Ôn thi vào 10 môn Toán: Bất đẳng thức và các câu toán cực trị - Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình
Tìm điều kiện của x thỏa mãn bất phương trình $\frac{3 - x}{4} \geq \frac{3x + 1}{3}$ ?
- A.
  $x \geq \frac{1}{5}$
- B.
  $x \geq 5$
- C.
  $x \leq 5$
- D.
  $x \leq \frac{1}{5}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{3 - x}{4} \geq \frac{3x + 1}{3} \Leftrightarrow 3(3 - x) \geq 4(3x + 1)$
$\Leftrightarrow 9 - 3x \geq 12x + 4 \Leftrightarrow 5 \geq 15x \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{5}$
Vậy điều kiện của x thỏa mãn yêu cầu là $x \leq \frac{1}{5}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $7x.(x + 4) = x + 4$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) $\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{3x - 20}{(x - 3)(x - 2)}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) $\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 8 \\ - 3x + 4y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
d) $\frac{x + 1}{3} + \frac{x}{2} \geq 4$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a) $7x.(x + 4) = x + 4$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
b) $\frac{2}{x - 2} - \frac{3}{x - 3} = \frac{3x - 20}{(x - 3)(x - 2)}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) $\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 8 \\ - 3x + 4y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
d) $\frac{x + 1}{3} + \frac{x}{2} \geq 4$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $x$ thỏa mãn cả hai bất phương trình
$2(3x - 4) < 3(4x - 3) + 16$ và $4(1 + x) < 3(x + 5)$ ?
- A.
  $6$
- B.
  $9$
- C.
  $8$
- D.
  $7$
Hướng dẫn:
Ta có:
$2(3x - 4) < 3(4x - 3) + 16$
$\Leftrightarrow 6x - 8 < 12x - 9 + 16$
$\Leftrightarrow - 15 < 6x \Leftrightarrow \frac{- 15}{6} < x$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\frac{- 15}{6} < x$ .
Ta có:
$4(1 + x) < 3(x + 5)$
$\Leftrightarrow 4 + 4x < 3x + 15 \Leftrightarrow x < 11$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x < 11$ .
Mà số cần tìm là số nguyên dương và thỏa mãn cả hai bất phương trình
Suy ra $x \in \left\{ 1;2;3;...;10 ight\}$
Vậy có 10 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm x để A > 0
Tìm x để $A > 0$ biết $A = 1 - \frac{2x + 3}{2}$ ?
- A.
  $x \geq - \frac{1}{2}$
- B.
  $x \leq - \frac{1}{2}$
- C.
  $x > - \frac{1}{2}$
- D.
  $x < - \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$A = 1 - \frac{2x + 3}{2} = \frac{2 - 2x - 3}{2} = \frac{- 2x - 1}{2}$
Vì $A > 0 \Leftrightarrow \frac{- 2x - 1}{2} > 0 \Leftrightarrow - 2x - 1 > 0 \Leftrightarrow - 2x > 1 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$
Vậy $x < - \frac{1}{2}$
Câu 5: Vận dụng
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Để lập đội tuyển năng khiếu về bóng rổ của trường THCS Nguyễn Hiền, thầy Nam đưa ra quy định tuyển chọn như sau: mỗi bạn dự tuyển sẽ được ném 15 quả bóng vào rổ, quả bóng vào rổ được cộng 2 điểm; quả bóng ném ra ngoài bị trừ 1 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển. Hỏi một học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Vận dụng
Tính đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi
Một người đi bộ một quãng đường dài 18 km trong khoảng thời gian không quá 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km/h về sau đi với vận tốc 4km/h. Hỏi đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 5km/h bằng bao nhiêu?
- A.
  $10km$
- B.
  $8km$
- C.
  $7km$
- D.
  $5km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 18.
Thời gian người đó đi với vận tốc 5 km/h là $\frac{x}{5}$ giờ
Quãng đường còn lại người đó đi với vận tốc 4 km/h là 18 − x (km).
Thời gian người đó đi với vận tốc 4 km/h là $\frac{18 - x}{4}$ giờ.
Do tổng thời gian đi bộ không quá 4 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{5} + \frac{18 - x}{4} \leq4$ .
Giải ra ta được x ≥ 10.
Kết hợp điều kiện ta được 10 ≤ x < 18.
Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 5 km/h là 10 km.
Câu 7: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $4km$
- B.
  $6km$
- C.
  $3km$
- D.
  $5km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).
Điều kiện: 0 < x < 10.
Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).
Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ
Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ
Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.
Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.
Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 8: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Lan có số tiền không quá $50000$ đồng gồm $15$ tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: Loại $2000$ đồng và loại $5000$ đồng. Hỏi Lan có nhiều nhất bao nhiêu tờ giấy bạc loại $5000$ đồng?
- A.
  $4$ .
- B.
  $7$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Hướng dẫn:
Gọi $x$ là số tờ giấy bạc loại $5000$ đồng Lan có ( $0 < x < 10,x \in N$ )
Số tờ giấy bạc loại $2000$ đồng Lan có là $15 - x$ (tờ)
Tổng số tiền Lan có là: O10-2024-GV154 $5x + 2(15 - x)$ (nghìn đồng)
Vì số tiền Lan có không quá $50$ nghìn đồng nên ta có:
$5x + 2(15 - x) \leq 50$
Giải bất phương trình trên được $x \leq \frac{20}{3}$
Kết hợp với điều kiện và $x$ lớn nhất nên $x = 6$
Câu 9: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Giải bất phương trình $\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $x \geq 3$
- B.
  $x \leq 3$
- C.
  $x < 3$
- D.
  $x > 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$
Ta có:
$\frac{x^{2} + 5}{x - 3} \leq 0 \Leftrightarrow x - 3 < 0$ (vì $x^{2} + 5 \geq 0\forall x\mathbb{\in R}$ và $x - 3 eq 0$ )
$\Leftrightarrow x < 3$
Vậy kết luận đúng là $x < 3$ .
Câu 10: Vận dụng
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.
Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Ông Năm vào cửa hàng điện máy xanh chọn mua một cái máy lạnh trong mùa nắng nóng, ông định lựa chọn 1 trong 2 loại sau: máy lạnh DAIKIN có giá 12 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 10000KWh điện trong một năm, máy lạnh PANASONIC giá 10 triệu đồng và sử dụng trung bình khoảng 11000KWh điện trong 1 năm, biết rằng 2 loại máy lạnh đều có công năng như nhau và giá 1KWh điện là 2000đ.
Biết tổng chi phí cho mỗi loại máy lạnh bao gồm tiền mua máy và tiền điện; theo em với thời gian sử dụng bao lâu thì ông Năm mua máy lạnh DAIKIN sẽ có lợi hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Vận dụng
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Một học sinh làm một bài thi Toán gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng 5 điểm, mỗi câu sai bị trừ 2 điểm, câu không làm thì không trừ cũng không cộng điểm. Biết học sinh đã làm 19 câu và đạt hơn 62 điểm. Hãy cho biết số câu đúng tối thiểu mà học sinh đã làm được.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng
Tìm x để biểu thức không âm
Với điều kiện nào của x thì biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm?
- A.
  $2 < x < 3$
- B.
  $2 < x \leq 3$
- C.
  $2 \leq x \leq 3$
- D.
  $2 \leq x < 3$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq 3$
Để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $\frac{2x - 4}{3 - x} \geq 0$ có hai trường hợp xảy ra:
TH1: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \geq 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2 \leq x < 3$
TH2: $\left\{ \begin{matrix} 2x - 4 \leq 0 \\ 3 - x < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x > 3 \\ \end{matrix} ight.$ (vô lí)
Vậy để biểu thức $B = \frac{2x - 4}{3 - x}$ nhận giá trị không âm thì $2 \leq x < 3$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$ là:
- A.
  $2004$
- B.
  $2010$
- C.
  $2005$
- D.
  $2008$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{x - 2}{2002} + \frac{x - 4}{2000} < \frac{x - 3}{2001} + \frac{x - 5}{1999}$
$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{2002} - 1 + \frac{x - 4}{2000} - 1 < \frac{x - 3}{2001} - 1 + \frac{x - 5}{1999} - 1$
$\Leftrightarrow \frac{x - 2004}{2002} + \frac{x - 2004}{2000} < \frac{x - 2004}{2001} + \frac{x - 2004}{1999}$
$\Leftrightarrow (x - 2004)\left( \frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} ight) < 0$
Vì $\frac{1}{2002} + \frac{1}{2000} - \frac{1}{2001} - \frac{1}{1999} < 0$ nên $x - 2004 > 0 \Leftrightarrow x > 2004$
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là 2005.
Câu 14: Vận dụng cao
Tính giá máy tính bảng lúc ban đầu
Sau một thời gian phát hành, nhà sản xuất đã ra quyết định giảm giá một dòng máy tính bảng để khuyến mãi. Đợt một giảm $5\%$ đợt hai giảm $4\%$ trên giá sau khi giảm đợt một. Sau hai đợt giảm giá, một chiếc máy tính bảng hiện được bán với giá gần đến $4560000$ đồng. Hỏi giá chiếc máy tính bảng ban đầu khoảng bao nhiêu ?
