Đề thi thử thpt quốc gia môn toán đề 7 – Online - Đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2026 (mới nhất)

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 22 câu
Điểm số bài kiểm tra: 22 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm khẳng định đúng
Cho $\int_{}^{}{f(x)}dx = - \cos x + C$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = \cos x$ .
- B.
  $f(x) = - \sin x$ .
- C.
  $f(x) = - \cos x$ .
- D.
  $f(x) = \sin x$ .
Hướng dẫn:
Ta có:: $\int_{}^{}{\sin x}\ dx = - \cos x + C$ .
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b(a < b)$ , xung quanh trục $Ox$ .
- A.
  $V = \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Hướng dẫn:
Ta có: $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Câu 3: Nhận biết
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_{1} = 4,\ Q_{2} = 6,\ \ Q_{3} = 9.$ Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng
- A.
  2.
- B.
  13.
- C.
  5.
- D.
  7.
Hướng dẫn:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 9 - 4 = 5.$
Câu 4: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;\ - 1;\ 4)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 2;\ 4;\ 5)$ . Phương trình của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = 4 - t \\ z = 5 + 4t \end{matrix} \right.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = - 1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{matrix} \right.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = - 1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{matrix} \right.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = 1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{matrix} \right.$ .
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;\ - 1;\ 4)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 2;\ 4;\ 5)$ nên phương trình của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2t \\ y = - 1 + 4t \\ z = 4 + 5t \end{matrix} \right.$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

$C:\Users\Administrator\Desktop\2018-11-05_055613.png$

Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $3.$
Hướng dẫn:
Do $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}y = - \infty;\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}} = + \infty \Rightarrow$ TCĐ: $x = 1.$

$\lim_{x \rightarrow + \infty}y = - 1;\ \lim_{x \rightarrow - \infty}y = 1 \Rightarrow$ đồ thị có 2 tiệm cận ngang là $y = \pm 1$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tổng số TCĐ và TCN là 3.
Câu 6: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Với $b,c$ là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{5}b \geq \log_{5}c$ , khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $b < c$ .
- B.
  $b \geq c$ .
- C.
  $b > c$ .
- D.
  $b \leq c$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\log_{5}b \geq \log_{5}c\Leftrightarrow b \geq c$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2; - 3)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1; - 2;3)$ ?
- A.
  $x - 2y + 3z - 12 = 0$ .
- B.
  $x - 2y - 3z - 6 = 0$ .
- C.
  $x - y + 3z + 12 = 0$ .
- D.
  $x - 2y - 3z + 6 = 0$ .
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;2; - 3)$ và có một vectơ pháp tuyến $M(1;2; - 3)$ là $1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0$ hay $x - y + 3z + 12 = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng
- A.
  $30{^\circ}$
- B.
  $90{^\circ}$
- C.
  $45{^\circ}$
- D.
  $60{^\circ}$
Hướng dẫn:
Do $SA\bot(ABCD)$ nên góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng góc $\widehat{SCA}$ .

Ta có:

$SA = \sqrt{2}a$ , $AC = \sqrt{2}a$

$\Rightarrow \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45{^\circ}$ .

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và và mặt phẳng đáy bằng bằng $45{^\circ}$ .
Câu 9: Nhận biết
Giải phương trình
Nghiệm của phương trình $log_{2}(3x) = 3$ là:
- A.
  $x = 2.$
- B.
  $x = \frac{1}{2}.$
- C.
  $x = 3.$
- D.
  $x = \frac{8}{3}.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\log_{2}(3x) = 3 \Leftrightarrow 3x= 2^{3} \Leftrightarrow x = \frac{8}{3}.$
Câu 10: Nhận biết
Tìm công bộ của cấp số nhân
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} \right)$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 9$ . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
- A.
  $\frac{1}{3}$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $- 6$ .
Hướng dẫn:
Ta có $u_{2} = u_{1}.q$ $\Rightarrow$ $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 3$ .
Câu 11: Nhận biết
Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;\ 2;\ - 1),\ \ B(0;\ 3;\ 2),\ C(1;\ 4;\ 2)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là
- A.
  $(3;\ 9;\ 3)$ .
- B.
  $(1;\ 3;\ 1)$ .
- C.
  $( - 3;\ - 9;\ - 3)$ .
- D.
  $( - 1; - 3;\ - 1)$ .
Hướng dẫn:
Tọa độ trọng tâm $G$ tam giác $ABC$ là $\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{2 + 0 + 1}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{2 + 3 + 4}{3} = 3 \\z_{G} = \dfrac{- 1 + 2 + 2}{3} = 1\end{matrix} \right.$ .

