Ôn thi vào 10 môn Toán: Các bài toán thực tế - Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

Thông hiểu Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 14 câu
Điểm số bài kiểm tra: 14 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Ghi đáp án vào ô trống
Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương rất cao và phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Giả sử rằng giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng lên hay giảm đi?
- A.
  Tăng
- B.
  Giảm
Hướng dẫn:
Giả sử viên kim cương ban đầu có khối lượng là m. Giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng, nên giá bán là $km^{2}$ với $k$ là một hằng số.

Khi cắt viên kim cương thành ba phần có khối lượng $a,b,c$ sao cho $m = a + b + c$ ,

Giá bán của ba phần này lần lượt là $ka^{2},kb^{2},kc^{2}$

Tổng giá bán của ba phần là $ka^{2} + kb^{2} + kc^{2} = k\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

Ta cần so sánh $km^{2}$ và $k\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

Vì $m = a + b + c$ , ta có $m^{2} = (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ca)$

Do đó $m^{2} > a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ,

Diều này có nghĩa là $km^{2}$ > $k\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

Vậy tổng số tiền thu được sau khi cắt giảm đi so với giá bán của viên kim cương ban đầu.

Sau giảm giá nhiều nhất xảy ra khi $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ nhỏ nhất, tức là $a = b = c = \frac{m}{3}$
Câu 2: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Đáp án: 16 máy

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $8000$ quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất $30$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $200$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Đáp án: 16 máy

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy). Điều kiện $x > 0$ .

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất $8000$ quả bóng là $\frac{8000}{30x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả $192$ nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là $200$ nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

$B = 200000x + \frac{8000}{30x}.192000 = 200000x + \frac{51200000}{x}$ (đồng).

Ta chứng minh bất đẳng thức sau $a + b \geq 2\sqrt{ab},\forall a,b > 0$ (Bất đẳng thức AM-GM)

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

$(a + b)^{2} \geq \left( 2\sqrt{ab} \right)^{2}$

$a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab$

$a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$

$(a - b)^{2} > 0,\forall a,b > 0$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $200000x$ và $\frac{51200000}{x}$ , ta được

$200000x + \frac{51200000}{x} \geq 2\sqrt{200000x.\frac{51200000}{x}} = 6400000$ .

Dấu "=" xảy ra khi $200000x = \frac{51200000}{x}$

$\Leftrightarrow x^{2} = 256 \Leftrightarrow x = 16$ (nhận) hay $x = - 16$ (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là $16$ máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.
Câu 3: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30 – 4. Công ty dự định nếu giá tour là $2$ triệu đồng thì sẽ có khoảng $200$ người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá $100$ nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm $20$ người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất.

Đáp án: 1,5 (triệu đồng)

Đáp án là:

Một công ty du lịch dự định tổ chức một tour du lịch xuyên Việt nhân kỉ niệm ngày giải phóng hoàn toàn miền Nam 30 – 4. Công ty dự định nếu giá tour là $2$ triệu đồng thì sẽ có khoảng $200$ người tham gia. Để thu hút nhiều người tham gia, công ty sẽ quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá $100$ nghìn đồng/1tour thì sẽ có thêm $20$ người tham gia. Hỏi công ty phải giảm giá tour còn bao nhiêu để doanh thu từ tour xuyên Việt đó là lớn nhất.

Đáp án: 1,5 (triệu đồng)

Gọi số lần giảm giá $100\ 000$ đồng/1tour để thu được doanh thu lớn nhất là $x$ (lần)

Sau $x$ lần giảm thì giá của một tour là: $2\ 000\ 000 - 100\ 000.x$ (đồng).