- A.
  khoảng $6$ triệu đồng.
- B.
  khoảng $7$ triệu đồng.
- C.
  khoảng $8$ triệu đồng.
- D.
  khoảng $5$ triệu đồng.
Hướng dẫn:
Gọi $x$ (đồng) là giá ban đầu của máy tính bảng
Theo đề bài ta có
$x(100\% - 5\%)(100\% - 4\%) < 4560000$
$x < 5000000$
Vậy máy tính bảng ban đầu có giá khoảng $5$ triệu đồng.
Câu 15: Vận dụng cao
Xác định nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$ ?
- A.
  $- 2020$
- B.
  $2010$
- C.
  $2020$
- D.
  $- 2019$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$
$\Leftrightarrow \frac{x + 2020}{2019} + \frac{x + 2020}{2018} + \frac{x + 2020}{2017} + ... + \frac{x + 2020}{1920} > 0$
$\Leftrightarrow (x + 2020)\left( \frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} ight) > 0$
Vì $\frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + \frac{1}{2017} + ... + \frac{1}{1920} > 0$ nên $x + 2020 > 0 \Rightarrow x > - 2020$
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất cần tìm là x = -2019.
Câu 16: Vận dụng cao
Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
Cho bất phương trình $\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$ . Tìm giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho?
- A.
  $1010$
- B.
  $1008$
- C.
  $1012$
- D.
  $1009$
Hướng dẫn:
Ta có:
$\frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} < \frac{2x - 1}{2017} + \frac{2x - 3}{2015}$
$\Leftrightarrow \frac{2x - 4}{2014} + \frac{2x - 2}{2016} - \frac{2x - 1}{2017} - \frac{2x - 3}{2015} < 0$
$\Leftrightarrow \left( \frac{2x - 4}{2014} - 1 ight) + \left( \frac{2x - 2}{2016} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 1}{2017} - 1 ight) - \left( \frac{2x - 3}{2015} - 1 ight) > 0$
$\Leftrightarrow \frac{2x - 2018}{2014} + \frac{2x - 2018}{2016} - \frac{2x - 2018}{2017} - \frac{2x - 2018}{2015} < 0$
$\Leftrightarrow (2x - 2018)\left( \frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} ight) < 0$
Vì $\frac{1}{2014} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} - \frac{1}{2018} > 0$ nên $2x - 2018 < 0 \Leftrightarrow x < 1009$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1009$
Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1008$ .
Câu 17: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Với $x,y$ bất kì. Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $(x + y)^{2} > 4xy$
- B.
  $(x + y)^{2} \leq 4xy$
- C.
  $(x + y)^{2} \geq 4xy$
- D.
  $(x + y)^{2} < 4xy$
Hướng dẫn:
Xét biểu thức
$A = (x + y)^{2} - 4xy = x^{2} + 2xy + y^{2} - 4xy$
$= x^{2} - 4xy + y^{2} = (x - y)^{2}$
Mà $(x - y)^{2} \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$ suy ra $A \geq 0;\forall x;y\mathbb{\in R}$
Suy ra $(x + y)^{2} \geq 4xy$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $b < c < a$
- B.
  $b < a < c$
- C.
  $a < c < b$
- D.
  $a < b < c$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$
Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$
Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$
Câu 19: Thông hiểu
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
a) Trong các cặp số sau $(12;1);(1;1)$ cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - 5y = 19$ .
b) Cho $x > y$ . Hãy so sánh $2x - 5$ và $2y - 5$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) Đưa biểu thức sau ra ngoài dấu căn: $\sqrt[3]{(x - 1)^{3}}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
d) Tính: $\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} ight)^{2}} + \sqrt{45} - \sqrt{20}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
a) Trong các cặp số sau $(12;1);(1;1)$ cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - 5y = 19$ .
b) Cho $x > y$ . Hãy so sánh $2x - 5$ và $2y - 5$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
c) Đưa biểu thức sau ra ngoài dấu căn: $\sqrt[3]{(x - 1)^{3}}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
d) Tính: $\sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} ight)^{2}} + \sqrt{45} - \sqrt{20}$
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho bất đẳng thức $a < b$ . Khẳng định nào sau đây là đúng.
- A.
  $-2a < -2b$
- B.
  $a + 2 > b + 2$
- C.
  $2a > 2b$
- D.
  $a + 2 < b + 2$
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng: “ $a + 2 < b + 2$ ”
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Câu 21: Vận dụng
Chọn khẳng định sai
Với điều kiện $a;b$ bất kì. Chọn khẳng định sai?