Vậy $G(1;\ 3;\ 1)$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 1;3\rbrack$ và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;3\rbrack$ bằng
- A.
  $2$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $- 2$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Dựa và đồ thị suy ra $\underset{\lbrack - 1;3\rbrack}{maxy} = f(3) = 3$
Câu 13: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} + 4}$

a) Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ thì $3a + 4b = 5$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số $y = f(x)$ nhận trục tung làm tiệm cận ngang. Sai||Đúng

d) $f(0) = - \frac{3}{4}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} + 4}$

a) Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ thì $3a + 4b = 5$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số $y = f(x)$ nhận trục tung làm tiệm cận ngang. Sai||Đúng

d) $f(0) = - \frac{3}{4}$ . Đúng||Sai

Ta có $f'(x) = \frac{- 2x^{2} + 6x + 8}{(x^{2} + 4)^{2}}$ . Suy ra $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \end{matrix} \right.$

Bảng biến thiên

Tập giá trị của hàm số đã cho là đoạn $\left\lbrack - 1;\frac{1}{4} \right\rbrack$ nên $a = - 1;\ b = \frac{1}{4}$ và $3a + 4b = - 2$ .

Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị. Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 0$

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. Ta có: $f(0) = - \frac{3}{4}$
Câu 14: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của nhận định

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1khix \leq 1 \\ 3x^{2} - 2khix > 1 \end{matrix} \right.$

a) $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + C_{1}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\ x^{3} - 2x + C_{2}\ \ khi\ \ x > 1 \end{matrix} \right.$ Đúng||Sai

b) $\int_{- 1}^{1}f(x)dx = - 2.$ Đúng||Sai

c) $\int_{1}^{3}f(x)dx = 20$ Sai||Đúng

d) $\int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1khix \leq 1 \\ 3x^{2} - 2khix > 1 \end{matrix} \right.$

a) $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + C_{1}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\ x^{3} - 2x + C_{2}\ \ khi\ \ x > 1 \end{matrix} \right.$ Đúng||Sai

b) $\int_{- 1}^{1}f(x)dx = - 2.$ Đúng||Sai

c) $\int_{1}^{3}f(x)dx = 20$ Sai||Đúng

d) $\int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22$ . Sai||Đúng

Khi $x < 1$ , ta cos: $\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{(2x - 1)dx = x^{2} - x + C_{1}.}}$

Khi $x > 1$ , ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 3x^{3} - 2 \right)dx = x^{3} - 2x + C_{2}.}}$

Vì $\ \ F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + C_{1}\ \ \ \ khi\ \ \ \ x \leq 1 \\ x^{3} - 2x + C_{2}\ \ khi\ \ \ x > 1 \end{matrix} \right.$

$\int_{- 1}^{1}{f(x)}dx = {\int_{- 1}^{1}{(2x - 1)dx = \left. \ \left( x^{2} - x \right) \right|}}_{- 1}^{1} = - 2$

$\int_{1}^{3}f(x)dx = \int_{1}^{3}\left( 3x^{2} - 2 \right)dx = \left. \ \left( x^{3} - 2x \right) \right|_{1}^{3}$ $= \left( 3^{3} - 2.3 \right) - \left( 1^{3} - 2.1 \right) = 22$ .

