Giải SBT Toán 12 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giải SBT Toán lớp 12

3 148

Toán 12 - Phương trình bậc hai với hệ số thực

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực, nội dung tài liệu kèm theo lời giải chi tiết sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán 12 một cách đơn giản hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Giải SBT Toán 12 bài tập trắc nghiệm chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Giải SBT Toán 12 bài 2: Phép cộng và phép nhân các số phức

Giải SBT Toán 12 bài 3: Phép chia số phức

Giải SBT Toán 12 bài 4

Câu 4.25 trang 209 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng số thực a < 0 chỉ có hai căn bậc hai phức là $\pm i\sqrt {|a|}$

Hướng dẫn làm bài

Giả sử z là một căn bậc hai của a, ta có z² = a. Vì a < 0 nên:

$a = - |a| = - {(\sqrt {|a|} )^2}$

Từ đó suy ra:

${z^2} = - {(\sqrt {|a|} )^2}$

$\Rightarrow {z^2} + {(\sqrt {|a|} )^2} = 0$

$\Rightarrow (z + i\sqrt {|a|} )(z - i\sqrt {|a|} ) = 0$

Vậy $z = i\sqrt {|a|}$ hay $z = - i\sqrt {|a|}$

Câu 4.26 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2x² + 3x + 4 = 0

b) 3x² + 2x + 7 = 0

c) 2x⁴ + 3x² – 5 = 0

Hướng dẫn làm bài

a) ${x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {23} } \over 4}$

b) ${x_{1,2}} = {{ - 1 \pm 2i\sqrt 5 } \over 3}$

c) ${x_{1,2}} = \pm 1;{x_{3,4}} = \pm i\sqrt {{5 \over 2}}$

Câu 4.27 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình $2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0$ . Hãy tính:

a) $z_1^2 + z_2^2$

b) $z_1^3 + z_2^3$

c) $z_1^4 + z_2^4$

d) ${{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}}$

Hướng dẫn làm bài

Ta có: ${z_1} + {z_2} = - {{\sqrt 3 } \over 2},{z_1}.{z_2} = {3 \over 2}$ . Từ đó suy ra:

a) $z_1^2 + z_2^2 = {({z_1} + {z_2})^2} - 2{z_1}{z_2} = {3 \over 4} - 3 = - {9 \over 4}$

b) $z_1^3 + z_2^3 = ({z_1} + {z_2})(z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2)$

$= - {{\sqrt 3 } \over 2}( - {9 \over 4} - {3 \over 2}) = {{15\sqrt 3 } \over 8}$

c) $z_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2) - 2z_1^2.z_2^2 = {( - {9 \over 4})^2} - 2.{({3 \over 2})^2} = {9 \over {16}}$

d) ${{{z_1}} \over {{z_2}}} + {{{z_2}} \over {{z_1}}} = {{z_1^2 + z_2^2} \over {{z_1}.{z_2}}} = {{ - {9 \over 4}} \over {{3 \over 2}}} = - {3 \over 2}$

Câu 4.28 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp z và $\bar z$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số phức.

Hướng dẫn làm bài

Nếu z = a + bi thì $z + \bar z = 2a \in R;z.\bar z = {a^2} + {b^2} \in R$

z và $\bar z$ là hai nghiệm của phương trình $(x - z)(x - \bar z) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - (z + \bar z)x + z.\bar z = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$

Câu 4.29 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:

a) $1 + i\sqrt 2$ và $1 - i\sqrt 2$

b) $- {1 \over 2},1 \le |z| \le 2$ và $\sqrt 3 - 2i$

c) $- \sqrt 3 + i\sqrt 2$ và $- \sqrt 3 - i\sqrt 2$

Hướng dẫn làm bài

a) x² – 2x + 3 = 0

b) ${x^2} - 2\sqrt 3 x + 7 = 0$

c) ${x^2} + 2\sqrt 3 x + 5 = 0$

Câu 4.30 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x³ – 8 = 0 b) x³ + 8 = 0

Hướng dẫn làm bài

a) ${x^3} - 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)({x^2} + 2x + 4) = 0$

$\Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = - 1 + i\sqrt 3$

b) ${x^3} + 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)({x^2} - 2x + 4) = 0$

$\Rightarrow {x_1} = - 2;{x_{2,3}} = 1 + i\sqrt 3$

Câu 4.31 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải phương trình: 8z² – 4z + 1 = 0 trên tập số phức.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)

Hướng dẫn làm bài

$\eqalign{ & 8{z^2} - 4z + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {2^2}8 = - 4 \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {z_1} = {{2 - 2i} \over 8} = {{1 - i} \over 4} \hfill \cr {z_2} = {{2 + 2i} \over 8} = {{1 + i} \over 4} \hfill \cr} \right. \cr}$

Câu 4.32 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải phương trình: ${(z - i)^2} + 4 = 0$ trên tập số phức.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

Hướng dẫn làm bài

$\eqalign{ & {\left( {z - i} \right)^2} + 4 = 0 \cr & {\left( {z - i} \right)^2} = - 4 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z - i = - 2i \hfill \cr z - i = 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = - i \hfill \cr z = 3i \hfill \cr} \right. \cr}$