Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị - Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định nghiệm của bất phương trình
Bất phương trình $3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$ có nghiệm là:
- A.
  $x \leq 6$
- B.
  $x \geq 6$
- C.
  $x > 6$
- D.
  $x < 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$

$\Leftrightarrow 3x + 18 - 2x + 4 < 4x + 4$

$\Leftrightarrow 3x - 4x - 2x < 4 - 18 - 4$

$\Leftrightarrow - 3x < - 18 \Leftrightarrow x > 6$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 6$ .
Câu 2: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác
Có bao nhiêu số tự nhiên n chẵn thỏa mãn bất phương trình $5(2 - 3n) \geq - 3n - 42$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $5$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$5(2 - 3n) \geq - 3n - 42$

$\Leftrightarrow 10 - 15n \geq - 3n - 42$

$\Leftrightarrow - 12n \geq - 52 \Leftrightarrow n \leq \frac{13}{3}$

Vì n là số tự nhiên chẵn nên có tất cả 3 giá trị của n thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Câu 3: Thông hiểu
Xác định tập nghiệm của bất phương trình
Tất cả các nghiệm của bất phương trình $8x - 12 \leq 14x - 5$ là
- A.
  $x \leq \frac{17}{24}$ .
- B.
  $x \geq \frac{- 7}{6}$ .
- C.
  $x \leq \frac{- 7}{6}$ .
- D.
  $x \geq \frac{17}{24}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $8x - 12 \leq 14x - 5$

Suy ra $8x - 14x \leq - 5 + 12$

$- 6x \leq 7$

$x \geq \frac{- 7}{6}$

Vậy nghiệm của bất phương trình trên là $x \geq \frac{- 7}{6}$
Câu 4: Thông hiểu
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Tìm nghiệm của bất phương trình $\frac{2x + 3}{5} - \frac{1}{2} \geq 0$ ?
- A.
  $x \geq \frac{- 1}{4}$
- B.
  $x \leq \frac{- 1}{4}$
- C.
  $x \leq - \frac{2}{3}$
- D.
  $x \geq - \frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x + 3}{5} - \frac{1}{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(2x + 3)}{2.5} - \frac{5}{10} \geq 0$

$\Leftrightarrow 4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{4}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - \frac{1}{4}$ .
Câu 5: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 \leq x \leq 3$
- B.
  $2 < x \leq 3$
- C.
  $2 \leq x < 3$
- D.
  $2 < x < 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$

Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:

TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$

TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)

Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 6: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.

Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Giải bất phương trình $\frac{x + 2}{3} + 3x + 1 > \frac{x + 2}{2}$ ta được nghiệm là:
- A.
  $x > \frac{- 4}{17}$ .
- B.
  $x > \frac{- 6}{11}$ .
- C.
  $x < \frac{6}{5}$ .
- D.
  $x > \frac{- 6}{7}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 2}{3} + 3x + 1 > \frac{x + 2}{2}$

Suy ra $\frac{2(x + 2)}{6} + \frac{6(3x + 1)}{6} > \frac{3(x + 2)}{6}$

$2x + 4 + 18x + 6 > 3x + 6$

$17x > - 4$

$x > \frac{- 4}{17}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > \frac{- 4}{17}$
Câu 8: Vận dụng
Tìm x để biểu thức thỏa mãn yêu cầu
Với giá trị nào của x để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1?
- A.
  $x \geq - 1$
- B.
  $x < - 1$
- C.
  $x < - 1$
- D.
  $x > - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq - 1$

Để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1 thì:

$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 1} \leq 0$

Vì $- 4 < 0$ và $x - 1 eq 0$ nên $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Vậy x > -1 để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1.
Câu 9: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Bạn Nam tham dự kì thi kiểm tra năng lực tiếng Anh gồm bốn bài, mỗi bài kiểm tra được cho điểm là số nguyên từ $0$ đến $10$ . Điểm trung bình của ba bài kiểm tra An đã làm là $6,6$ . Hỏi bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là bao nhiêu điểm để có điểm trung bình của cả bốn bài kiểm tra từ $7$ điểm trở lên?
- A.
  $6$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $8$ .
- D.
  $9$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số điểm bài kiểm tra thứ tư của An ( $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$ )