Vì cứ sau $1$ lần giảm thì có thêm $20$ người tham gia nên sau $x$ lần giảm thì có thêm $20.x$ (người tham gia) nên tổng số người tham gia sau $x$ lần giảm giá là: $200 + 20.x$ (người )

Tổng doanh thu sau $x$ lần giảm giá là:

$S = (2\ 000\ 000 - 100\ 000.x).(200 + 20.x)$ (đồng)

$S = 100\ 000.20.(20 - x).(10 + x)$ (đồng)

$S = 2\ 000\ 000.\left( - x^{2} + 10x + 200 \right)$ (đồng)

Xét $- x^{2} + 10x\ + \ 200\ = - (x^{2} - 10x\ + 25 - 25 - 200)$ $= - (x - 5)^{2} + 225$

Vì $- (x - 5)^{2} + 225 \leq 225$ nên $2\ 000\ 000.\left( - x^{2} + 10x + 200 \right) \leq 2\ \ 000\ \ 000.225 = 450\ \ 000\ \ 000$

hay $S \leq 450\ \ 000\ \ 000$

$S_{max} = 450\ \ 000\ \ 000$

Khi đó x = 5 (lần)

Vậy giá tour khi đó: $2\ 000\ 000 - 100\ 000.5 = 1\ 500\ 000$ (đồng).
Câu 4: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một tấn hoa quả được chở tới siêu thị, trong đó táo được đóng theo các thùng gỗ $48$ kg/thùng, lê được đóng gói trong các thùng gỗ $20$ kg/thùng, mận đựng trong hộp giấy theo $14$ kg/hộp còn nho đựng trong các hộp giấy theo $10$ kg/hộp. Biết rằng số kg táo được chở tới nhiều gấp đôi số kg lê, còn số kg mận và nho là bằng nhau. Hỏi khối lượng mỗi loại hoa quả đã được vận chuyền tới cửa hàng là bao nhiêu kg?

Đáp án: Táo: 480 kg, Lê: 240 kg, Mận: 140 kg, Nho: 140 kg.

Đáp án là:

Một tấn hoa quả được chở tới siêu thị, trong đó táo được đóng theo các thùng gỗ $48$ kg/thùng, lê được đóng gói trong các thùng gỗ $20$ kg/thùng, mận đựng trong hộp giấy theo $14$ kg/hộp còn nho đựng trong các hộp giấy theo $10$ kg/hộp. Biết rằng số kg táo được chở tới nhiều gấp đôi số kg lê, còn số kg mận và nho là bằng nhau. Hỏi khối lượng mỗi loại hoa quả đã được vận chuyền tới cửa hàng là bao nhiêu kg?

Đáp án: Táo: 480 kg, Lê: 240 kg, Mận: 140 kg, Nho: 140 kg.

Do $4$ loại hoa quả trên được đóng đều vào các thùng có khối lượng định sẵn nên số lượng hoa quả sẽ nguyên dương.

Gọi khối lượng lê và khối lượng mận vận chuyển tới cửa hàng lần lượt là $x,\ y(\ x,\ y\ \in \ N*,\ Kg)$

Suy ra khối lượng táo sẽ là $2x$ (kg), khối lượng nho là $y$ (kg)

Tổng khối lượng $4$ loại hoa quả vận chuyển đến cửa hàng là $1$ tấn = $1000$ kg nên ta có:

$2x + x + y + y = 1000$

Hay $3x + 2y = 1000$

Do lượng táo và lê được đóng vào các hộp $48$ kg và $20$ kg nên $x$ là $BC(48,\ 20) = 240$ và

$x < 300;\ \ x \in N*$ vì $3x + 2y = 1000$ .

Suy ra $x = 240$ .

+) Khi $x = 240$ suy ra $y = 140$ (tm)

Vậy Táo: $480$ kg, Lê: $240$ kg, Mận: $140$ kg, Nho: $140$ kg.
Câu 5: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm $37$ ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng $10cm$ . Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

Đáp án: 180 + 10 π (cm)

Đáp án là:

Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm $37$ ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng $10cm$ . Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

Đáp án: 180 + 10 π (cm)

Đặt $d,r(cm)$ lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép $d = 10(cm);r = \frac{d}{2} = 5(cm)$

Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên.

$A,\ \ B,\ \ M,\ \ N,\ \ H$ là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép

$D,\ C,\ E,\ F,\ O$ là tâm của một số ống thép.

Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác.

Dễ thấy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB = CD = 3d = 3.10 = 30(cm)(1)$

Nên hiển hiên các điểm $A,\ D,\ H,\ E$ thẳng hàng.

