Luyện tập Đạo hàm cấp hai Cánh Diều - Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai
Cho hàm số $y = \frac{x^{2}}{1 - x}$ . Xác định biểu thức của $y''$ ?
- A.
  $\frac{- 2x}{(1 - x)^{3}}$
- B.
  $\frac{x}{(1 - x)^{4}}$
- C.
  $\frac{- 2}{(1 - x)^{3}}$
- D.
  $\frac{2x}{(1 - x)^{4}}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \frac{x^{2}}{1 - x} = - x - 1 + \frac{1}{1 - x}$

$\Rightarrow y' = - 1 + \frac{1}{(1 - x)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{- 2}{(1 - x)^{3}}$
Câu 2: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Đáp án là:

Cho $f(x) = (x - 3)^{6}$ . Khi đó $f''(2) =$ 30

Ta có:

$f(x) = (x - 3)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6(x - 3)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x - 3)^{4} = 30(x - 3)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 - 3)^{4} = 30$
Câu 3: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2}$ có dạng $y'' = \frac{a}{(x - 1)^{3}} + \frac{b}{(x + 2)^{3}}$ . Tính giá trị biểu thức $T = a + b$ .
- A.
  $T = 0$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = - 2$
- D.
  $T = - 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

$\Rightarrow y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b = 4$
Câu 4: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai tại một điểm
Cho $f(x) =\sin3x$ . Giá trị của $f''\left( - \frac{\pi}{2} ight)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) = - 10$
- B.
  $f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) = 9$
- C.
  $f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) = 1$
- D.
  $f''\left( - \frac{\pi}{2} ight) = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có: $f(x) = \sin3x$

$\Rightarrow f'(x) =3.\cos3x$

$\Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x$

$\Rightarrow f''\left( -\frac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( - \frac{3\pi}{2} ight) =9$
Câu 5: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai
Xác định đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin5x.\cos2x$ .
- A.
  $y'' = - 49\sin7x -9\sin3x$
- B.
  $y'' = 7.\cos7x +3.\cos3x$
- C.
  $y'' = \frac{7}{2}.\cos7x +\frac{3}{2}.\cos3x$
- D.
  $y'' = - \frac{49}{2}\sin7x -\frac{9}{2}\sin3x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \sin5x.\cos2x = \frac{1}{2}(\sin7x +\sin3x)$

$\Rightarrow y' = \frac{1}{2}(7.\cos7x+ 3.\cos3x)$

$\Rightarrow y'' = \frac{1}{2}( -49\sin7x - 9\sin3x)$
Câu 6: Vận dụng

Điền đáp án vào ô trống

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét.

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

Đáp án là:

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = - t^{3} + 3t^{2} + 9t$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét.

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu bằng 12m/s.

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v = S' = - 3t^{2} + 6t + 9$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a = S'' = - 6t + 6$

Gia tốc triệt tiêu khi $a = 0 \Rightarrow S'' = 0 \Rightarrow t = 1$

Khi đó vận tốc của chuyển động là $S'(1) = 12m/s$
Câu 7: Nhận biết

Điền kết quả vào ô trống

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Đáp án là:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$ tại điểm $x = 2$ bằng 10

Ta có: $f(x) = x^{3} - x^{2} + 1$

$\Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 2x$

$\Rightarrow f''(x) = 6x - 2$

$\Rightarrow f''(2) = 6.2 - 2 = 10$
Câu 8: Thông hiểu

Tính kết quả và điền vào chỗ tróng

Một chuyển động được xác định bởi phương trình $S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 2(s)$ bằng bao nhiêu?

Kết quả: 108 m/s²

Đáp án là:

Một chuyển động được xác định bởi phương trình $S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 2(s)$ bằng bao nhiêu?

Kết quả: 108 m/s²

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a(t) = 24t^{2} + 12$

Tại thời điểm $t = 2s$ thì gia tốc có giá trị là:

$a(2) = 24.(2)^{2} + 12 = 108\left( m/s^{2} ight)$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Đạo hàm bậc hai của hàm số $y = x\sqrt{1 + x^{2}}$ là:
- A.
  $\frac{2x^{3} + 1}{\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{1 + x^{2}}}$
- B.
  $\frac{2x^{3} + 3x}{\left( 1 + x^{2} ight)\sqrt{1 + x^{2}}}$
- C.
  $\frac{x^{3} + 2x}{\sqrt{\left( 1 + x^{2} ight)^{3}}}$
- D.
  $\frac{2x^{2} + 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = x\sqrt{1 + x^{2}}$

