Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị - Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm x để A > 0
Tìm x để $A > 0$ biết $A = 1 - \frac{2x + 3}{2}$ ?
- A.
  $x < - \frac{1}{2}$
- B.
  $x > - \frac{1}{2}$
- C.
  $x \geq - \frac{1}{2}$
- D.
  $x \leq - \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$A = 1 - \frac{2x + 3}{2} = \frac{2 - 2x - 3}{2} = \frac{- 2x - 1}{2}$
Vì $A > 0 \Leftrightarrow \frac{- 2x - 1}{2} > 0 \Leftrightarrow - 2x - 1 > 0 \Leftrightarrow - 2x > 1 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$
Vậy $x < - \frac{1}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
1. Giải bất phương trình:
a) $2x - 6 > 9 + 4x$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) $5x - (2x - 3) < 4(x - 2)$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
2. Cho hai số $a;b$ sao cho $a \geq b$ . Chứng minh $1 - 4a \leq 1 - 4b$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
1. Giải bất phương trình:
a) $2x - 6 > 9 + 4x$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) $5x - (2x - 3) < 4(x - 2)$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
2. Cho hai số $a;b$ sao cho $a \geq b$ . Chứng minh $1 - 4a \leq 1 - 4b$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình
$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$ ?
- A.
  Bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$
- B.
  Bất phương trình có nghiệm $x > 0$
- C.
  Bất phương trình vô nghiệm
- D.
  Bất phương trình có nghiệm $x < 0$
Hướng dẫn:
Ta có:
$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$
$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 > x^{2} + 7x - 18 + 25$
$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 - x^{2} - 7x + 18 - 25 > 0$
$\Leftrightarrow 5 > 0$ đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$
Vậy bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Giải bất phương trình và tìm nghiệm nguyên lớn nhất
Nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$ là:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = - 2$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = 1$
Hướng dẫn:
Ta có:
$4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$
$\Leftrightarrow 8 - 12x - 4 + 2x > 10 - 3x$
$\Leftrightarrow 4 - 10x > 10 - 3x \Leftrightarrow - 7x > 6 \Leftrightarrow x < - \frac{6}{7}$
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = -1.
Câu 5: Vận dụng
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?
$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
a) Trong các bất phương trình sau đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn vì sao?
$- x + 2 \leq 0;x^{2} + 1 > 0$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) Tìm một số là nghiệm, một số không là nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn tìm được ở câu a).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Vận dụng
Tìm a thỏa mãn điều kiện đề bài
Với giá trị nào của $x$ để biểu thức $A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương?
- A.
  $x < \frac{5}{2}$
- B.
  $x > 2$
- C.
  $x = \frac{5}{2}$
- D.
  $x > \frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$A = \frac{5 - 2x}{x^{2} + 4}$ có giá trị dương $\Rightarrow A > 0$
Ta có: $x^{2} \geq 0;\forall x\in\mathbb{R \Rightarrow}x^{2} + 4 > 0;\forall x\in \mathbb{R}$
$\Rightarrow A > 0 \Leftrightarrow 5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}$
Vậy $x < \frac{5}{2}$ thì A có giá trị dương.
Câu 7: Vận dụng
Tìm x để biểu thức nhỏ hơn 0
Cho biểu thức $A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$ . Tìm x để $A < 0$ ?
- A.
  $x > 9$
- B.
  $x eq \pm 3$
- C.
  $x < - 3$
- D.
  $x > 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $x eq \pm 3$
Ta có:
$A = \frac{x^{2} + 6x + 9}{x^{3} + 27}:\frac{- x^{3} + 3x^{2} + 9x - 27}{x^{2} - 6x + 9}$
$A = \frac{(x + 3)^{2}}{(x + 3)\left( x^{2} - 3x + 9 ight)}.\frac{(x - 3)^{2}}{\left( x^{2} - 9 ight)(3 - x)} = - \frac{1}{x^{2} - 3x + 9}$
Vì $x^{2} - 3x + 9 = \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \frac{27}{4} > 0\forall x$
Do đó $A < 0$ với mọi $x eq \pm 3$ .
Câu 8: Vận dụng
Điền đáp án vào chỗ trống
Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?
Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.
Đáp án là:
Một người cần di chuyển đến địa điểm A, người đó bắt GrabCar để đi. Biết rằng khi đi GrabCar giá sẽ rẻ gấp đôi mỗi kilomet so với taxi truyền thống nhưng sẽ chịu giá mở xe là 5000 đồng (giá mở cửa xe là khi bạn đặt xe dù đi hay không tài khoản sẽ tự động trừ tiền). Biết rằng số tiền người đó phải trả là số tròn chục nghìn, số tiền đó lớn hơn 25000 đồng và nhỏ hơn 35000 đồng. Tính số tiền nếu người đó đi xe taxi truyền thống đến A?