Xét $DEF$ có:

$DE = 2DH = 2\sqrt{OD^{2} - OH^{2}}$ $= 2\sqrt{\left(2r^{2} \right) - r^{2}} = 2\sqrt{3r} = 10\sqrt{3}(cm)$

Tương tự cũng tính được $DF = 10\sqrt{3}(cm);\ EF = 10\sqrt{3}(cm)$ .

Như vậy $DE = EF = DF = 10\sqrt{3}(cm)$ nên $\Delta DEF$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{EDF} = 60{^\circ}$

Suy ra $\widehat{ADM} = \widehat{EDF} = 60{^\circ}$ (đối đỉnh).

Chiều dài cung $AM$ bằng $\frac{\Pi.5.60}{180} = \frac{5}{3}\Pi(cm)\ (2)$

Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là:

$l = 6.\frac{5}{3}\pi + 6.30 = 180 + 10\pi(cm)$
Câu 6: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích $54\pi\left( m^{3} \right)$ và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả ? ?(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 85 triệu đồng

Đáp án là:

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích $54\pi\left( m^{3} \right)$ và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả ? ?(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 85 triệu đồng

Ta chứng minh với $a,b,c$ là các số thực không âm, thì $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ $(1)$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ .

Thật vậy

* Với $a = 0,b = 0,c = 0$ thì bất đẳng thức luôn đúng.

* Với 3 số $a,b,c$ dương.

Đặt: $x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}$ ⇒ $x,y,z > 0$ ⇒ $x + y + z > 0$

Bất đẳng thức $(1)$ trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz$

Xét $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y)^{3} - 3xy(x + y) + z^{3} - 3xyz$

$= (x + y + z)\left\lbrack \left( (x + y)^{2} - (x + y)z + z^{2} \right\rbrack - 3xy(x + y + z) \right.$

$= (x + y + z)\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx \right)$

$= \frac{1}{2}(x + y + z)\left\lbrack (x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (x - z)^{2} \right\rbrack \geq 0,(\forall x,y,z > 0)$

Vậy $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3xyz$ hay $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Dấu “ $=$ ” xảy ra khi $x = y = z$ ⇔ $a = b = c$ .

* Gọi bán kính đáy là $x\ (\ m)\ (x > 0)$ , chiều cao bồn chứa là $h\ (\ m)$ .

Thể tích chứa của bồn là $V = \pi x^{2} \cdot h = 54\pi \Rightarrow h = \frac{54}{x^{2}}$ ( $m$ ).

Diện tích toàn phần của bồn chứa là: $S_{TP} = 2\pi x^{2} + 2\pi x \cdot h = 2\pi x^{2} + \frac{108\pi}{x}\left( \ m^{2} \right)$

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có $S_{TP} = 2\pi x^{2} + \frac{108\pi}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được

$2\pi x^{2} + \frac{108\pi}{x} = 2\pi x^{2} + \frac{54\pi}{x} + \frac{54\pi}{x} \geq 3\sqrt[3]{2\pi x^{2}.\frac{54\pi}{x}.\frac{54\pi}{x}} = 54\pi$

$S_{TP}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $54\pi\left( m^{2} \right)$ khi $2\pi x^{2} = \frac{54\pi}{x} \Rightarrow x^{3} = 27 \Rightarrow x = 3$ (m)

Khi đó số tiền xây bồn thấp nhất mà cửa hàng phải trả là : $54\pi.500000 \approx$ 84 823 002 (đồng).
Câu 7: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cửa hàng nhà bác Dũng chuyên kinh doanh máy tính tại Hà Nội. Một loại máy tính có giá nhập vào một chiếc là $18$ triệu đồng và bán ra với giá $22$ triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là $500$ chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Dũng dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm $200$ nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng $50$ chiếc. Vậy bác Dũng phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất ?

Đáp án: 2250 (triệu đồng)

Đáp án là:

Cửa hàng nhà bác Dũng chuyên kinh doanh máy tính tại Hà Nội. Một loại máy tính có giá nhập vào một chiếc là $18$ triệu đồng và bán ra với giá $22$ triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là $500$ chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Dũng dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm $200$ nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng $50$ chiếc. Vậy bác Dũng phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất ?