Theo bài ra ta có bất phương trình

$\frac{x + 6,6.3}{4} \geq 7$

Giải ra được $x \geq 8,2$

Mà $x$ nguyên, $0 \leq x \leq 10$

Suy ra $x \in \left\{ 9;10 \right\}$

Vậy bài kiểm tra thứ tư An cần làm được thấp nhất là 9 điểm.
Câu 10: Vận dụng
Tìm nghiệm nguyên chung của hai bất phương trình
Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình:

$\frac{x + 2}{5} - \frac{3x - 7}{4} > - 5$ và $\frac{3x}{5} - \frac{x - 4}{3} + \frac{x + 2}{6} > 6$
- A.
  $x = 11;x = 12;x = 13$
- B.
  $x = 11;x = 12$
- C.
  $x = 10;x = 11$
- D.
  $x = - 11;x = - 12$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 2}{5} - \frac{3x - 7}{4} > - 5$

$\Leftrightarrow \frac{4(x + 2) - 5(3x - 7)}{20} > \frac{- 100}{20}$

$\Leftrightarrow 4x + 8 - 15x + 35 > - 100$

$\Leftrightarrow - 11x > - 143 \Leftrightarrow x < 13(*)$

Lại có:

$\frac{3x}{5} - \frac{x - 4}{3} + \frac{x + 2}{6} > 6$

$\Leftrightarrow \frac{6.3x - 10(x - 4) + 5(x + 2)}{30} > \frac{180}{30}$

$\Leftrightarrow 18x - 10x + 40 + 5x + 10 > 180$

$\Leftrightarrow 13x > 130 \Leftrightarrow x > 10(**)$

Kết hợp (*) và (**) ta được $10 < x < 13$

Nên các số nguyên thỏa mãn là $x = 11;x = 12$ .
Câu 11: Vận dụng
Tính đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi
Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không quá 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h về sau đi với vận tốc 4km/h. Hỏi đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h bằng bao nhiêu?
- A.
  $10km$
- B.
  $8km$
- C.
  $5km$
- D.
  $7km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 18.
Thời gian người đó đi với vận tốc 5 km/h là $\frac{x}{5}$ giờ
Quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc 4 km/h là 18 − x (km).
Thời gian người đó đi với vận tốc 4 km/h là $\frac{18 - x}{4}$ giờ.
Do tổng thời gian đi bộ không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{5} + \frac{18 - x}{4} \leq4$ .
Giải ra ta được x ≥ 10.
Kết hợp điều kiện ta được 10 ≤ x < 18.
Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là 10 km.
Câu 12: Vận dụng

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1009$
- B.
  $1012$
- C.
  $1008$
- D.
  $1010$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$

$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Giải bất phương trình
Bất phương trình $\frac{x + 2004}{2005} +\frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x +2007}{2008}$ có nghiệm là
- A.
  $x > - 1$ .
- B.
  $x < - 1$ .
- C.
  $x < 1$ .
- D.
  $x > 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có

$\frac{x + 2004}{2005} + \frac{x + 2005}{2006} < \frac{x + 2006}{2007} + \frac{x + 2007}{2008}$

Suy ra $- \frac{x + 2004}{2005} - \frac{x + 2005}{2006} > - \frac{x + 2006}{2007} - \frac{x + 2007}{2008}$

$1 - \frac{x + 2004}{2005} + 1 - \frac{x + 2005}{2006} > 1 - \frac{x + 2006}{2007} + 1 - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005}{2005} - \frac{x + 2004}{2005} + \frac{2006}{2006} - \frac{x + 2005}{2006} > \frac{2007}{2007} - \frac{x + 2006}{2007} + \frac{2008}{2008} - \frac{x + 2007}{2008}$

