Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

1 108

 Toán 11 - Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân, chắc chắn tài liệu sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3

Bài 1 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng

a) n5−n chia hết cho 5 với mọi n∈N∗;

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9;

c) n3−n chia hết cho 6 với mọi n∈N∗;

Giải:

a) HD: Xem ví dụ 1

b) HD: Đặt An=n3+(n+1)3+(n+2)3 dễ thấy A1⋮9A1⋮9

Giả sử đã có A1⋮9 với k≥1. Ta phải chứng minh Ak+1⋮9

Tính Ak+1=Ak+9k2+27k+27

c) Làm tương tự như 1.a).

Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

a) An=1/1.2.3+1/2.3.4+...+1/n(n+1)(n+2)=n(n+3)/4(n+1)(n+2)

b) Bn=1+3+6+10+...+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6

c) Sn=sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx=\frac{\sin\frac{nx}{2}.\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}

Giải:

a) HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

Ak+1=Ak+1/(k+1)(k+2)(k+3)

b) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho Bk=k(k+1)(k+2)/2

Ta cần chứng minh

Bk+1=(k+1)(k+2)(k+3)/2 bằng cách tính Bk+1=Bk+(k+1)(k+2)/2

c) HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có S_k=\frac{\sin\frac{kx}{2}.\sin\frac{\left(k+1\right)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}

Viết Sk+1=Sk+sin(k+1)x sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

S_{_{k+1}}=\frac{\sin\frac{(k+1)x}{2}.\sin\frac{(k+2)}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}(đpcm)

Bài 3 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) 3n−1>n(n+2) với n≥4;

b) 2n−3>3n−1với n≥8

Giải:

a) Với n = 4 thì 34−1=27>4(4+2)=24

Giả sử đã có

3k−1>k(k+2) với k≥4 (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

3.3k−1=3(k+1)−1>3k(k+2)

=(k+1)[(k+1)+2]+2k2+2k−3

3.3k−1=3(k+1)−1>3k(k+2)

=(k+1)[(k+1)+2]+2k2+2k−3

Do 2k2+2k−3>0 nên 3(k+1)−1>(k+1)[(k+1)+2] chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1

b) Giải tương tự câu a).

Bài 4 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un):

{u1=1,u2=2;un+1=2un−un−1+1 với n≥2

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số (vn) với vn=un+1−un. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;

c) Tìm công thức tính (un) theo n.

Giải:

a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11

b) Từ công thức xác định dãy số ta có

un+1=2un−un−1+1hay un+1−un=un−un−1+1 (1)

Vì vn=un+1−un nên từ (1), ta có

vn=vn−1+1 với n≥2 (2)

Vậy (vn) là cấp số cộng với v1=u2−u1=1 công sai d = 1

c) Để tính (un) ta viết

v1=1

v2=u3−u2

v3=u4−u3

...

vn−2=un−1−un−2

vn−1=un−un−1

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

v1+v2+...+vn−1=1−u2+un=1−2+un=un−1 suy ra

un=1+v1+v2+...+vn−1=1+n(n−1)/2

Bài 5 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số

Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số (vn) với vn=un/n. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính (un) theo n.

Giải:

a) Năm số hạng đầu là 13,29,19,481,5243

b) Lập tỉ số vn+1/vn=un+1/n+1.n/un=un+1/un.n/n+1 (1)

Theo công thứcđịnh nghĩa ta có un+1/un=n+1/3n (2)

Từ (1) và (2) suy ra vn+1/vn=1/3 hay vn+1=1/3vn

Vậy, dãy số (vn) là cấp số nhân, có v1=1/3,q=1/3

c) Để tính (un), ta viết tích của n - 1 tỉ số bằng 1/3

vn/vn−1.vn−1/vn−2...v3/v2.v2/v1=(1/3)n−1

Hay vn/v1=(1/3)n−1, suy ra vn=1/3(1/3)n−1=1/3n

Vậy un=n/3n

Bài 6 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Giải:

HD: Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là u2, ta có

u9=u2+7d,u44=u2+42d

Sử dụng tính chất của cấp số nhân u2.u44=u29 và tổng các số là 217, ta có một hệ phương trình để tìm u2 và d.

ĐS: n = 20

Bài 7 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Giải:

ĐS: Cấp số cộng: 5, 25, 45

Cấp số nhân: 5, 15, 45

Bài 8 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Giải:

HD: Gọi 3 số đó là $a - d, a, a + d rồi áp dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.

Bài 9 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số nhân (un) có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi Sc là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và Sl là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng: q=Sc/Sl                       

Giải:

Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là u1 và công bội là q.

Ta có

S1=u1+u1q2+u1q4+...(1)

Sc=u1q+u1q3+u1q5+...(2)

Nhân hai vế của (1) với q ta có

qS1=u1q+u1q3+u1q5+...=Sc

Vậy q=Sc/S1

Bài 10 trang 128 Sách bài tập (SBT) Đại số 11 và giải tích 11

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không?

Giải:

Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x - d, x, x + d

Theo giả thiết ta có (x+d)2=(x−d)2+x2 (1)

Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d

Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d. Đặc biệt, nếu d = 1 thì tam giác vuông có các cạnh là 3, 4, 5 (tam giác Ai Cập).

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 11 ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 108
Giải Vở BT Toán 11 Xem thêm