Giải bài tập Hình học 10 bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1 1.161

 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

VnDoc.com xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải bài tập Hình học 10 bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác. Lời giải bài tập Toán 10 Hình học này chắc chắn sẽ giúp các bạn học sinh giải bài tập Toán 10 một cách hiệu quả hơn. VnDoc.com mời các bạn học sinh và thầy cô tham khảo.

Giải bài tập Hình học 10 bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 1 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠B = 58o và cạnh a = 72cm. Tính ∠C, cạnh b và đường cao h.

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

- Ta có: ∠C = 90o - ∠B = 90o - 58o = 32o

- Ta có: b = BC.sin58o = a.sin58o = 61,06 (cm)

- Ta có: c = BC.cos58o = a.cos58o = 38,15 (cm)

Do đó:

h_a=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{c.b}{a}=\frac{38,15.61,06}{72}=\ 32,35\ \left(cm\right)

Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các góc ∠A, ∠B, ∠C.

Lời giải:

cos\hat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{85^2+54^2-52,1^2}{2.85.54} =0.81\Rightarrow \hat{A}=36^o

cos\hat{B} = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} = \frac{54^2+52,1^2-85,1^2}{2.54.52,1} =-0.28\Rightarrow \hat{B}=106^o28'

=>\ \angle C\ =\ 180^o-\angle A\ -\angle B=37^o32'

Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, các góc ∠B, ∠C của tam giác đó.

Lời giải:

- Ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccos∠A

= 82 + 52 - 2.8.5.cos120o

=64+25+80\frac{1}{2}=129

=>a=\sqrt{129}=11,36\ \left(cm\right)

Ta có: 

\frac{a}{sin\hat{A} } = \frac{b}{sin\hat{B} }\Rightarrow sin\hat{B}= \frac{b.sin\hat{A}}{a} =\frac{8.\frac{\sqrt{3} }{2} }{11,36} =\frac{4.\sqrt{3} }{11,36} =0,61

=> ∠B = 37o34'

=> ∠C = 180o - (∠A + ∠B)

= 180o - (120o + 37o34') = 22o26'

Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Lời giải:

Ta có:

p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+9+12}{2}=14

p-a=7

p-b=5

p-c=2

Vậy S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{14.7.5.2}=7.2.\sqrt{5}=14\sqrt{5}=31,3\left(đvdt\right)

Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o. Tính cạnh BC, cho biết cạnh AC = m và cạnh AB = n.

Lời giải:

Ta có: BC2 = AC2 + AB2 - 2.AB.AC.cos∠A

= m2 + n2 - 2.m.n.cos120o

= m2 + n2 + mn

BC=\sqrt{m^2+n^2+m.n}

Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10): Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Lời giải:

a) Ta có:

cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{8^2+10^2-13^2}{2.8.10}\frac{ }{ }\sim-0,031

Vậy \angle C\ =\ 91^{o} 47^{'}

Vậy trong tam giác có góc C là góc tù.

b) 

Ta có: 

AM^2=\frac{2\left(AC^2+AB^2\right)-BC^2}{4}=\frac{2\left(10^2+13^2\right)-8^2}{4}=118,5

VậyAM\ =\ \sqrt{118,5}=10,89

Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm;

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

Lời giải:

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất suy ra là góc C là góc lớn nhất.

cos\hat{C} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2+4^2-6^2}{2.3.4} =\frac{-11}{24} =-0,458

Vậy \angle C=117^o16'

b, Cạnh a = 40cm lớn nhất suy ra góc A là góc lớn nhất.

cos\hat{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{13^2+37^2-40^2}{2.13.37} =-0,0644

Vậy \angle A=93^o41'

Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, ∠B = 83o và ∠C = 57o. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Lời giải:

Ta có: ∠A = 180o - (∠B + ∠C) = 180o - (83o + 57o) = 40o

Áp dụng định lí sin ta có:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

Từ đó suy ra: 

\Rightarrow\ R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{137,5}{2\sin40^o}=106,96cm

=>b=2R.\sin B=2.106,96.\sin83^o=212,33cm

=>c=2R.\sin C=2.106,96.\sin57^o=179,41cm

Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n. Chứng minh rằng: m2 + n2 = 2(a2 + b2).

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD, đồng thời BO là trung tuyến của ΔABC.

Suy ra:

BO^2=\frac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}=\frac{2\left(a^2+b^2\right)-n^2}{4}

BO=\frac{1}{2}BD;\ nên\ BO^2=\frac{1}{4}BD^2=\frac{m^2}{4}

Nên\ \frac{m^2}{4}=\frac{2\left(a^2+b^2\right)-n^2}{4}

⇔ m2 + n2 = 2(a2 + b2) (đpcm)

Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10): Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc ∠BPA = 35o và ∠BQA = 48o. Tính chiều cao của tháp.

Lời giải:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

ΔAPB vuông tại A có ∠APB = 35o

=> AP = ABcot35o (1)

ΔAQB vuông tại A có ∠AQB = 35o

=> AQ = ABcot48o (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

PQ = AP - AQ = AB(cot35o - cot48o)

\Rightarrow\ AB=\frac{300}{\cot35^o-\cot48^o}=586,457m

Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10): Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ∠DA1C1 = 49o và ∠DB1C1 = 35o. Tính chiều cao CD của tháp đó.

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Lời giải:

Ta có: A1B1 = AB = 12 m

Xét ΔDC1A1 có: C1A1 = C1D.cot49o

Xét ΔDC1B1 có: C1B1 = C1D.cot35o

Mà A1B1 = C1B1 - C1A1 = C1D.cot35o - C1D.cot49o

= C1D.(cot35o - cot49o)

\Rightarrow\ C_1D=\frac{A_1B_1}{\cot35^o-\cot49^o}=\frac{12}{\cot35^o-\cot49^o}=21,47m

=> Chiều cao CD của tháp là:

CD=1,3+21,47=22,77m

Đánh giá bài viết
1 1.161
Giải bài tập Toán lớp 10 Xem thêm