$\int_{- 1}^{3}f(x)dx = \int_{- 1}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx = - 2 + 22 = 20$ .
Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P): - x + 2y + z - 3 = 0$ .

a) Điểm $A(1; - 1; - 2)$ nằm trên đường thẳng $d$ . Sai||Đúng

b) Mặt phẳng $(Q)$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $(1;1; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $30{^\circ}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M( - 3;1;2)$ , song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N(a;b;c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P): - x + 2y + z - 3 = 0$ .

a) Điểm $A(1; - 1; - 2)$ nằm trên đường thẳng $d$ . Sai||Đúng

b) Mặt phẳng $(Q)$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $(1;1; - 1)$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $30{^\circ}$ . Đúng||Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M( - 3;1;2)$ , song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N(a;b;c)$ . Giá trị $a + b + c$ bằng 3. Sai||Đúng

Ta có $\frac{1 - 1}{2} = \frac{- 1 + 1}{- 1} \neq \frac{- 2 - 2}{1} \Rightarrow A \notin d$ .

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u} = (2;\ - 1;\ 1)$ ; mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n_{P}} = ( - 1;\ 2;\ 1)$

Vì mặt phẳng $(Q)$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 3;\ - 3;\ 3)$ cùng phương với $\overrightarrow{a} = (1;\ 1;\ - 1)$ .

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow{u} = (2;\ - 1;\ 1)$ ; mặt phẳng $(P)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n_{P}} = ( - 1;\ 2;\ 1)$

Giả sử góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $\alpha$

Suy ra $\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{P}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|} = \frac{| - 3|}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30{^\circ}$ .

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 + t \end{matrix} \right.$

Vì $N \in d \Rightarrow N(1 + 2t;\ - 1 - t;\ 2 + t)$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN} = (2t + 4;\ - t - 2;\ t)$

Mà $\frac{\frac{MN}{}}{(P)} \Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n_{P}} = 0$ $\Leftrightarrow - 2t - 4 - 2t - 4 + t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{8}{3}$

Suy ra $a + b + c = 2t + 2 = - \frac{10}{3}$ .
Câu 16: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một phân xưởng có $80\%$ công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân nữ có tay nghề cao là $40\%$ , tỉ lệ công nhân nam có tay nghề cao là $55\%$ . Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xương. Gọi $A$ là biến cố "Công nhân được chọn là nữ" và $B$ là biến cố "Công nhân được chọn có tay nghề cao".

a) Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là 0,8. Sai||Đúng

b) Xác suất của biến cố $B$ là 0,43. Đúng||Sai

c) $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Sai||Đúng

d) Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện $B$ là $\frac{11}{43}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một phân xưởng có $80\%$ công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân nữ có tay nghề cao là $40\%$ , tỉ lệ công nhân nam có tay nghề cao là $55\%$ . Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xương. Gọi $A$ là biến cố "Công nhân được chọn là nữ" và $B$ là biến cố "Công nhân được chọn có tay nghề cao".

a) Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là 0,8. Sai||Đúng

b) Xác suất của biến cố $B$ là 0,43. Đúng||Sai

c) $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập. Sai||Đúng

d) Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện $B$ là $\frac{11}{43}$ . Sai||Đúng

Vì $P(A) = 0,8$ nên $P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 0,2$ .

$P(AB) = 0,4.0,8 = 0,32$ , $P\left( \overline{A}B \right) = 0,11$ $\Rightarrow P(B) = P(AB) + P\left( \overline{A}B \right) = 0,43$ .

Vì $P(AB) = 0,32 \neq P(A).P(B)$ nên hai biến cố $A,B$ không phải hai biến cố độc lập.

$P\left( A|B \right) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0,4.0,8}{0,43} = \frac{32}{43}$ .
Câu 17: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = 1,\ AD = \sqrt{3}$ . Cạnh bên $SA = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện $\lbrack S,\ BD\ ,\ C\rbrack$ là $a{^\circ}$ . Tìm giá trị của $a$ .

