Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

1 746

Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Phương pháp quy nạp toán học

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, nội dung tài liệu gồm 5 bài tập kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn môn Toán. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Lời giải:

a. Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = (3 + 1)/2

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+3k – 1 = k(3k+1)/2 (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Vậy (3) đúng với n = 1

*giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)2

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 => A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: Ak+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 – 1

= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = Ak + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, hơn nữa:

3(4k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k≥ 1 nên Ak+1 chia hết 9

Vậy An = 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 => U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: Uk+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

Uk chia hết 6, hơn nữa 3(k2 + k + 4) = 3(k(k+1)+4) chia hết 6 ∀k≥ 1 (2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: Uk+1 chia hết 6

Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a. 3n > 3n + 1

b. 2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a.3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) <=> 8 > 7

Luôn luôn đúng khi x = 2

+ giả thiết mệnh đề (1) đúng khi

n = k ≥ 2, nghĩa là 3k > 3k + 1

Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

3k+1 = 3.3k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)

3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2)

Vậy 3k+1 >3(k + 1) + 1

Mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ≥ 2

b. 2k+1 > 2n + 3

+Với n = 2, ta có: 23 = 8 > 2.2 + 3 = 7

Vậy mệnh đề đúng khi x = 2.

+ giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3 (2)

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh:

2[(k+1)+1] > 2(k + 1) + 3 hay 2k+2 > 2k + 5

Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được:

2k+1.2 = 2k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)

Mà k ≥ 2 => 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5

(3) => 2k+1 > 2k + 5 (2)

Mệnh đề đúng với n = k + 1 nên cũng đúng ∀ n ∈ N*.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

a. Tính S1, S2, S3

b. Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

Với n = 1 thì (1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k, ta có:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*

Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2

Lời giải:

Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là Cn2 đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là:

Giải bài tập Toán 11 Phương pháp quy nạp toán học

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Hóa học lớp 10, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Hóa học lớp 12, Thi thpt Quốc gia môn Văn, Thi thpt Quốc gia môn Lịch sử, Thi thpt Quốc gia môn Địa lý, Thi thpt Quốc gia môn Toán, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 746
Giải bài tập Toán lớp 11 Xem thêm