Đáp án: 2250 (triệu đồng)

Đổi $200$ nghìn đồng = $0,2$ triệu đồng.

Gọi $x$ là giá mới mà cửa hàng bán một chiếc máy tính (triệu đồng, $x > 18$ )

Số tiền cửa hàng bị giảm khi bán một chiếc máy tính là $22 - x$ (triệu đồng)

Khi đó, số lượng máy tính bán ra được trong một năm là:

$500 + 50(22 - x):0,2 = 6000 - 250x$ (chiếc)

Lợi nhuận mà cửa hàng thu được khi bán giá mới là:

$(6000 - 250x).(x - 18)$

$= - 250x^{2} + 10500x - 108000 = - 250.\left( x^{2} - 42x + 432 \right)$

$= - 250(x - 21)^{2} + 2250\ \geq 2250$

Dấu “ = ” xảy ra khi $x - 21 = 0$ hay $x = 21$

Vậy giá bán mới một chiếc máy tính của cửa hàng là $21$ triệu đồng, giá trị lợi nhuận thu được cao nhất là $2250$ (triệu đồng).
Câu 8: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.

Đáp án: 9 học sinh

Đáp án là:

Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh.

Đáp án: 9 học sinh

Giả sử tất cả các câu lạc bộ đều có không quá 8 học sinh.

Gọi n là số câu lạc bộ có hơn 1 học sinh.

+ Nếu $n > 4$ thì từ 5 trong số các câu lạc bộ này, chọn mỗi câu lạc bộ 2 học sinh, khi đó 10 học sinh này không thỏa mãn điều kiện Bài toán.

+ Nếu $n < 4$ thì khi đó số học sinh tham gia các câu lạc bộ này không quá $3.8 = 24$ , nghĩa là còn ít nhất $35 - 24 = 11$ học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh. Chọn 10 học sinh trong số này, không thỏa mãn điều kiện Bài toán.

Do đó $n = 4$ .

Khi đó, số học sinh tham gia 4 câu lạc bộ này không quá $4.8 = 32,$ nghĩa là còn ít nhất 3 học sinh, mỗi học sinh tham gia 1 câu lạc bộ mà câu lạc bộ này chỉ có 1 học sinh.

Chọn 2 trong số học sinh này và mỗi câu lạc bộ trên chọn 2 học sinh, khi đó 10 học sinh không thỏa mãn điều kiện.

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là tồn tại một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh tham gia.
Câu 9: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai hình cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính $25cm$ khoảng cách giữa hai tâm hình cầu là $40cm$ . Giá mạ vàng $1m^{2}$ là $4700000$ đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. Tính số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó. (Làm tròn đáp án đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 6,64 (triệu đồng)

Đáp án là:

Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai hình cầu bằng nhau giao nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính $25cm$ khoảng cách giữa hai tâm hình cầu là $40cm$ . Giá mạ vàng $1m^{2}$ là $4700000$ đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. Tính số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó. (Làm tròn đáp án đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 6,64 (triệu đồng)

(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu)

Gọi h là chiều cao của chỏm cầu.

Ta có $h = \frac{2R - d}{2} = \frac{2.25 - 40}{2} = 5cm$

( $d$ là khoảng cách giữa hai tâm)

Diện tích xung quanh của chỏm cầu là: $S_{xq} = 2\pi Rh$

Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau.

$S_{xq}$ khối trang sức $= 2S_{xq}$ khối cầu $- 2S_{xq}$ chỏm cầu.

Khối trang sức có

$S_{xq} = 2.4\pi R^{2} -2.2\pi Rh$ $= 2.4\pi.25^{2} - 2.2\pi.25.5 = 4500\pi cm^{2} =0.45m^{2}$

Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là $4700000.0,45\pi \approx 6640000$ đồng.
Câu 10: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần $2kg$ nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40\ 000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần $4kg$ nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30\ \ 000$ đồng. Xưởng có $200kg$ nguyên liệu và $1200$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?

Đáp án: Cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II

Đáp án là:

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần $2kg$ nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40\ 000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần $4kg$ nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30\ \ 000$ đồng. Xưởng có $200kg$ nguyên liệu và $1200$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?