Đáp án: 135

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = 1,\ AD = \sqrt{3}$ . Cạnh bên $SA = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện $\lbrack S,\ BD\ ,\ C\rbrack$ là $a{^\circ}$ . Tìm giá trị của $a$ .

Đáp án: 135

Ta có: $\lbrack S,\ BD\ ,\ C\rbrack = \left\lbrack (SBD),\ BD\ ,\ (CBD) \right\rbrack = 180{^\circ} - \left\lbrack (SBD),\ BD\ ,\ (ABD) \right\rbrack$

Trong $(ABCD)$ kẻ $AH\bot BD$ (1)

Ta có: $SA\bot(ABCD)$ , $BD \subset (ABCD) \Rightarrow SA\bot BD$ (2)

Mà $SA,\ AH \subset (SAH),\ SA \cap AH = A$ (3). Từ (1), (2), (3) suy ra $BD\bot(SAH)$

Nên $BD\bot SH$ . Khi đó $\left\lbrack (SBD),\ BD\ ,\ (ABD) \right\rbrack = \widehat{SHA}$ .

Tam giác $ABD$ vuông tại $A$ , có:

$\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{\left( \sqrt{3} \right)^{2}} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Tam giác $SAH$ vuông tại $A$ , có: $SA = AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên tam giác $SAH$ vuông cân tại $A$ .

$\Rightarrow \widehat{SHA} = 45{^\circ} \Rightarrow a{^\circ} = 180{^\circ} - 45{^\circ} = 135{^\circ}$ . Vậy $a = 135$ .
Câu 18: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng $x\ (m)$ , $0 \leq x \leq 2$ , là một hình vuông cạnh bằng $\sqrt{4 - x^{2}}\ \ (m)$ . Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,3

Đáp án là:

Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng $x\ (m)$ , $0 \leq x \leq 2$ , là một hình vuông cạnh bằng $\sqrt{4 - x^{2}}\ \ (m)$ . Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 5,3

Diện tích mặt cắt:

$S(x) = \left( \sqrt{4 - x^{2}} \right)^{2} = 4 - x^{2}$ .

Thể tích cái màn:

$V = \int_{0}^{2}{S(x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 4 - x^{2} \right)dx} = \left. \ \left( 4x - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{2} \approx 5,3\ \left( m^{3} \right)$ .
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;\ 60;\ 150)$ và $X(100; - 40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$ , với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30; - 20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a + b + c$ .

Đáp án: 100

Đáp án là:

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;\ 60;\ 150)$ và $X(100; - 40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$ , với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30; - 20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a + b + c$ .

Đáp án: 100

Ta cs phương trình đường thẳng $(TX):\left\{ \begin{matrix} x = 100 + 6t \\ y = - 40 - 10t \\ z = - 15t \end{matrix} \right.$ , $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp nên

$M(100 + 6t, - 40 - 10t, - 15t)$ , khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất khi $MA$ vuông góc vơi đường thẳng $(TX)$ .

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{TX} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 40}{19} \Rightarrow M\left( \frac{1660}{19};\frac{- 360}{19};\frac{600}{19} \right)$ .

Vậy $a + b + c = 100$ .
Câu 20: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 9,8

Đáp án là:

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 9,8

Gọi parabol $y = f(x)$ có dạng $f(x) = ax^{2} + bx + c$ . Parabol $y = f(x)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên ta có $\frac{- b}{2a} = 0 \Leftrightarrow b = 0$ . Lại có đồ thị hàm số $y = f(x)$ đi qua điểm $(0; - 1)$ và điểm $(2;0)$ nên $a = \frac{1}{4}$ và $c = - 1$ .

Vậy parabol $y = f(x) = \frac{1}{4}x^{2} - 1$ .

Tương tự, ta cũng có parabol $y = g(x) = \frac{1}{4}x^{2} + 2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $f(x)$ và $g(x)$ là: $\frac{1}{4}x^{2} - 1 = - \frac{1}{4}x^{2} + 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6}$ .