$\Rightarrow y' = \frac{2x^{2} + 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

$\Rightarrow y'' = \frac{2x^{3} + 3x}{\left( 1 + x^{2} ight)\sqrt{1 + x^{2}}}$
Câu 10: Thông hiểu
Tính đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ là:
- A.
  $y'' = \frac{6}{(x - 2)^{3}}$
- B.
  $y'' = - \frac{3}{(x - 2)^{2}}$
- C.
  $y'' = - \frac{6}{(x - 2)^{4}}$
- D.
  $y'' = \frac{3}{(x - 2)^{2}}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \frac{x + 1}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$

$\Rightarrow y' = - \frac{3}{(x - 2)^{2}}$

$\Rightarrow y'' = - \frac{3.( - 2)(x - 2)}{(x - 2)^{4}} = \frac{6}{(x - 2)^{3}}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính gia tốc chuyển động
Một chuyển động được xác định bởi phương trình $S(t) = t^{3} - 3t^{2} - 9t + 2$ , trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 5(s)$ ?
- A.
  $24m/s^{2}$
- B.
  $18m/s^{2}$
- C.
  $36m/s^{2}$
- D.
  $12m/s^{2}$
Hướng dẫn:
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v = S' = 3t^{2} - 6t - 9$

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

$a = S'' = 6t + 6$

Tại thời điểm $t = 5s$ thì gia tốc có giá trị là:

$a(5) = 6.5 - 6 = 24\left( m/s^{2} ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Tìm biểu thức đúng
Cho hàm số $y =\sin2x$ . Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $y = y'.\tan2x$
- B.
  $y^{2} + (y')^{2} = 4$
- C.
  $4y + y'' = 0$
- D.
  $2(y')^{2} + (y'')^{2} = 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \sin2x$

$\Rightarrow y' =2.\cos2x$

$\Rightarrow y'' = -4.\sin2x$

Khi đó khẳng định đúng là: $4y + y'' = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Ghép các dữ liệu sao cho đúng
Cho hàm số $f(x) =\sin3x$ . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

$f''\left( - \frac{\pi}{2} ight)$ || $- 9$

$f''(0)$ || $0$

$f''\left( \frac{\pi}{18} ight)$ || $- \frac{9}{2}$
Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) =\sin3x$ . Ghép nối các dữ liệu sao cho đúng.

$f''\left( - \frac{\pi}{2} ight)$ || $- 9$

$f''(0)$ || $0$

$f''\left( \frac{\pi}{18} ight)$ || $- \frac{9}{2}$

Ta có:

$f(x) = \sin3x$

$\Rightarrow f'(x) =3.\cos3x$

$\Rightarrow f''(x) = -9.\sin3x$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}f''\left( - \dfrac{\pi}{2} ight) = - 9.\sin\left( -\dfrac{3\pi}{2} ight) = 9 \\f''(0) = - 9. \sin(3.0) = 0 \\f''\left( \dfrac{\pi}{18} ight) = - 9.\sin\left( \dfrac{3\pi}{18}ight) = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$
Câu 14: Nhận biết
Tính đạo hàm cấp hai tại một điểm
Cho $f(x) = (x + 10)^{6}$ . Tính $f''(2)$
- A.
  $596418$
- B.
  $512484$
- C.
  $615824$
- D.
  $622080$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x) = (x + 10)^{6}$

$\Rightarrow f'(x) = 6.(x + 10)^{5}$

$\Rightarrow f''(x) = 6.5.(x + 10)^{4} = 30.(x + 10)^{4}$

$\Rightarrow f''(2) = 30.(2 + 10)^{4} = 622080$
Câu 15: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin x.\sin2x.\sin3x$ ?
- A.
  $y'' = 2\sin2x + 4.\sin4x +6\sin6x$
- B.
  $y'' = 2\sin2x - 3\sin4x +6\sin6x$
- C.
  $y'' = 4\sin2x - 2\sin4x -9\sin6x$
- D.
  $y'' = - \sin2x - 4\sin4x +9\sin6x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \sin x.\sin2x.\sin3x$

$= \frac{1}{4}\sin2x + \frac{1}{4}\sin4x -\frac{1}{4}\sin6x$

Khi đó:

$y' = \frac{1}{2}\cos2x + \cos4x -\frac{3}{2}\cos6x$

$y'' = - \sin2x - 4\sin4x +9\sin6x$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!