ta có hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ là $f(2\pi)$ .

Ta có $f'(x) = 2 - 2cos2x \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}$ . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f'(x)$ là $0$ .

Ta có $f'(x) = 2 - 2cos2x$ .
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tốthiểu $5m$ . Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $16\ m/s$ thì gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_{A}^{}(t) = 16 - 4t$ (đơn vị tính bằng $m/s$ , thời gian $t$ tính bằng giây). Khi đó

a) Thời điểm xe ô tô $A$ dừng lại là $4s$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $S(t)$ (đơn vị mét) mà ô tô $A$ đi được trong thời gian $t$ giây ( $0 \leq t \leq 4$ ) kể từ khi hãm phanh được tính theo công thức $S(t) = \int_{0}^{4}{v(t)dt}$ . Sai||Đúng

c) Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô $A$ đi được quãng đường $32m$ . Đúng||Sai

d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô $A$ và ô tô $B$ là $37m$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tốthiểu $5m$ . Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $16\ m/s$ thì gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_{A}^{}(t) = 16 - 4t$ (đơn vị tính bằng $m/s$ , thời gian $t$ tính bằng giây). Khi đó

a) Thời điểm xe ô tô $A$ dừng lại là $4s$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $S(t)$ (đơn vị mét) mà ô tô $A$ đi được trong thời gian $t$ giây ( $0 \leq t \leq 4$ ) kể từ khi hãm phanh được tính theo công thức $S(t) = \int_{0}^{4}{v(t)dt}$ . Sai||Đúng

c) Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô $A$ đi được quãng đường $32m$ . Đúng||Sai

d) Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô $A$ và ô tô $B$ là $37m$ . Đúng||Sai

Xe ô tô $A$ dừng lại khi $v_{A}^{}(t) = 16 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 4$ .

Quãng đường $S(t)$ (đơn vị mét) mà ô tô $A$ đi được trong thời gian $t$ giây ( $0 \leq t \leq 4$ ) kể từ khi hãm phanh được tính theo công thức $S(t) = \int_{0}^{t}{v_{A}^{}(t)dt}$ .

Từ khi bắt đầu hãm phanh đến khi dừng lại xe ô tô $A$ đi được quãng đường là:

$S(t) = \int_{0}^{4}{(16 - 4t)dt} = 32m$ . Khoảng cách an toàn tối thiểu giữa xe ô tô $A$ và ô tô $B$ là $32m + 5m = 37m$ .
Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong khống gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1;7),\ B(5;5;1)$ và mặt phẳng $(P):\ 2x - y - z + 4 = 0$

a) Mặt phẳng trung trực $(Q)$ của đoạn thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 3)$ . Đúng||Sai

b) Phương trình đường thẳng giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ . Sai||Đúng

c) Nếu điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $MA = MB$ thì $M \in d$ . Đúng||Sai

d) Điểm $C(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $CA = CB = \sqrt{35}$ . Nếu $a$ là số nguyên thì $OC = 2\sqrt{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong khống gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1;7),\ B(5;5;1)$ và mặt phẳng $(P):\ 2x - y - z + 4 = 0$

a) Mặt phẳng trung trực $(Q)$ của đoạn thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 3)$ . Đúng||Sai

b) Phương trình đường thẳng giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ . Sai||Đúng

c) Nếu điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $MA = MB$ thì $M \in d$ . Đúng||Sai

d) Điểm $C(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $CA = CB = \sqrt{35}$ . Nếu $a$ là số nguyên thì $OC = 2\sqrt{2}$ . Đúng||Sai

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2;4; - 6)$ là một véc tơ pháp tuyến của $(Q)$ .

Vậy $(Q)$ có một véc tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB} = (1;2; - 3)$

Gọi $I(4;3;4)$ là trung điểm của $AB$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của $AB$ là:

$(Q):(x - 4) + 2(y - 3) - 3(z - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0$

Gọi $(d)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Đường thẳng $(d)$ có véc tơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack = (1;1;1)$ .