$\frac{2005 - x - 2004}{2005} + \frac{2006 - x - 2005}{2006} > \frac{2007 - x - 2006}{2007} + \frac{2008 - x - 2007}{2008}$

$\frac{1 - x}{2005} + \frac{1 - x}{2006} > \frac{1 - x}{2007} + \frac{1 - x}{2008}$

$(1 - x)\left( \frac{1}{2005} +\frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} \right) > 0$

$1 - x > 0$ ( vì $\frac{1}{2005} + \frac{1}{2006} - \frac{1}{2007} - \frac{1}{2008} > 0$ )

$1 > x$

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $1 > x$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá máy tính bảng lúc ban đầu
Sau một thời gian phát hành, nhà sản xuất đã ra quyết định giảm giá một dòng máy tính bảng để khuyến mãi. Đợt một giảm $5\%$ đợt hai giảm $4\%$ trên giá sau khi giảm đợt một. Sau hai đợt giảm giá, một chiếc máy tính bảng hiện được bán với giá gần đến $4560000$ đồng. Hỏi giá chiếc máy tính bảng ban đầu khoảng bao nhiêu ?
- A.
  khoảng $8$ triệu đồng.
- B.
  khoảng $7$ triệu đồng.
- C.
  khoảng $6$ triệu đồng.
- D.
  khoảng $5$ triệu đồng.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (đồng) là giá ban đầu của máy tính bảng

Theo đề bài ta có

$x(100\% - 5\%)(100\% - 4\%) < 4560000$

$x < 5000000$

Vậy máy tính bảng ban đầu có giá khoảng $5$ triệu đồng.
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2004$
- B.
  $2005$
- C.
  $2008$
- D.
  $2010$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$

$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$

Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 17: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho a > b. Xét tính đúng (sai) của các khẳng định sau:

a) $a + 2 > b + 2$ Đúng||Sai

b) $3.a < 3.b$ Sai||Đúng

c) $-5a < -5b$ Đúng||Sai

d) $a + 3 > b - 2$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho a > b. Xét tính đúng (sai) của các khẳng định sau:

a) $a + 2 > b + 2$ Đúng||Sai

b) $3.a < 3.b$ Sai||Đúng

c) $-5a < -5b$ Đúng||Sai

d) $a + 3 > b - 2$ Đúng||Sai

Ta có:

a) $a + 2 > b + 2$ Đúng. Vì khi cộng hai vế của bất đẳng thức với một số ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

b) $3.a < 3.b$ Sai. Vì khi nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

c) $3.a < 3.b$ Đúng. Vì khi nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức ban đầu.

d) $a + 3 > b - 2$ Đúng. Vì khi trừ hai vế của bất đẳng thức với một số ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

$a + 3 > b + 3$

Mà $b + 3 > b + 2$

Suy ra $a + 3 > b - 2$
Câu 18: Thông hiểu
Chọn câu đúng
Hãy chọn câu đúng. Nếu $a \geq b$ thì
- A.
  $- 3a > - 3b$
- B.
  $- 3b \leq - 3a$
- C.
  $- 3b \geq - 3a$
- D.
  $- 3a<- 3b$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a \geq b$

$- 3a \leq - 3b$ hay $- 3b \geq - 3a$ .
Câu 19: Thông hiểu
Xác định số khẳng định đúng
Biết $a < b$ . Cho các khẳng định sau:

(1) $a - 1 < b - 1$

(2) $a - 1 < b$

(3) $a + 2 < b + 1$

Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là:
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 1$ ta được $a - 1 < b - 1$

Suy ra (1) đúng.

