Giải bài tập Toán 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

12 2.300

Toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là tài liệu tham khảo hay được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kì thi học kì mới môn Toán của các bạn học sinh lớp 9 trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo

Bài 58 trang 32 sgk Toán 9 - tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5};

b) \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5};

c) \sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt{18}+\sqrt{72};

d)\ 0,1.\sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+0,4.\sqrt{50}.

Hướng dẫn giải: 

a) Ta có:

a, 5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}

= \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5

= \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5
= \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5
= \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5
= \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5

b) Ta có:

\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}

= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}}
= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}}
= \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}}
= \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}}
= \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}}
= 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }}
= 9.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{9\sqrt 2 } \over 2}

c) Ta có:

\sqrt {20} - \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72}
= \sqrt {4.5} - \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2}

= \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2}
= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2
= 2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2
= \left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right)
= \left( {2 - 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2
= - \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 - \sqrt 5

d) Ta có:

0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50}
= 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2}
= 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2}
= 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2
= 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2
= \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2

Bài 59 trang 32 sgk Toán 9 - tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

a, 5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a};

b, 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}

=5\sqrt a - 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}

=5\sqrt a - 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}

=5\sqrt a - 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}

=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}

=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})

=(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}

b) Ta có:

5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}

=5a\sqrt{8^2.b^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{9^2.a^2.ab}

=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{(9a)^2.ab}

=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}-5b.9a\sqrt{ab}

=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}

=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}

=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}

=(40-45)ab\sqrt{ab}

=-5ab\sqrt{ab}.

Bài 60 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1

Cho biểu thức:

B=\sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\ với\ x\ge-1

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Hướng dẫn giải: 

a) Ta có:

B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}

= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}

= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}

= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}

=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}

=4\sqrt{x+1}.

b) Ta có:

B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1} = 16

\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4}

\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4

\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2}

\Leftrightarrow x + 1 = 16

\Leftrightarrow x = 16 - 1

\Leftrightarrow\ x=15\ (thỏa\ mãn)

Bài 61 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt 6}{6}

b)\left(x\sqrt{\frac{6}{x}}+\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right):\sqrt{6x}=\frac{7}{3}\ với\ x>0.

Hướng dẫn giải: 

a) Biến đổi vế trái ta có:

VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}

=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}

=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}

=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}

=3\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}+2\dfrac{\sqrt 6 .2}{3.2}-4\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}

=9\dfrac{\sqrt 6}{6}+4\dfrac{\sqrt 6}{6}-12\dfrac{\sqrt 6}{6}

=(9+4-12)\dfrac{\sqrt 6}{6}=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP

b) Biến đổi vế trái ta có:

VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}} + \sqrt {\dfrac{2x}{3}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}

= \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}
= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}
= \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}
= \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x}
= \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x}
= {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x}
= {7 \over 3}\sqrt {6x} .{1 \over {\sqrt {6x} }} = \dfrac{7}{3} =VP.

Bài 62 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}};

b) \sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6};

c) (\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84};

d) (\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}.

Hướng dẫn giải: 

a) Ta có:

\dfrac{1}{2}\sqrt{48}-2\sqrt{75}-\dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{1\dfrac{1}{3}}

=\dfrac{1}{2}\sqrt{16. 3}-2\sqrt{25. 3}-\dfrac{\sqrt{3.11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{1.3+1}{3}}

=\dfrac{1}{2}\sqrt{4^2. 3}-2\sqrt{5^2. 3}-\dfrac{\sqrt 3.\sqrt{11}}{\sqrt{11}}+5\sqrt{\dfrac{4}{3}}

=\dfrac{1}{2}.4\sqrt{ 3}-2.5\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt 4}{\sqrt 3}

=\dfrac{4}{2}\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{\sqrt{4}.\sqrt 3}{\sqrt{3}.\sqrt {3}}

=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+5\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

=2\sqrt{ 3}-10\sqrt{3}-\sqrt{3}+10\dfrac{\sqrt{3}}{3}

= \left( {2 - 10 - 1 + \dfrac{10}{3} }\right)\sqrt 3

=-\dfrac{17}{3}\sqrt 3

b) Ta có:

\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}

=\sqrt{25. 6}+\sqrt{1,6. 60}+4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}-\sqrt{6}

