Giải SBT Toán 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải SBT Toán lớp 12

1 841

Toán 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ học tập hiệu quả hơn môn Toán. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Giải bài tập SBT Toán 12 bài 3

Bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận

Giải SBT Toán 12 bài 4: Đường tiệm cận

Giải SBT Toán 12 bài 5

Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2$ đạt cực tiểu tại x = 1

b) $y = - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1$ đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

$y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m$
$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0$

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

$y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow m = - 3$

Khi đó,

$y' = 3{x^2} - 3$
$y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0$

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

$y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3$
$y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4$

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

$y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 3 \hfill \cr m = - 1 \hfill \cr} \right.$

Với m = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

$\Rightarrow y’’ = 18x + 12$

$\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6 < 0$

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

$y' = - 7{x^2} - 4x + 3$

$\Rightarrow y'' = - 14x - 4$

$\Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0$

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.

Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5$ có 3 cực trị

b) $y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3$ có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt, tức là:

$y' = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Vậy với - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) $y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{]}}$

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

$2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{] = 0}}$ chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ${m \over {2(m - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 1$

Vậy với $0 \le m \le 1$ hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số: $y = {1 \over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m - 1)x - 2$ không có cực trị

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:

$y' = m{x^2} + 2mx + 2(m - 1) = 0$ không có 2 nghiệm phân biệt.

Muốn vậy, phải có:

$\Delta ' = {m^2} - 2m(m - 1) = - {m^2} + 2m \le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le 0 \hfill \cr m \ge 2 \hfill \cr} \right.$

Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5$ luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R

Hướng dẫn làm bài:

$y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x - 3(m + 3)$
$y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0$

Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 \ge 0$

Ta thấy tam thức $\Delta ' = {m^2} - m + 4$ luôn dương với mọi $m \in R$ vì $\delta = 1 - 16 = - 15 < 0$ và a = 1 > 0.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.

Bài 1.38 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: $y = {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x³ – 6x² + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định: D = R; $y' = {3 \over 4}{x^2} - 3x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 4 \hfill \cr} \right.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty ;0),(4; + \infty )$ .

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đật cực đại tại x = 0, y_CĐ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y_CT= -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6; 5).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b)

${x^3} - 6{x^2} + m = 0$
$\Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} = - m (1)$

$\Leftrightarrow {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5 = 5 - {m \over 4}$

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C) và đường thẳng (d): $y = 5 - {m \over 4}$

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi: $- 3 < 5 - {m \over 4} < 5 \Leftrightarrow 0 < m < 32$

Bài 1.39 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: $y = - {x^3} + 3x + 1$

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số: $y = {(x + 1)^3} - 3x - 4$

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ${(x + 1)^3} = 3x + m$

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = - {x \over 9} + 1$

Hướng dẫn làm bài:

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C₁) của hàm số.

$y = f(x) = - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1$ hay $f(x) = - {(x + 1)^3} + 3x + 4 (C1)$

Lấy đối xứng (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số $y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

c) Ta có: ${(x + 1)^3} = 3x + m$ (1)

$\Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4$

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường:

$y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4$ (C’) và y = m – 4 (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) m > 5 hoặc m < 1 : phương trình (1) có một nghiệm.

+) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

+) 1 < m < 5, phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng $y = - {x \over 9} + 1$ nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: $g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3$

$g'(x) = 9 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.$

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

$y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8;$

$y + 3 = 9(x + 3) ⇔ y = 9x + 24.$

Bài 1.40 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

a) ${(x - 1)^2} = 2|x - k|$

b) ${(x + 1)^2}(2 - x) = k$

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

$2(x - k) = \pm {(x - 1)^2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - {x^2} + 4x - 1 = 2k} \cr {{x^2} + 1 = 2k} \cr} } \right.$

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: $y = - {x^2} + 4x - 1$ và $y = {x^2} + 1$

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Từ đồ thị ta suy ra:

2k > 3: phương trình có hai nghiệm;

2k = 3: phương trình có ba nghiệm;

2 < 2k < 3: phương trình có bốn nghiệm;

2k = 2: phương trình có ba nghiệm;

1 < 2k < 2: phương trình có bốn nghiệm;

2k = 1: phương trình có ba nghiệm;

2k < 1: phương trình có hai nghiệm.

