Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1 chương 4

Bất đẳng thức

1 349

Toán 10 - Bất đẳng thức

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1 chương 4, tài liệu gồm 14 bài tập trang 106 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh rèn luyện giải bài tập Toán lớp 10 một cách hiệu quả hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1 chương 3

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 2 chương 3

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 3 chương 3

Giải bài tập Toán 10 SBT ôn tập chương 3

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1

Bài 1 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}$

Gợi ý làm bài

${x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0$

$\Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0 \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0$

$\Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0 \Leftrightarrow {(x - y)^2}({(x + {y \over 2})^2} + {{3{y^2}} \over 4}) \ge 0$ (đúng)

Bài 2 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z$

Gợi ý làm bài

${x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4{y^2} - 12y + 3({z^2} - 2z) + 14 > 0$

$\Leftrightarrow {(x - 1)^2}{(2y - 3)^2} + 3{(z - 1)^2} + 1 > 0$ (đúng)

Bài 3 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b$

Gợi ý làm bài

Giải bài tập Toán 10 SBT bài 1 chương 4

$\Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b - \sqrt {ab} ) \ge (\sqrt a + \sqrt b )\sqrt {ab}$

$\Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b )(a + b - 2\sqrt {ab} ) \ge 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt a + \sqrt b ){(\sqrt a - \sqrt b )^2} \ge 0$ (đúng)

Bài 4 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}$

Gợi ý làm bài

Từ ${1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}}$ và $a + b \ge 2\sqrt {ab}$ suy ra

$(a + b)({1 \over a} + {1 \over b}) \ge 4$ hay ${1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}$

Bài 5 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${{a + b + c + d} \over 4}$ ≥ $\sqrt[4]{abcd}$

Gợi ý làm bài

Từ $a + b \ge 2\sqrt {ab}$ và $c + d \ge 2\sqrt {cd}$ suy ra

$a + b + c + d \ge 2(\sqrt {ab} + \sqrt {cd} )$

$= > 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} }$

$=> {{a + b + c + d} \over 4}$ ≥ $\sqrt[4]{abcd}$

$=> a + b + c + d \ge 2.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} }$

$=> {{a + b + c + d} \over 4}$ ≥ $\sqrt[4]{abcd}$

Bài 6 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}$

Gợi ý làm bài

Từ $a + b + c + d \ge$ $\sqrt[4]{abcd}$

${1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge$ $4\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}$

Suy ra $(a + b + c + d)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d}) \ge 16$

Hay ${1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} + {1 \over d} \ge {{16} \over {a + b + c + d}}$

Bài 7 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${a^2}b + {1 \over b} \ge 2a$

Gợi ý làm bài

${a^2}b + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{a^2}b.{1 \over b}} = 2a$

Bài 8 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

$(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$

Gợi ý làm bài

Từ $a + b \ge 2\sqrt {ab} ,b + c \ge 2\sqrt {bc} ,c + a \ge 2\sqrt {ca}$

Suy ra: $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$

Bài 9 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${(\sqrt a + \sqrt b )^2} \ge 2\sqrt {2(a + b)\sqrt {ab} }$

Gợi ý làm bài

${(\sqrt a + \sqrt b )^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \ge 2\sqrt {(a + b).2\sqrt {ab} }$

Bài 10 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

${1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}$

Gợi ý làm bài

$(a + b + c)({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}) = 1 + 1 + 1 + ({a \over b} + {b \over a}) + ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b})$

$\ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 = > {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {9 \over {a + b + c}}$

Bài 11 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y = {4 \over x} + {9 \over {1 - x}}$ với 0 < x < 1.

Gợi ý làm bài

$y = {{4(x + 1 - x)} \over x} + {{9(x + 1 - x)} \over {1 - x}}$

$=4 + 9 + {{4(1 - x)} \over x} + 9.{x \over {1 - x}} \ge 13 + 2\sqrt {4.{{(1 - x)} \over x}.9.{x \over {1 - x}}} = 25$

$=> y \ge 25,\forall x \in (0;1)$

Đẳng thức y = 25 xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{{{4(1 - x)} \over x} = {{9x} \over {1 - x}} = 6 \hfill \cr x \in (0;1) \hfill \cr} \right.$

hay $x = {2 \over 5}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 25 đạt tại $x = {2 \over 5}$

Bài 12 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

$y = 4{x^3} - {x^4}$ với $0 \le x \le 4$

Gợi ý làm bài

$y = 4{x^3} - {x^4} = {x^3}(4 - x)$

$=> 3y = x.x.x(12 - 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 - 3x} \over 2})^2}$

$= > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 - 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 - 2x} \over 2})^4} = {6^4}$

$= > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]$

$y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x \hfill \cr x = 12 - 3x \hfill \cr 2x = 12 - x \hfill \cr x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3$