Đáp án: Cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II

Gọi $x\ (x \geq 0)$ là số kg loại I cần sản xuất, $y\ (y \geq 0)$ là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x + 4y$ , thời gian là $30x + 15y$ , có mức lợi nhuận là $40000x + 30000y$ .

Theo giả thiết bài toán xưởng có $200kg$ nguyên liệu và $1200$ giờ làm việc tức là:

$\left\{ \begin{matrix} 2x + 4y \leq 200 \\ 30x + 15y \leq 1200\ \end{matrix} \right.\$ hay $\left\{ \begin{matrix} x + 2y - 100 \leq 0 \\ 2x + y - 80 \leq 0 \end{matrix} \right.$

Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y - 100 \leq 0 \\ 2x + y - 80 \leq 0 \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ (*)$ với $x \geq 0$ và $y \geq 0$

sao cho $L(x;y) = 40000x + 30000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng: $(d):x + 2y - 100 = 0,\ (d'):2x + y - 80 = 0$ .

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần tứ giác $ABCO$ được giới hạn bởi hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$ với hệ trục tọa độ.

Giá trị lớn nhất của $L(x;y) = 40000x + 30000y$ đạt tại một trong các điểm $(0;0),\ (40;0),\ (0;50),\ (20;40)$

Ta có:

$L(0;0) = 0;\ L(40;0) = 1600000;$ $L(0;50) = 1500000;L(20;40) = 2000000$

Suy ra giá trị lớn nhất của $L(x;y)$ là $2\ 000\ 000$ khi $(x;y) = (20;40)$ .

Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại I và $40$ kg sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận lớn nhất.
Câu 11: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Phiên chợ hè Lotus sử dụng hai loại thẻ: loại thẻ giá $3000$ đồng và loại thẻ giá $4000$ đồng. Vào dịp nghỉ hè, bạn An muốn dùng hết số tiền tiết kiệm của mình để mua $x$ thẻ loại giá $3000$ đồng và $y$ thẻ loại giá $4000$ đồng. Tìm số cách mua có đủ cả hai loại thẻ nếu tiền tiết kiệm của bạn An là $2023000$ đồng.

Đáp án: 169 cặp

Đáp án là:

Phiên chợ hè Lotus sử dụng hai loại thẻ: loại thẻ giá $3000$ đồng và loại thẻ giá $4000$ đồng. Vào dịp nghỉ hè, bạn An muốn dùng hết số tiền tiết kiệm của mình để mua $x$ thẻ loại giá $3000$ đồng và $y$ thẻ loại giá $4000$ đồng. Tìm số cách mua có đủ cả hai loại thẻ nếu tiền tiết kiệm của bạn An là $2023000$ đồng.

Đáp án: 169 cặp

Ta có phương trình $3000x + 4000y = 2023000$

$3x + 4y = 2023$

Suy ra $y = \frac{2023 - 3x}{4} \geq 1$ , suy ra $1 \leq x \leq \frac{2019}{3} = 673$

Mặt khác ta có $y = \frac{2023 - 3x}{4} = \frac{2024 - 4x - 1 + x}{4} = 506 - x + \frac{x - 1}{4}$

Để $y$ nguyên thì $x - 1$ chia hết cho $4$ , suy ra $x = 1 + 4k,k\mathbb{\in Z}$ .

Kéo theo $y = 505 - 3k$ .

Do đó $1 \leq 1 + 4k \leq 673$ hay $0 \leq k \leq 168$ .

Vậy có $169$ cặp.
Câu 12: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $400\ \ m^{3}$ đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là $500\ 000$ đồng/ $m^{2}$ (bao gồm cả diện tích tường và đáy bể). Hỏi chi phí thuê nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án: 150 (triệu đồng)

Đáp án là:

Một gia đình muốn xây một hồ chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $400\ \ m^{3}$ đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Giá thuê nhân công xây bể là $500\ 000$ đồng/ $m^{2}$ (bao gồm cả diện tích tường và đáy bể). Hỏi chi phí thuê nhân công thấp nhất mà gia đình đó phải trả để xây hồ chứa nước là bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án: 150 (triệu đồng)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật đáy bể là $x$ (m) ( $x > 0$ )

Suy ra chiều dài của hình chữ nhật là $4x$ (m).