Tìm Tọa độ của điểm $(H)$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} 2x - y - z = - 4 \\ x + 2y - 3z = - 2 \end{matrix} \right.$

Chọn $z = 0 \Rightarrow x = - 2;y = 0 \Rightarrow H( - 2;0;0)$

Vậy phương trình đường thẳng $d:\ \frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$

Từ $MA = MB$ suy ra $M$ thuộc mặt phẳng trung trục $(Q)$ của đoạn $AB$ . Vậy $M$ thuộc giao tuyến của của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ nghĩa là $M \in d$

Điểm $C \in (P)$ và $CA = CB \Rightarrow C \in d$ nên $C(t - 2;t;t)$

$CA = \sqrt{35} \Leftrightarrow (5 - t)^{2} + (1 - t)^{2} + (7 - t)^{2} = 35 \Leftrightarrow 3t^{2} - 26t + 40 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{20}{3} \\ t = 2 \end{matrix} \right.$

Điểm $C$ có hoành độ nguyên, suy ra $C(0;2;2)$ . Vậy $OC = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt{2}$
Câu 16: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Bạn An có 2 cuốn sách môn Toán, 3 cuốn sách môn Vật lí, 3 cuốn sách môn Hoá học, các cuốn sách đôi một khác nhau. Giá sách của bạn An chỉ có 1 hàng gồm 3 ngăn liền nhau. Bạn An xếp các cuốn sách trên vào giá sách sao cho mỗi ngăn chỉ có một môn.

a) Số cách xếp 2 cuốn sách môn Toán trong một ngăn là 2!. Đúng||Sai

b) Số cách xếp 3 cuốn sách môn Vật lí trong một ngăn là 3. Sai||Đúng

c) Số cách xếp 3 cuốn sách môn Hoá học trong một ngăn là 3!. Đúng||Sai

d) Số cách xếp các cuốn sách sao cho mỗi ngăn chỉ có một môn là 432. Đúng||Sai

Đáp án là:

Bạn An có 2 cuốn sách môn Toán, 3 cuốn sách môn Vật lí, 3 cuốn sách môn Hoá học, các cuốn sách đôi một khác nhau. Giá sách của bạn An chỉ có 1 hàng gồm 3 ngăn liền nhau. Bạn An xếp các cuốn sách trên vào giá sách sao cho mỗi ngăn chỉ có một môn.

a) Số cách xếp 2 cuốn sách môn Toán trong một ngăn là 2!. Đúng||Sai

b) Số cách xếp 3 cuốn sách môn Vật lí trong một ngăn là 3. Sai||Đúng

c) Số cách xếp 3 cuốn sách môn Hoá học trong một ngăn là 3!. Đúng||Sai

d) Số cách xếp các cuốn sách sao cho mỗi ngăn chỉ có một môn là 432. Đúng||Sai

Do số cách xếp 2 cuốn sách môn Toán trong một ngăn là 2!. Suy ra đúng.

Do số cách xếp 3 cuốn sách môn Vật lí trong một ngăn là 3!. Suy ra Sai.

Do số cách xếp 3 cuốn sách môn Hoá học trong một ngăn là 3!. Suy ra đúng.

Do có 3 ngăn nên số cách xếp các cuốn sách sao cho mỗi ngăn chỉ có một môn là: (2!.3!.3!). 3! = 432. Suy ra đúng.
Câu 17: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 0,5

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 0,5

Dựng $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SD$ , ta có $AH\bot SD$ .

Mà $CD\bot AD$ ( $ABCD$ là hình vuông), $CD\bot SA$ (do $SA\bot(ABCD)$ ) nên $CD\bot(SAD)$

Từ đó suy ra $AH\bot CD$ . Vậy $AH\bot(SCD),\ H \in (SCD)$ nên $d\left( A,(SCD) \right) = AH$ .

Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ :

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Leftrightarrow AH = \frac{SA.AD}{\sqrt{SA^{2} + AD^{2}}} = 0,5$ .
Câu 18: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau

Biết rằng $x,y$ là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng $\frac{845}{21}$ . Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Đáp án: 48,5

Đáp án là:

Thống kê thời gian tự học môn Toán của 400 học sinh lớp 12 trong một ngày ta được kết quả trong bảng ghép nhóm sau

Biết rằng $x,y$ là các số nguyên dương và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu bằng $\frac{845}{21}$ . Khi đó, thời gian tự học trung bình của 400 học sinh (tính theo mẫu số liệu ghép nhóm trên) là bao nhiêu phút?