Số tiền cần tìm là: 50000 đồng.
Gọi số tiền người đó phải trả khi đi xe truyền thống là x (đồng)
Theo giả thiết, số tiền người đó phải trả khi di Grab là $\frac{x}{2} + 500$ đồng
Mà $25000 < \frac{x}{2} + 500 < 35000$ và đó là số tiền tròn chục nên suy ra $\frac{x}{2} + 5000 = 30000$
Từ đó tìm được $x = 50000$ đồng.
Câu 9: Vận dụng
Tìm x để biểu thức A dương
Cho biểu thức $A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$ . Tìm x để $A > 0$ ?
- A.
  $x > \frac{1}{2}$
- B.
  $x > \frac{1}{2};x eq 1$
- C.
  $x < \frac{1}{2}$
- D.
  $x < \frac{1}{2};x eq - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện $x eq \pm 1$
Ta có:
$A = \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} ight):\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$
$A = \left\lbrack \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$
$A = \left\lbrack \frac{x + 1 + 2(1 - x) - 5 + x}{(1 - x)(1 + x)} ightbrack:\frac{1 - 2x}{x^{2} - 1}$
$A = \frac{- 2}{(1 - x)(1 + x)}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x}$
$A = \frac{2}{x^{2} - 1}.\frac{x^{2} - 1}{1 - 2x} = \frac{2}{1 - 2x}$
Để $A > 0 \Leftrightarrow \frac{2}{1 - 2x} > 0$
Vì $2 > 0 \Rightarrow 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow - 2x > - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$
Kết hợp với điều kiện đề bài ta suy ra $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy $x < \frac{1}{2};x eq - 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 10: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 \leq x < 3$
- B.
  $2 < x \leq 3$
- C.
  $2 < x < 3$
- D.
  $2 \leq x \leq 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$
Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:
TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$
TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)
Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 11: Vận dụng
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Giải bất phương trình $\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $x < 3$
- B.
  $x > 3$
- C.
  $x \leq 3$
- D.
  $x \geq 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$
Ta có:
$\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0 \Leftrightarrow x - 3 < 0$ (vì $x^{2} + 5 \geq 0\forall x\mathbb{\in R}$ và $x - 3 eq 0$ )
$\Leftrightarrow x < 3$
Vậy kết luận đúng là $x < 3$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1012$
- B.
  $1009$
- C.
  $1010$
- D.
  $1008$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$
$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$
$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$
$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$
Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2008$
- B.
  $2005$
- C.
  $2004$
- D.
  $2010$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$
$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$
$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$
$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$
Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 15: Vận dụng cao
Xác định nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$ ?
- A.
  $2020$
- B.
  $- 2020$
- C.
  $- 2019$
- D.
  $2010$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$
$\Leftrightarrow \frac{x + 2020}{2019} + \frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2017} + ... + \frac{x + 2020}{1920} > 0$
$\Leftrightarrow (x + 2020)\left( \frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} ight) > 0$
Vì $\frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} > 0$ nên $x + 2020 > 0 \Rightarrow x > - 2020$
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là x = -2019.
Câu 16: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:
$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1970$
- B.
  $1988$
- C.
  $1971$
- D.
  $1985$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$
$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$
$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$
Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x,y$ bất kì. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(x + y)^{2} \geq 4xy$
- B.
  $(x + y)^{2} > 4xy$
- C.
  $(x + y)^{2} < 4xy$
- D.
  $(x + y)^{2} \leq 4xy$
Hướng dẫn:
Xét biểu thức
$A = (x + y)^{2} - 4xy = x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy$
$= x^{2} - 4xy + y^{2} = (x - y)^{2}$
Mà $(x - y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $A \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$
Suy ra $(x + y)^{2} \geq 4xy$ .
Câu 18: Thông hiểu
Xét tính đúng sai của các bất đẳng thức
Các bất đẳng thức sau đúng hay sai?
a) $( - 3) + 5 \geq 3$ Sai||Đúng
b) $4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ Đúng||Sai
c) $- 3 > 2.( - 1)$ Sai||Đúng
d) $a^{2} + 2 < 2$ Sai||Đúng
Đáp án là:
Các bất đẳng thức sau đúng hay sai?
a) $( - 3) + 5 \geq 3$ Sai||Đúng
b) $4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ Đúng||Sai
c) $- 3 > 2.( - 1)$ Sai||Đúng
d) $a^{2} + 2 < 2$ Sai||Đúng
Ta có:
$( - 3) + 5 \geq 3$ có $\left\{ \begin{matrix} VT = 2 \\ VP = 3 \\ \end{matrix} ight.$ mà $2 < 3$ vậy bất đẳng thức sai.
