Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

1 6

Hình học 12 - Hệ tọa độ trong không gian

VnDoc xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian, với nội dung tài liệu được tổng hợp chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 1

Bài 3.1 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho ba vecto a=(2;−1;2), b=(3;0;1), c=(−4;1;−1). Tìm tọa độ của các vecto m và n biết rằng:

a) m=3a−2b+c

b) n=2a+ b+4c

Hướng dẫn làm bài

m=(−4;−2;3), n=(−9;2;1)

Bài 3.2 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho vecto a=(1;−3;4)

a) Tìm y0 và z0 để cho vecto b=(2;y0;z0) cùng phương với a

b) Tìm tọa độ của vecto c biết rằng a và c ngược hướng và |c|=2|a|

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta biết rằng a và b cùng phương khi và chỉ khi a=kb với k là một số thực. Theo giả thiết ta có: b=(x0;y0;z0) với x0 = 2. Ta suy ra k=1/2 nghĩa là l=1/2x0

Do đó: −3=1/2ynên y0 = -6

4=1/2z0 nên z0 = 8

Vậy ta có b=(2;−6;8)

b) Theo giả thiết ta có c=−2a

Do đó tọa độ của c là: c = (-2; 6; -8)

Bài 3.3 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Ta có: M’(x0; y0; 0)

M’’ (0; y0; z0)

M’’’(x0; 0; z0)

Bài 3.4 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có AB=(−1;−2;1)

AC=(−1;−3;0)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB và AC cùng phương, nghĩa là AB=kAC với k là một số thực.

Giả sử ta có AB=kAC, khi đó k.(−1)=−1;k.(−3)=−2;k.(0)=1

Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên. Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có: MN=(−5;2;0) và MP=(−10;4;0). Hai vecto MN và MP thỏa mãn điều kiện: MN=kMP với k=1/2 nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 3.5 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Hướng dẫn làm bài:

Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:

MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2

MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2

MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2

Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2

Từ đó ta tính được M(5/6;0;−7/6)

Bài 3.6 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) AC+BD=AD+BC¯

b) AB=1/2AC+1/2AD+1/2CD+DB

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:

AC=AD+DC

BD=BC+CD

Do đó: AC+BD=AD+BC vì DC=−CD

b) Vì AB=AD+DB và AD=AC+CD nên AB=AC+CD+DB

Do đó: 2AB=AC+AD+CD+2DB

Vậy AB=1/2AC+1/2AD+1/2CD+DB

Bài 3.7 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

ho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) AB+CD=AD+CB→=2MN

b) AB−CD=AC−BD=2PQ

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì

MP=QN=1/2CD và MQ=PN=1/2AB.

Do đó MN=MQ+MP=AB/2+CD/2 hay 2MN=AB+CD (1)

Mặt khác AB=AD+DB→

CD=CB+BD

Nên AB+CD=AD+CB (2)

Vì DB=BD

Từ (1) và (2) ta có: AB+CD=AD+CB=2MN là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: PQ=MQ- MP= AB/2 - CD/2

Do đó: 2PQ=AB−CD (3)

Mặt khác: AB=AC+ CB

CD=BD−BC

Nên AB−CD=AC−BD (4)

Vì CB−(BC)=0

Từ (3) và (4) ta suy ra AB−CD=AC−BD=2PQ là đẳng thức cần chứng minh.

Bài 3.8 trang 102 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian cho ba vecto tùy ý a,b,c. Gọi u=a−2b, v=3b−c, w=2c−3a.

Chứng tỏ rằng ba vecto u, v, w đồng phẳng.

Hướng dẫn làm bài:

Muốn chứng tỏ rằng ba vecto u, v, w đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho w=pu+qv.

Giả sử có w=pu+qv

2c−3a=p(a−2b)+q(3b−c)

⇔ (3+p)a+(3q−2p)b−(q+2)c=0 (1)

Vì ba vecto lấy tùy ý a, b, c nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:

{3+p=0;3q−2p=0;q+2=0⇒{p=−3;q=−2

Như vậy ta có: w=−3u−2v nên ba vecto u, v, w đồng phẳng.

Bài 3.9 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho một vecto a tùy ý khác vecto 0. Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị i,j,k trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto a. Chứng minh rằng: cos2α+cos2β+cos2γ=1

Hướng dẫn làm bài:

Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Gọi a0 là vecto đơn vị cùng hướng với vecto a, ta có a0=1/|a|a.

Gọi OA0=a0 và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz

Khi đó ta có: |OA1|/|OA0|=cosα,|OA2|/|OA0|=cosβ,|OA3|OA0|=cosγ

Vì |OA0|=1 nên |OA1|=cosα,|OA2|=cosβ,|OA3|=cosγ

Ta có OA0=OA1+OB2+OA3, ta suy ra: OA0=cos⁡αi+cos⁡βj+cos⁡γk hay OA0=(cos⁡α;cos⁡β;cos⁡γ).

Vì OA0=a0 mà |a0|=1 nên ta có: cos2α+cos2β+cos2γ=1

Bài 3.10 trang 103 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức:

AB.CD+AC.DB+AD.BC=0

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có

AB.CD=AB(AD−AC)=AB.AD−AB.AC (1)

AC.DB=AC(AB−AD)=AC.AB−AC.AD (2)

AD.BC=AD(AC−AB)=AD.AC−AD.AB (3)

Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

AB.CD+AC.DB+AD.BC=0

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD,AC⊥DB, nghĩa là AB.CD=0 và AC.DB=0 thì AD→.BC=0 và do đó AD⊥BC.”

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 1: Hệ tọa độ trong không gian. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 6
Giải Vở BT Toán 12 Xem thêm