Gọi chiều cao của bể là $y$ (m, $y > 0$ ).

Thể tích của bể là $V = 4x.x.y = 400$ suy ra $x^{2}.y = 100$ suy ra $y = \frac{100}{x^{2}}$ .

Diện tích xây dựng của bể là

$S = 4x^{2} +2(x + 4x)y = 4x^{2} + 10xy$ $= 4x^{2} + 10.\frac{100}{x^{2}}.x = 4x^{2} +\frac{1000}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số không âm (với hai số không âm $x,y$ ta có:

$\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)^{2} \geq 0$ nên $x + y - 2\sqrt{xy} \geq 0$ suy ra $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ , dấu bằng xảy ra khi $x = y$ ):

Ta có

$S = 4x^{2} + \frac{1000}{x}$ $=\left( 4x^{2} + 100 \right) + \frac{1000}{x} - 100$ $\geq2\sqrt{4x^{2}.100} + \frac{1000}{x} - 100 = 40x + \frac{1000}{x} -100$ .

Và $S \geq 40x + \frac{1000}{x} - 100$ $\geq2\sqrt{40x.\frac{1000}{x}} - 100 = 400 - 100 = 300$ .

Khi đó $S_{\min} = 300$ .

Dấu “ $=$ ” xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} 4x^{2} = 100 \\ 40x = \frac{1000}{x} \end{matrix} \right.$ suy ra $x = 5$

Vậy chi phí thấp nhất thuê nhân công là $300.500\ 000 = 150\ 000\ 000$ đồng $= 150$ triệu đồng.
Câu 13: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là $62,5dm$ . Để tiết kiệm vật liệu gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng $S$ diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi $S$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Đáp án: 75 (dm²)

Đáp án là:

Công ty sản xuất thùng gỗ muốn thiết kế số lượng lớn thùng đựng hàng hóa bên trong, dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp với thể tích là $62,5dm$ . Để tiết kiệm vật liệu gỗ làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng $S$ diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Hỏi $S$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Đáp án: 75 (dm²)

Gọi $a$ (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ $(a > 0)$

Theo đề Câu ta có chiều cao của lăng trụ là $h = \frac{62,5}{a^{2}}$

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

$S = 4.\frac{62,5}{a^{2}}.a + a^{2} = \frac{250}{a} + a^{2} = \frac{125}{a} + \frac{125}{a} + a^{2}$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

$S \geq 3\sqrt[3]{\frac{125}{a}.\frac{125}{a}.a^{2}} = 75$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{125}{a} = a^{2}$ hay $a = 5$

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là $75dm^{2}$ khi độ dài cạnh đáy là $5dm$ .
Câu 14: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là $384cm^{2}$ . Lề trên, lề dưới là $3cm$ ; lề phải, lề trái là $2cm$ . Hỏi chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là bao nhiêu để diện tích trang giấy là nhỏ nhất?

Đáp án: Chiều dọc: 30cm, chiều ngang: 20cm

Đáp án là:

Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là $384cm^{2}$ . Lề trên, lề dưới là $3cm$ ; lề phải, lề trái là $2cm$ . Hỏi chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là bao nhiêu để diện tích trang giấy là nhỏ nhất?

Đáp án: Chiều dọc: 30cm, chiều ngang: 20cm

Gọi $a,b(cm)(a > 0,b > 0)$ là độ dài chiều dọc và chiều ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là $a + 6,b + 4.$

Ta có: $a.b = 384$ suy ra $b = \frac{384}{a}(1)$ .

Diện tích trang sách là $S = (a + 6)(b + 4)$

Suy ra $S = 4a + \frac{2304}{a} + 408$ .

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:

$S \geq 2\sqrt{4a.\frac{2304}{a}} + 408 = 600.$

Suy ra $MinS = 600$ suy ra $4a = \frac{2304}{a}$ suy ra $a = 24$

Suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu của trang giấy là $30cm,20cm$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!