Đáp án: 48,5

Vì tổng số học sinh là $400$ nên $x + 120 + y + 70 + 60 = 400$ hay $x + y = 150$ .

Ta có $\frac{3n}{4} = 300$ và $x_{300} \in \lbrack 60;80),x_{301} \in \lbrack 60;80)$ nên

$Q_{3} = 60 + \frac{300 - 270}{70}(80 - 60) = \frac{480}{7}$

Lại có $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1}$ nên $Q_{1} = Q_{3} - \Delta Q = \frac{85}{3}$ .

Ta có $\frac{n}{4} = 100$ nên có thể sảy ra các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $x_{100} \in \lbrack 0;20)$ nên

$Q_{1} = 0 + \frac{100 - 0}{x}(20 - 0) = \frac{2000}{x} = \frac{85}{3}$ hay $x = \frac{1200}{17}$ (loại vì $x\mathbb{\notin N}$ ).

Trường hợp 2: $x_{100} \in \lbrack 20;40)$ nên

$Q_{1} = 20 + \frac{100 - x}{120}(20 - 0) = 20 + \frac{100 - x}{6} = \frac{85}{3}$ hay $x = 50$ .

Khi đó $y = 150 - x = 100$ .

Ta có bảng số số liệu

Thời gian tự học trung bình là: $\overline{X} = \frac{10.50 + 30.120 + 50.100 + 70.70 + 90.60}{400} = 48,5$
Câu 19: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , một máy bay đang ở vị trí $A( - 800; - 40;10)$ và chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = - 1000 + 100t \\ y = - 200 + 80t \\ z = 10 \end{matrix} \right.\ ,t \in \mathbb{R}$ . Tìm giá trị của $t$ ứng với vị trí $A$ của máy bay.

Đáp án: 2

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , một máy bay đang ở vị trí $A( - 800; - 40;10)$ và chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = - 1000 + 100t \\ y = - 200 + 80t \\ z = 10 \end{matrix} \right.\ ,t \in \mathbb{R}$ . Tìm giá trị của $t$ ứng với vị trí $A$ của máy bay.

Đáp án: 2

Thay tọa độ của điểm $A( - 800; - 40;10)$ vào phương trình tham số của đường thẳng

$d\left\{ \begin{matrix} - 800 = - 1000 + 100t \\ - 40 = - 200 + 80t \\ 10 = 10 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow t = 2$
Câu 20: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4m$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$ . Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ .

Chi phí sơn phần tô hình tổ ong là $200\ 000$ đồng/ $m^{2}$ , chi phí sơn phần tô đậm là $150\ 000$ đồng/ $m^{2}$ và phần còn lại là $120\ 000$ đồng/ $m^{2}$ . Số tiền cần chi trả để sơn tấm biến quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp số: 2465

Đáp án là:

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4m$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$ . Trên tấm biển đó có đường parabol đỉnh $I$ đi qua $A,B$ và cắt đường chéo $BD$ tại $M$ .

Chi phí sơn phần tô hình tổ ong là $200\ 000$ đồng/ $m^{2}$ , chi phí sơn phần tô đậm là $150\ 000$ đồng/ $m^{2}$ và phần còn lại là $120\ 000$ đồng/ $m^{2}$ . Số tiền cần chi trả để sơn tấm biến quảng cáo là bao nhiêu nghìn đồng?