$4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ có $4 < 13 \Rightarrow 4 + ( - 7) < 13 + ( - 7)$ (tính chất) vậy bất đẳng thức đúng.
$- 3 > 2.( - 1)$ có $\left\{ \begin{matrix} VT = - 3 \\ VP = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ mà $- 3 < - 2$ vậy bất đẳng thức sai.
$a^{2} + 2 < 2$ có $a^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + 2 \geq 0 + 2 \Rightarrow a^{2} + 2 \geq 2$ vậy bất đẳng thức sai.
Câu 19: Thông hiểu
Chọn bất đẳng thức thỏa mãn yêu cầu
Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào cho kết quả $a < b$ ?
- A.
  $- 7a < - 7b$
- B.
  $\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b$
- C.
  $\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$
- D.
  $\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3$
Hướng dẫn:
$\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\left( \frac{1}{2}a ight) > 2.\left( \frac{1}{2}b ight) \Leftrightarrow a > b$
Ta có:
$- 7a < - 7b \Leftrightarrow - 7a.\left( - \frac{1}{7} ight) > - 7b.\left( - \frac{1}{7} ight) \Leftrightarrow a > b$
Ta có:
$\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a + 3 - 3 > \frac{1}{2}b + 3 - 3$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}a > 2.\frac{1}{2}b \Leftrightarrow a > b$
Ta có:
$\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 + 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1 + 1$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a.\frac{1}{\sqrt{5} - 2} < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b.\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$
$\Leftrightarrow a < b$
Câu 20: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $x + \frac{1}{2} = y$ . So sánh $x$ và $y$ ?
- A.
  $y \leq x$
- B.
  $x \geq y$
- C.
  $x < y$
- D.
  $x > y$
Hướng dẫn:
Ta có:
$x + \frac{1}{2} = y \Rightarrow x - y = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < y$ .
Câu 21: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$
$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$
$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$
$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$
Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$
$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 22: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi số thực dương $a$ và $b$ ?
- A.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} > 4$
- B.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} < 4$
- C.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \leq 4$
- D.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{(a + b)^{2}}{ab} - 4 = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2} - 4ab}{ab}$
$= \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{ab} = \frac{(a - b)^{2}}{ab}$
Do $\left\{ \begin{matrix} ab > 0 \\ (a - b)^{2} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \forall a;b$ nên $\frac{(a - b)^{2}}{ab} \geq 0$ hay $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$ .
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$ với $a\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $16$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:
$P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$
$= a^{2} - 6a + 9 + a^{2} + 2a + 1$
$= 2a^{2} - 4a + 10 = 2\left( a^{2} - 2a + 5 ight)$
$= 2(a - 1)^{2} + 8$
Với $a\mathbb{\in R}$ ta có: $(a - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow P = 2(a - 1)^{2} + 8 \geq 8$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 1$
Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi và chỉ khi $a = 1$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 5 > 4a$
- B.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- C.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
- D.
  $a^{2} + 1 > a$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .
$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .
$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$
Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$
Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.
Ta có:
$a^{2} - ab + b^{2}$
$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$
$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$
Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng
Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 25: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:
$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.
Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 26: Vận dụng
Tìm số khẳng định đúng
Với mọi $x > 0;y > 0$ , cho các khẳng định sau:
(1) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$
(2) $x^{2} + y^{3} \leq 0$
(3) $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $0$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:
$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4 \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 \geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{xy} \geq 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy$ (do $x > 0;y > 0 \Rightarrow xy > 0$ )
$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2xy \geq 0 \Leftrightarrow (x - y)^{2} \geq 0\forall x;y$
Suy ra $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) \geq 4$ đúng và $(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) < 4$ sai
$x^{2} + y^{3} \leq 0$ với $\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} > 0 \\ y^{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x^{2} + y^{3} > 0$
Suy ra $x^{2} + y^{3} \leq 0$ sai.
Câu 27: Vận dụng cao
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$
$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$
$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$
Mặt khác ta có:
$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )
$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)
$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.
Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra
$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$
$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$
$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$
$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$
Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )
Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} <2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!