Vì $a - 1 < b - 1$ (chứng minh trên) mà $b - 1 < b$ nên $a - 1 < b$ (tính chất bắc cầu)

Suy ra (2) đúng.

Vì $a < b$ cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 ta được $a + 1 < b + 1$ mà $a + 1 < a + 2$ nên chưa đủ dữ liệu để nói rằng $a + 2 < b + 1$

Suy ra (3) sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.
Câu 20: Thông hiểu
Tìm kết luận sai
Chọn kết luận sai. Nếu $a < b$ thì
- A.
  $4a + 1 < 4b + 5$
- B.
  $7 - 2a > 4 - 2b$
- C.
  $4a - 2 < 4b - 2$
- D.
  $6 - 3a < 6 - 3b$
Hướng dẫn:
Vì $a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$

Suy ra $4a + 1 < 4b + 5$ đúng

Vì $a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$

Suy ra $7 - 2a > 4 - 2b$ đúng

Vì $a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b$

Suy ra $6 - 3a < 6 - 3b$ sai

Vì $a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a - 2 < 4b - 2$

Suy ra $4a - 2 < 4b - 2$ đúng
Câu 21: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.

Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 22: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 1 < - a$
- B.
  $- ab - b^{2} \leq a^{2}$
- C.
  $4a + 4 \leq a^{2} + 8$
- D.
  $a^{2} + 3 > - 2a$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + 2a + 3 = a^{2} + 2a + 1 + 2 = (a + 1)^{2} + 2 > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 3 > - 2a$ đúng

$a^{2} + 8 - (4a + 4) = a^{2} - 4a + 4 = (a - 2)^{2} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $4a + 4 \leq a^{2} + 8$ đúng

$a^{2} + a + 1 = a^{2} + 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ luôn đúng

Suy ra $a^{2} + 1 < - a$ sai

$a^{2} + ab + b^{2} = a^{2} + 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$

$= \left( a + \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng

Suy ra $- ab - b^{2} \leq a^{2}$ đúng.
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $- 2$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Cho $x + y > 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} < \frac{1}{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$
- C.
  $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Từ $x + y > 1$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy + y^{2} > 1(*)$

Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0(**)$

Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:

$2x^{2} + 2y^{2} > 1$

Chia cả hai vế cho 2 ta được

$x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$
Câu 25: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi số thực dương $a$ và $b$ ?
- A.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$
- B.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} > 4$
- C.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \leq 4$
- D.
  $\frac{(a + b)^{2}}{ab} < 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{(a + b)^{2}}{ab} - 4 = \frac{a^{2} + 2ab + b^{2} - 4ab}{ab}$

$= \frac{a^{2} - 2ab + b^{2}}{ab} = \frac{(a - b)^{2}}{ab}$

Do $\left\{ \begin{matrix} ab > 0 \\ (a - b)^{2} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \forall a;b$ nên $\frac{(a - b)^{2}}{ab} \geq 0$ hay $\frac{(a + b)^{2}}{ab} \geq 4$ .
Câu 26: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$

$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$

Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Cho $x + y \geq2$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $x^{2} + y^{2} >2$
- B.
  $x^{2} + y^{2} \geq2$
- C.
  $x^{2} + y^{2} <2$
- D.
  $x^{2} + y^{2} \leq2$
Hướng dẫn:
Từ $x + y \geq 2$ bình phương hai vế (hai vế đều dương) ta được $x^{2} + 2xy +y^{2} > 4(*)$
Từ $(x - y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} -2xy + y^{2} \geq 0(**)$
Cộng từng vế của (*) và (**) ta được:
$2x^{2} + 2y^{2} \geq 4$
Chia cả hai vế cho 2 ta được
$x^{2} + y^{2} \geq 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}x + y = 2 \\(x - y)^{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 2 \\x = y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = y = 1$
Câu 28: Vận dụng cao

Ghi lời giải bài toán vào ô trống

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 29: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- B.
  $x \geq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$

$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$

Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )

Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!