Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

1 77

Toán 11 - Phương pháp quy nạp toán học

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ rèn luyện giải bài tập Toán nhanh và hiệu quả hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 11 bài 1

Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*)

a) 2+5+8+...+(3n−1)=n(3n+1)/2

b) 3+9+27+...+3n=1/2(3n+1−3)

Giải:

a) Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có Sk=k(3k+1)/2 với k≥1.

Ta phải chứng minh Sk+1=(k+1)(3k+4)/2

Thật vậy

Sk+1=Sk+3(k+1)−1

=k(3k+1)/2+3k+2

=3k2+k+6k+4/2

=3k2+7k+4/2

=(k+1)(3k+4)/2(đpcm)

b) Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).

Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) 12+32+52+...+(2n−1)2=n(4n2−1)/3

b) 13+23+33+...+n3=n2(n+1)2/4

Giải:

a) Đặt vế trái bằng Sn

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1(4.1−1)/3=1

Giả sử đã có Sk=k(4k2−1)/3 với k≥1. Ta phải chứng minh

Sk+1=(k+1)[4(k+1)2−1]/3

Thật vậy, ta có

Sk+1=Sk+[2(k+1)−1]2=Sk+(2k+1)2

=k(4k2−1)/3+(2k+1)2

=(2k+1)[k(2k−1)+3(2k+1)]/3

=(k+1)(2k2+5k+3)/3

=(k+1)(2k+3)(2k+1)/3

=(k+1)[4(k+1)2−1]/3

b) Đặt vế trái bằng An

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có Ak=k2(k+1)2/4,(k≥1)

Ta có:

Ak+1=Ak+(k+1)3

=k2(k+1)2/4+(k+1)3

=(k+1)2(k2+4k+4)/4

=(k+1)2(k+2)2/4

Bài 1.3 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có

a) 2n3−3n2+n chia hết cho 6.

b) 11n+1+122n−1 chia hết cho 133.

Giải:

a) HD: Đặt Bn=2n3−3n2+n tính B1

Giả sử đã có Bk=2k3−3k2+k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh Bk+1=2(k+1)3−3(k+1)2+k chia hết cho 6.

b) Đặt An=11n+1+122n−1 Dễ thấy A1=133 chia hết cho 133.

Giả sử Ak=11k+1+122k−1 đã có chia hết cho 133.

Ta có

Ak+1=11k+2+122k+1

=11.11k+1+122k−1.122

=11.11k+1+122k−1(11+133)

=11.Ak+133.122k−1

Vì Ak⋮133Ak⋮133 nên Ak+1⋮133

Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

a) 2n+2>2n+5;

b) sin2nα+cos2nα≤1

Giải:

a) Với n = 1 thì 21+2=8>7=2.1+5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là 2k+2>2k+5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là 2k+3>2(k+1)+5 hay 2k+3>2k+7 (2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k+3>4k+10=2k+7+2k+3

Vì 2k+3>0 nên 2k+3>2k+7(đpcm)

b) Với n = 1 thì sin2α+cos2α=1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có sin2kα+cos2kα≤1 với k≥1, ta phải chứng minh

sin2k+2α+cos2k+2α≤1

Thật vậy, ta có:

sin2k+2α+cos2k+2αsin2k+2α+cos2k+2α

=sin2kα.sin2α+cos2kα.cos2α≤sin2kα+cos2kα≤1

Bài 1.5 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có

a) 2n>2n+1

b) 2n>n2+4n+5

c) 3n>2n+7n?

Giải:

Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

Phương pháp: Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

a) Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n≥3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 23 = 8 > 2.3 + 1 = 7

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là 2k>2k+1 (1)

ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

2k+1>2k+3 (2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k+1>4k+2=2k+3+2k−1>2k+3

b) HD: Dùng phép thử.

Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi n = 7. Ta có thể làm tiếp để đi tới dự đoán: Với thì bất phương trình được nghiệm đúng. Sau đó chứng minh tương tự như câu a).

c) Làm tương tự như câu a) và câu b).

Bài 1.6 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho tổng

Sn=1/1.5+1/5.9+1/9.13+...+1/(4n−3)(4n+1)

a) Tính S1,S2,S3,S4

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải:

a) Tính

S1=1/5,S2=2/9,S3=3/13,S4=4/17

b) Viết lại

S1=1/5=1/4.1+1,S2=2/9=2/4.2+1

S3=3/4.3+1,S4=4/4.4+1

Ta có thể dự đoán Sn=n/4n+1

Bài 1.7 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho n số thực a1,a2,...,an thoả mãn điều kiện

−1<ai≤0 với i=1, n¯

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có

(1+a1)(1+a2)...(1+an)≥1+a1+a2+...+an

Giải:

Với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥1 tức là

(1+a1)(1+a2)...(1+ak)≥1+a1+a2+...+ak (1)

Nhân hai vế của (1) với 1+ak+1 ta được

(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≥(1+a1+a2+…+an)(1+ak+1)

=1+a1+a2+…+ak+ak+1+a1ak+1+a2ak+1+…+akak+1

Vì a1ak+1+a2ak+1+...+ak.ak+1>0 nên

(1+a1)(1+a2)...(1+ak)(1+ak+1)≥1+a1+a2+...+ak+ak+1, nghĩa là bất đẳng thức đúng với n=k+1.

Bài 1.8 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với các số thực a1,a2,a3,...,an(n∈N∗), ta có

\left| {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right| \le \left| {{a_1}} \right| + \left| {{a_2}} \right| + ... + \left| {{a_n}} \right|

Giải:

Với n = 1 thì |a1|=|a1|

Với n = 2 thì |a1+a2|≤|a1|+|a2|. Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc và dấu bằng xảy ra khi a1,a2$ cùng dấu.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2. Đặt a1+a2+...+ak=A ta có

|A|≤|a1|+|a2|+...+|ak| (1)

Mà |A+ak+1|≤|A|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+...+|ak|+|ak+1|

Nên |a1+a2+...+ak+ak+1|≤|a1|+|a2|+...+|ak|+|ak+1|, tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 77
Giải Vở BT Toán 11 Xem thêm