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {1 < k < {3 \over 2},{\rm{or}}{1 \over 2} < k < 1(1)} \cr {k = 1,\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {1 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {3 \over 2}(2)} \cr {k > {3 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k < {1 \over 2}(3)} \cr} } \right.$

(1): phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = {(x + 1)^2}(2 - x)$

$y = - {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow y' = - 3{x^2} + 3$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 1} \cr {x = - 1} \cr} } \right.$

Bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đồ thị:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

* k > 4 hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

* k = 4 hoặc k = 0: phương trình có hai nghiệm;

* 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

Bài 1.41 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: $y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m$ (1)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) $y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m$

$\Leftrightarrow ({x^2} - 1)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0$

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0 \hfill \cr} \right.$

Giải hệ, ta được hai nghiệm

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b) $y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4$

$\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12$

Vì ∆’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c) Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x³ – 4x² – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x³ – 4x² – 4x = kx.

Hay phương trình x²– 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

$\left\{ \matrix{ \Delta ' = k + 8 > 0 \hfill \cr k \ne - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 8 < k < 4 \hfill \cr - 4 < k < + \infty \hfill \cr} \right.$

Bài 1.42 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số $y = 2{x^4} - 4{x^2}$ (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình ${x^2}|{x^2} - 2| = m$ có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

(Đề thi đại học năm 2009; khối B)

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định : D = R

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right.$

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và $(1; + \infty )$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $( - \infty ; - 1);(0;1)$

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1;{y_{CT}} = - 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty$

$y'' = 24{x^2} - 8;y'' = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {1 \over 3} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}$

Đồ thị có hai điểm uốn: ${I_1}( - {{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9});\,\,{I_2}({{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9})$

Bảng biến thiên:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Đồ thị:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Ta có: ${x^2}|{x^2} - 2| = m$

$\Leftrightarrow 2{x^2}|{x^2} - 2| = 2m$
$\Leftrightarrow |2{x^2}({x^2} - 2)| = 2m$
$\Leftrightarrow |2{x^4} - 4{x^2}| = 2m$

Từ đồ thị hàm số y = 2x⁴ – 4x² có thể suy ra đồ thị của hàm số $y = |2{x^4} - 4{x^2}|$ như sau:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Phương trình: $|2{x^4} - 4{x^2}| = 2m$ có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

$⇔ 0 < 2m < 2$

$⇔ 0 < m < 1$

Bài 1.43 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: $y = {{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4}$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: $y = k – {2x^2}.$

Hướng dẫn làm bài:

a) Học sinh tự giải

b) ${{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0$

$\Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 3 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.$

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: $y' = {x^3} - 4x$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

$y = y’(3)(x – 3)$ và $y = y’(-3)(x + 3)$

Hay $y = 15(x – 3)$ và $y = -15(x + 3)$

c) ${{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = k - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^4} = 9 + 4k$

Từ đó, ta có:

$k = - {9 \over 4}$ : (C) và (P) có một điểm chung là $(0; - {9 \over 4})$

$k > - {9 \over 4}$ : (C) và (P) có hai giao điểm.

$k < - {9 \over 4}$ : (C) và (P) không cắt nhau.

Bài 1.44 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: y = x⁴ + mx² – m – 5.

a) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C_-2) (ứng với m = -2) song song với đường thẳng y = 2x – 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) y = x⁴ + mx² – m – 5 ;

y’ = 4x³ + 2mx = 2x(2x² + m)

(C_m) có ba điểm cực trị khi y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là:

2x(2x² + m) = 0 có ba nghiệm phân biệt

⟺ 2x² + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⟺ m < 0.

b) Đường (C_-2) có phương trình là y = x⁴ – 2x² – 3 ;

y’ = 4x³ – 4x

Tiếp tuyến của (C_-2) song song với đường thẳng y = 24x – 1 và đi qua điểm trên đồ thị có hoành độ thỏa mãn:

4x³ – 4x = 24

⟺ x³ – x – 6 = 0 ⟺ (x – 2)(x² + 2x + 3 ) = 0 ⟺ x = 2

Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là y – y(2) = 24(x – 2)

⟺ y = 24x – 43.

Bài 1.45 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: y = x⁴ – 2x² .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).

Hướng dẫn làm bài:

a) Học sinh tự giải

b) Ta có: y’ = 4x³ – 4x ; y(-2) = 8; y’(-2) = -24

Phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

y – y(-2) = y’(-2)(x +2)

⇔ y – 8 = -24(x + 2) ⇔ y = -24x - 40

Bài 1.46 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: $y = {{2x + 1} \over {2x - 1}}$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011).

Trả lời:

a) Học sinh tự giải

b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {{2x + 1} \over {2x - 1}}$ và y = x + 2 là nghiệm của phương trình:

${{2x + 1} \over {2x - 1}} = x + 2 \Leftrightarrow {{2x + 1} \over {2x - 1}} - x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow A(1;3),B( - {3 \over 2};{1 \over 2})$

$\Leftrightarrow {{ - 2{x^2} - x + 3} \over {2x - 1}} = 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 2{x^2} - x + 3 = 0 \hfill \cr x \ne {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.$