Khi đó, diện tích của logo là:

$S = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}{\left\lbrack \left( - \frac{1}{4}x^{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}x^{2} - 1 \right) \right\rbrack dx}\ \$

$= \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}{\left( 3 - \frac{1}{2}x^{2} \right)dx =}\left. \ \left( 3x - \frac{x^{3}}{6} \right) \right|_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} = 4\sqrt{6} \approx 9,8\left( dm^{2} \right)$
Câu 21: Vận dụng cao

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một người quản lí của một khu du lịch có $60$ căn hộ cho thuê, nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $5$ triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất (kết quả tính theo đơn vị là triệu đồng)?

Đáp án: 5,5

Đáp án là:

Một người quản lí của một khu du lịch có $60$ căn hộ cho thuê, nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $5$ triệu đồng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất (kết quả tính theo đơn vị là triệu đồng)?

Đáp án: 5,5

Gọi $x$ là số căn hộ bị bỏ trống, với $x\mathbb{\in N},\ x < 60$ .

Giá thuê mỗi căn hộ là $5 + \frac{x}{10}$ triệu đồng. Số căn hộ được thuê sau khi tăng giá là $60 - x$

Doanh thu của $60 - x$ căn hộ cho thuê là:

$(60 - x)\left( 5 + \frac{x}{10} \right) = - \frac{1}{10}x^{2} + x + 300$ .

Xét hàm số $f(x) = - \frac{1}{10}x^{2} + x + 300$ , với $x\mathbb{\in N},\ x < 60$ .

Ta có $f'(x) = \frac{- 1}{5}x + 1$ ; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$

Bảng biến thiên

Vậy phải bỏ trống 5 phòng thì sẽ đạt doanh thu cao lớn nhất. Hay giá của mỗi căn hộ là $5 + \frac{5}{10} = 5,5$ triệu đồng.
Câu 22: Thông hiểu

Ghi đáp án đúng vào ô trống

Một hộp chứa 5 viên bi màu xanh được đánh số lần lượt từ 1 đến 5 và 6 viên bi màu trắng được đánh số lần lượt từ 1 đến 6. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Biết rằng hai viên bi lấy ra cùng màu, tính xác suất của biến cố tích các số ghi trên hai viên bi chia hết cho 5.

Đáp án: 0,36

Đáp án là:

Một hộp chứa 5 viên bi màu xanh được đánh số lần lượt từ 1 đến 5 và 6 viên bi màu trắng được đánh số lần lượt từ 1 đến 6. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp. Biết rằng hai viên bi lấy ra cùng màu, tính xác suất của biến cố tích các số ghi trên hai viên bi chia hết cho 5.

Đáp án: 0,36

Gọi $A$ là biến cố "Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh"; $B$ là biến cố "Hai viên bi lấy ra cùng màu trắng"; $C$ là biến cố "Tích các số ghi trên hai viên bi chia hết cho 5 ". Ta cần tính $P\left( \left. \ C \right|A \cup B \right)$ .

Ta có:

$P(A) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{2}{11};P(B) = \frac{C_{6}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{3}{11}$ ;

$P\left( C\left| A \right.\ \right) = 1 - P\left( \overline{C}\left| A \right.\ \right) = 1 - \frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} = \frac{2}{5}$

$P\left( C\left| B \right.\ \right) = 1 - P\left( \overline{C}\left| B \right.\ \right) = 1 - \frac{C_{5}^{2}}{C_{6}^{2}} = \frac{1}{3}.$

Do đó

$P\left( \left. \ C \right|A \cup B\right) = \frac{P(CA) + P(CB)}{P(A) + P(B)}$ $= \frac{P\left( C\left| A\right.\ \right)P(A) + P\left( C\left| B \right.\ \right)P(B)}{P(A) +P(B)} = 0,36$ .