- A.
  $a^{2} + 10 < 6a + 1$
- B.
  $a^{2} + 5 > 4a$
- C.
  $a^{2} + 1 > a$
- D.
  $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + 5 - 4a = a^{2} - 4a + 4 + 1 = (a - 2)^{2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 5 > 4a$ .
$a^{2} + 1 - a = a^{2} - 2a.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \left( a - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên $a^{2} + 1 > a$ .
$a^{2} + 10 - (6a + 1) = a^{2} - 6a + 9 = (a - 3)^{2}$
Vì $(a - 3)^{2} \geq 0$ luôn đúng nên $a^{2} + 10 \ge 6a - 1$
Suy ra khẳng định $a^{2} + 10 < 6a + 1$ sai.
Ta có:
$a^{2} - ab + b^{2}$
$= a^{2} - 2a.\frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3b^{2}}{4}$
$= \left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4}$
Vì $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} \geq 0;\forall a,b\mathbb{\in R}$ suy ra $\left( a - \frac{b}{2} ight)^{2} + \frac{3b^{2}}{4} \geq 0$ luôn đúng
Suy ra $ab - b^{2} \leq a^{2}$
Câu 22: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2ab + 2bc - 2ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 2ab + 2bc - 2ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 2ab + 2bc - 2ca$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca)$
$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2bc + 2ca$
$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a( - b) + 2( - b)c + 2ca$
$= \left\lbrack a + ( - b) + c ightbrack^{2} = (a - b + c)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$
Do đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} - (2ab + 2bc - 2ca) \geq 0$
$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 2ab + 2bc - 2ca$
Dấu bằng xảy ra khi $a - b + c = 0$ .
Câu 23: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $- 2$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có:
$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$
$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$
Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$
$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$
$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$
$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$
$\Rightarrow B \leq - 2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$
Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 24: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$
$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$
$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 25: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{2} - 2a$ với $0 \leq a \leq 2$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:
$0 \leq a \leq 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$
$\Rightarrow a(a - 2) \leq 0 \Rightarrow a^{2} - 2a \leq 0$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a(a - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = 2 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $0 \leq a \leq 2$ nên $a = 0$ hoặc $a = 2$ tương đương với việc dấu bất đẳng thức $P = a^{2} - 2a \leq 0$ xảy ra được.
Vậy với $0 \leq a \leq 2$ thì giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 0 khi $a = 0$ hoặc $a = 2$ .
Câu 26: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của P
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$ với $a\mathbb{\in R}$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Ta có:
$P = (a - 3)^{2} + (a + 1)^{2}$
$= a^{2} - 6a + 9 + a^{2} + 2a + 1$
$= 2a^{2} - 4a + 10 = 2\left( a^{2} - 2a + 5 ight)$
$= 2(a - 1)^{2} + 8$
Với $a\mathbb{\in R}$ ta có: $(a - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow P = 2(a - 1)^{2} + 8 \geq 8$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow a = 1$
Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi và chỉ khi $a = 1$ .
Câu 27: Vận dụng cao
Ghi lời giải bài toán vào ô trống
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Đáp án là:
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ .
Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{ab}{c + ab}} + \sqrt{\frac{bc}{a + bc}} + \sqrt{\frac{ca}{b + ca}} \leq \frac{3}{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Vận dụng cao
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào sau đây đúng với mọi $a;b;c$ ?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} > ab + bc + ca$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq ab + bc + ca$
Hướng dẫn:
Ta có:
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$
$= \frac{1}{2}\left( 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ca ight)$
$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( a^{2} - 2ab + b^{2} ight) + \left( b^{2} - 2bc + c^{2} ight) + \left( c^{2} - 2ca + a^{2} ight) ightbrack$
$= \frac{1}{2}\left\lbrack (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} ightbrack \geq 0$
Vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )
Nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca$
Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ .
Câu 29: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Với các số $a,b,c$ bất kì. Hãy so sánh $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight)$ và $(a + b + c)^{2}$ ?
- A.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \geq (a + b + c)^{2}$
- B.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) = (a + b + c)^{2}$
- C.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$
- D.
  $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) < (a + b + c)^{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) - (a + b + c)^{2}$
$= 3a^{2} + 3b^{2} + 3c^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$
$= 2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2ac - 2bc$
$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} \geq 0$
(vì $(a - b)^{2} \geq 0;(b - c)^{2} \geq 0;(c - a)^{2} \geq 0$ với mọi $a;b;c$ )
Nên $3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \leq (a + b + c)^{2}$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:
$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$
$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$
$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$
Mặt khác ta có:
$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )
$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)
$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.
Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra
$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!