Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

34 34.287

Giải bài tập trang 36, 37 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp. Lời giải bài tập Toán 11 này hướng dẫn các bạn học sinh giải các bài tập được tổng hợp trong SGK trang 36, 37, từ đó các bạn sẽ hiểu và nắm chắc bài học hơn. Mời các bạn tham khảo.

Giải bài tập Toán 11 1, 2, 3, 4, 5, 6 SGK Giải tích 11: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 1 Trang 36 SGK Giải tích lớp 11

sin²x - sinx = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)

Lời giải chi tiết

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x - \sin x = 0\\\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}

Vậy nghiệm của phương trình là x = k\pi hoặc x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)

Bài 2 Trang 36 SGK Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;     

b) 2sin2x + √2sin4x = 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1] ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1; 1/2}.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2 ⇔ x = ±π/3 + k2π.

Đáp số: x = k2π; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với:

\begin{array}{l}\,\,\,2\sin 2x + \sqrt 2 \sin 4x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin 2x\cos 2x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {1 + \sqrt 2 \cos 2x} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\1 + \sqrt 2 \cos 2x = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}

Vậy nghiệm của phương trình là x = \frac{{k\pi }}{2} hoặc x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right).

Bài 3 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) sin²(x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0;      b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0;          d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

\begin{array}{l} a)\,\,{\sin ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} - 3 = 0 \end{array}

Đặt t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right] thì phương trình trở thành

\begin{array}{l}{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\Khi\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k2\pi\\ \Leftrightarrow x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}

Vậy nghiệm của phương trình là: x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right).

\begin{array}{l}b)\,\,8{\cos ^2}x + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8{\sin ^2}x - 2\sin x - 1 = 0\end{array}

Đặt t = sinx, t ∈ [-1; 1] thì phương trình trở thành

\begin{array}{l}8{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}

c) ĐK: \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 1 \hfill \cr t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.

\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr \tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.

\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z}) (tm)

d) ĐK: \left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)

\begin{array}{l}\,\,\,\,\tan x - 2\cot x + 1 = 0\\\Leftrightarrow \tan x - \frac{2}{{\tan x}} + 1 = 0\\\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x - 2 = 0\end{array}

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

\begin{array}{l}{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) (tm)\end{array}

Bài 4 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = 1/2

d) 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

a) \,2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0

Khi \cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1, khi đó ta có 2.1 + 0 - 0 = 0 (vô nghiệm)

\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)

Chia cả hai vế của phương trình cho {\cos ^2}x ta được:

2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.

Với \,\,t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)

Với \,\,t = - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x = - {3 \over 2}

\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)

Vậy nghiệm của phương trình là:

x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\, hoặc \,\,x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

b) \,3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2

Khi \cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1, khi đó ta có 3.1 - 0 + 0 = 2 (vô nghiệm)

\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)

Chia cả hai vế của phương trình cho {\cos ^2}x ta được:

\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr}

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

{t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.

Với \,t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)

Với \,t = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)

Vậy nghiệm của phương trình là x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\, hoặc \,\,x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

\eqalign{ & c)\,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr}

Khi \cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1, khi đó ta có 2 + 0 - 0 = 1 (vô nghiệm)

\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)

Chia cả hai vế của phương trình cho {\cos ^2}x ta được:

\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1 \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr}

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

{t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 5 \hfill \cr} \right.

Với \,t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)

Với \,t = - 5 \Rightarrow \tan x = - 5\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)

Vậy nghiệm của phương trình là :

x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\, hoặc \,\,x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

\eqalign{ & d)\,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4 \cr}

Khi \cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1, khi đó ta có 0 + 0 - 4 = - 4 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) là nghiệm của phương trình.

Khi \,\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)

Chia cả hai vế của phương trình cho {\cos ^2}x ta được:

\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x = - 4{\tan ^2}x - 4 \cr & \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6 \cr & \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }} \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\, hoặc \,\,x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

Bài 5 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

Giải các phương trình sau:

a) cosx – √3sinx = √2         

b) 3sin3x – 4cos3x = 5

c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0     

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

\eqalign{ & a)\,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi \over 3} - \sin x\sin {\pi \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \,\, hoặc \,\,x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

\eqalign{ & b)\,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \cr & \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr}

Đặt \left\{ \matrix{ \sin \alpha = {3 \over 5} \hfill \cr \cos \alpha = {4 \over 5} \hfill \cr} \right., phương trình trở thành:

\eqalign{ & \,\,\,\,\,\sin 3x\sin \alpha - \cos 3x\cos \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \alpha } \right) = - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x + \alpha = \pi + k2\pi \cr & \Leftrightarrow 3x = \pi - \alpha + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\, (Với \,\sin \alpha = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha = {4 \over 5}).

\eqalign{ & c)\,\,2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin x\sin {\pi \over 4} + \cos x\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - {\pi \over 4} = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x - {\pi \over 4} = - {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \, hoặc \,x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

\eqalign{ & d)\,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr}

Đặt \left\{ \matrix{ {5 \over {13}} = \cos \alpha \hfill \cr {{12} \over {13}} = \sin \alpha \hfill \cr} \right., khi đó phương trình trở thành

\eqalign{ & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha + \sin 2x\sin \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\, với \,\,\sin \alpha = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha = {5 \over {13}}.

Bài 6 Trang 37 SGK Giải tích lớp 11

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan(x + π/4) = 1

Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

a)\,\,\tan \left( {2x + 1} \right)\tan \left( {3x - 1} \right) = 1

ĐK: \left\{ \matrix{ \cos \left( {2x + 1} \right) \ne 0 \hfill \cr \cos \left( {3x - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right.

\eqalign{ & pt \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 1} \right) = {1 \over {\tan \left( {3x - 1} \right)}} = \cot \left( {3x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow \tan \left( {2x + 1} \right) = \tan \left( {{\pi \over 2} - 3x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi \over 2} - 3x + 1 + k\pi \cr & \Leftrightarrow 5x = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}\,\,\left( {k \in Z} \right).

b)\,\,\tan x + \tan \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1

ĐK: \left\{ \matrix{ \cos x \ne 0 \hfill \cr \cos \left( {x + {\pi \over 4}} \right) \ne 0 \hfill \cr \tan x \ne 1 \hfill \cr} \right.

\eqalign{ & PT \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x - {\tan ^2}x + \tan x + 1 = 1 - \tan x \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan x\left( {\tan x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 0 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) (tm) \cr}

Vậy nghiệm của phương trình là x = k\pi \,\, hoặc \,\,x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).

Bài tiếp theo: 

Đánh giá bài viết
34 34.287
Giải bài tập Toán lớp 11 Xem thêm