Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn. Tài liệu giúp bạn nắm chắc kiến thức của bài Nhị thức Niu - tơn thông qua việc hướng dẫn giải các bài tập được nêu trong SGK. Mời các bạn tham khảo.

Giải bài tập trang 54, 55 SGK Giải tích 11: Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

Giải bài tập trang 46 SGK Giải tích 11: Quy tắc đếm

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 57, 58 SGK Giải tích 11: Nhị thức Niu - tơn

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

a) (a + 2b)5 b) (a - √2)6 c) (x - 1/x)13

Bài giải:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)5 = a5 + 5a4(2b) + 10a3(2b)2 + 10a2(2b)3 + 5a(2b)4 + (2b)5
= a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - √2)6 = [a + (-√2)]6 = a6 + 6a5 (-√2) + 15a4 (-√2)2 + 20a3 (-√2)3 + 15a2 (-√2)4 + 6a(-√2)5 + (-√2)6 = a6 - 6√2a5 + 30a4 - 40√2a3 + 60a2 - 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 2. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Bài giải:

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 - 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi
Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là: 2 . C16 = 2 . 6 = 12.

Bài 3. Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.

Bài giải:

Với số thực x ≠0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là 32C2n. Theo giả thiết, ta có:

32C2n = 90 => C2n = 10.

Từ đó ta có: Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11= 10 ⇔ n(n - 1) = 20.

⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

Đáp số: n = 5.

Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x3 + 1/x)8

Bài giải:

Ta có: Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Trong tổng này, số hạng Ck8 x24 - 4k không chứa x khi và chỉ khi

Giải bài tập trang 57, 58 SGK Giải tích 11

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu - Tơn) của biểu thức đã cho là C68 = 28.

Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Bài giải:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)17 bằng:

f(1) = (3 – 4)17 = (– 1)17 = -1.

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) 1110 – 1 chia hết cho 100;
b) 101100 – 1 chia hết cho 10 000;
c) √10[(1 + √10)100 – (1- √10)100] là một số nguyên.

Bài giải:

a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210 102 + ... +C910 109 + 1010) – 1

= 102 + C210 102 +...+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101100 – 1 = (1 + 100)100 - 1

= (1 + C1100 100 + C22100 1002 + ...+ C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002 + C2100 1002 + ...+ C99100 10099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.

c) (1 + √10)100 = 1 + C1100 √10 + C2100 (√10)2 +...+ C99100 (√10)99 + C100100 (√10)100

(1 - √10)100 = 1 - C1100 √10 + C2100 (√10)2 -...- C99100 (√10)99 + C100100 (√10)100

√10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] = 2√10[C1100 √10 + C3100 (√10)3 +...+ C99100 (√10)99]

= 2(C1100 10 + C3100 102 +...+ C99100 1050)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 - √10)100] là một số nguyên.

Đánh giá bài viết
4 5.491
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Giải bài tập Toán lớp 11 Xem thêm