Đáp số: 2465

Gắn hệ tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, khi đó $I(2;4)$

Vì $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm $A(0;0)\ \ ,\ \ B(4;0)$ nên ta có $(P):\ y = kx(x - 4)$ ,

Mà $(P)$ qua $I(2;4) \Rightarrow - 4.k = 4 \Rightarrow k = - 1$ , khi đó $(P):\ y = - x^{2} + 4x$

Gọi $d:\ y = ax + b$ , $d$ qua $D(0;4),\ B(4;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 0a + b = 4 \\ 4a + b = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 4 \end{matrix} \right.$ , khi đó $d:\ y = - x + 4$

$(P) \cap d:\left\{ \begin{matrix} y = - x^{2} + 4x \\ y = - x + 4 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B(4;0)\ \ ,\ \ M(1;3)$

Ta có: $S_{2} = \int_{0}^{1}\left( - x^{2} + 4x \right)dx + S_{\Delta MHB} = \frac{5}{3} + \frac{3.3}{2} = \frac{37}{6}$

Suy ra $S_{1} = S_{P} - S_{2} = \frac{2}{3}.4.4 - \frac{37}{6} = \frac{9}{2}$

Khi đó $S$ còn lại bằng $S_{hv} - S_{1} - S_{2} = 4.4 - \frac{9}{2} - \frac{37}{6} = \frac{16}{3}$

Vậy số tiền cần trả là: $200.\frac{9}{2} + 150.\frac{37}{6} + 120.\frac{16}{3} = 2465$
Câu 21: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một tấm vải polyester hình chữ nhật ABCD có chiều dài $AB = 7(m)$ và chiều rộng $BC = 4(m)$ . Người ta muốn gấp một lần sao cho đỉnh $B$ của mảnh vải trùng với điểm $P$ trên cạnh $CD$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó nét gấp có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu (đơn vị được tính theo mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 5,2

Đáp án là:

Một tấm vải polyester hình chữ nhật ABCD có chiều dài $AB = 7(m)$ và chiều rộng $BC = 4(m)$ . Người ta muốn gấp một lần sao cho đỉnh $B$ của mảnh vải trùng với điểm $P$ trên cạnh $CD$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó nét gấp có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu (đơn vị được tính theo mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án: 5,2

Đặt $BN = x(m),2 < x < 4 = > CN = 4 - x;NP = x$

Ta có

$\widehat{PNC} = \widehat{PMB} =2\widehat{BMN}$

$\Rightarrow \cos\widehat{PNC}= \cos\left( 2\widehat{BMN}\right)$

$\Leftrightarrow \cos\widehat{PNC} = 1 -2sin^{2}\widehat{BMN}$

$\Leftrightarrow \frac{4 - x}{x} = 1 -2\frac{x^{2}}{MN^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{2x^{2}}{MN^{2}} = \frac{2x -4}{x} \Leftrightarrow MN^{2} = \frac{x^{3}}{x - 2} = f(x)$

Xét hàm số $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 2}$ trên khoảng $(2;4)$ .

Suy ra $f'(x) = \frac{2x^{2}(x - 3)}{(x - 2)^{2}};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Bảng biến thiên của hàm số $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 2}$

Từ bảng biến thiên suy ra nét gấp $MN$ nhỏ bằng $3\sqrt{3} \approx 5,2$
Câu 22: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.

Đáp án: 0,3

Đáp án là:

Có 40 tấm thẻ kích thước như nhau và đánh số thứ tự lần lượt từ 1 đến 40 (mỗi tấm thẻ chỉ ghi một số nguyên dương, hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Một người lần lượt rút hai thẻ (rút không hoàn lại). Tính xác suất lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố.

Đáp án: 0,3

Xét các biến cố: $A$ : “Lần thứ nhất rút ra được thẻ ghi số nguyên tố”;

$B$ : “Lần thứ hai rút được thẻ ghi số nguyên tố”.

Từ $1$ đến $40$ có $12$ số nguyên tố nên $P(A) = \frac{12}{40} = 0,3$ và $P\left( \overline{A} \right) = 1 - 0,3 = 0,7$ .

Vì rút không hoàn lại nên $P\left( B|A \right) = \frac{11}{39}$ , $P\left( B|\overline{A} \right) = \frac{12}{39} = \frac{4}{13}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(B) = P(A).P\left( B|A \right) + P\left(\overline{A} \right).P\left( B|\overline{A} \right)$

$= 0,3.\frac{11}{39}+ 0,7.\frac{4}{13} = 0,3$ .