=\sqrt{5^2. 6}+\sqrt{1,6. (6.10)}+4,5\sqrt{\dfrac{8}{3}}-\sqrt{6}

=5\sqrt{ 6}+\sqrt{(1,6. 10).6}+4,5\dfrac{\sqrt 8}{\sqrt 3}-\sqrt{6}

=5\sqrt{ 6}+\sqrt{16.6}+4,5\dfrac{\sqrt 8 . \sqrt 3}{ 3}-\sqrt{6}

=5\sqrt{ 6}+\sqrt{4^2.6}+4,5\dfrac{\sqrt {8 .3}}{ 3}-\sqrt{6}

= 5\sqrt{6}+4\sqrt{ 6}+4,5. \dfrac{\sqrt{4.2. 3}}{3}-\sqrt{6}

=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+4,5. 2\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}

=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+9\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\sqrt{6}

=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-\sqrt{6}

=(5+4+3-1)\sqrt{6}=11\sqrt{6}.

Cách 2: Ta biến đổi từng hạng tử rồi thay vào biểu thức ban đầu:

\sqrt{150}=\sqrt{25.6}=5\sqrt 6

\sqrt{1,6.60}=\sqrt{1,6.(10.6)}=\sqrt{(1,6.10).6}=\sqrt{16.6} =4\sqrt{6}

4,5.\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{2.3+2}{3}}=4,5.\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\frac{9}{2} .\frac{\sqrt{8.3} }{3} =\frac{\sqrt{24} }{2} =2\sqrt{6}

Do đó:

\sqrt{150}+\sqrt{1,6}. \sqrt{60}+4,5. \sqrt{2\dfrac{2}{3}}-\sqrt{6}

=5\sqrt 6+4\sqrt 6+3\sqrt 6 - \sqrt 6

=(5+4+3-1)\sqrt 6=11\sqrt{6}

c) Ta có:

=(\sqrt{28}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{84}

=(\sqrt{4.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{4.21}

=(\sqrt{2^2.7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+\sqrt{2^2.21}

=(2\sqrt{7}-2\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{7}+2\sqrt{21}

= 2\sqrt{7}.\sqrt{7}-2\sqrt{3}.\sqrt{7}+\sqrt{7}.\sqrt{7}+2\sqrt{21}

=2.(\sqrt{7})^2-2\sqrt{3.7}+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{21}

=2.7-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}

=14-2\sqrt{21}+7+2\sqrt{21}

=14+7=21

d) Ta có:

(\sqrt{6}+\sqrt{5})^{2}-\sqrt{120}

=(\sqrt 6)^2+2.\sqrt 6 .\sqrt 5+(\sqrt 5)^2-\sqrt{4.30}

=6+2\sqrt{6.5}+5-2\sqrt{30}

=6+2\sqrt{30}+5-2\sqrt{30}=6+5=11.

Bài 63 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1: Rút gọn biểu thức sau:

Toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 64 trang 33 sgk Toán 9 - tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

Toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 65 trang 34 sgk Toán 9 - tập 1: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\ với\ a>0\ và\ a\ne1.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

M={\left(\dfrac{1}{a -\sqrt a} +\dfrac{1}{\sqrt a -1}\right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{a -2\sqrt a+1}

={\left(\dfrac{1}{\sqrt a .\sqrt a -\sqrt a .1}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a)^2 -2\sqrt a+1}

={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{1}{\sqrt a -1} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}

={\left(\dfrac{1}{\sqrt a(\sqrt a -1)}+\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} \right)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}

=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} : \dfrac{\sqrt a +1}{(\sqrt a -1)^2}

=\dfrac{1+\sqrt a}{\sqrt a(\sqrt a -1)} . \dfrac{(\sqrt a -1)^2}{\sqrt a +1}

=\dfrac{1}{\sqrt a} . \dfrac{\sqrt a -1}{1}=\dfrac{\sqrt a -1}{\sqrt a}

=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt a} =1 -\dfrac{1}{\sqrt a}

Vì\ a>0\Rightarrow\sqrt{a}>0\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}>0\Rightarrow1-\frac{1}{\sqrt{a}}<1.

Vậy M < 1.

Bài 66 trang 34 sgk Toán 9 - tập 1

Toán lớp 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Đánh giá bài viết
12 2.300
Giải bài tập Toán lớp 9 Xem thêm